静力学一般力系

1、第3章 一般力系 静力学1目 录静力学3.1 力线平移定理3.2 平面一般力系向一点简化3.3 一般力系的平衡方程3.4 物体系统的平衡静定问题和超静定问题3.5 平面简单桁架的内力计算3.6 摩擦2静力学平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系，叫平面任意力系。例力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）引 言3静力学 工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。 (a) 图为空间汇交力系；(b) 图为空间任意力系。 (b) 图中，若去了风力，则为空间平行力系。迎 面风 力

2、侧 面风 力b4静力学证 力 力系3.1 力线平移定理 作用在刚体上点A的力 F，可以平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩，等于原来的力 F 对新作用点B的矩。5静力学 力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力+力偶 （例断丝锥） 力平移的条件是附加一个力偶 m，且 m 与 d 有关，m=Fd 力线平移定理是力系简化的理论基础。说明：6静力学一般力系（任意力系）向一点简化 汇交力系+力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力 ， R(主矢) ， (作用在简化中心)力 偶 系 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)3.2 平面一般力系向作用面内一点简化 一、平面一

3、般力系的简化7 大小： 主矢 方向： 简化中心 (与简化中心位置无关) 因主矢等于各力的矢量和静力学（移动效应）8静力学 大小： 主矩MO 方向： 方向规定 + - 简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）（转动效应）固定端（插入端）约束雨 搭车 刀9静力学固定端（插入端）约束说明： 认为Fi这群力在同一平面内; 将Fi向A点简化得一力和一力偶; RA方向不定可用正交分力YA, XA表示; YA, XA, MA为固定端约束反力; YA, XA限制物体平动, MA为限制转动。10静力学简化结果：主矢 ，主矩 MO ，下面分别讨论。 =0，MO0，即简化结果为一合力

4、偶 MO=M ，此时 刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体 平面内任意移动，故这时主矩与简化中心O无关。 =0， MO =0，则力系平衡，下节专门讨论。 0，MO =0，即简化为一个作用于简化中心的合力。这时简化结果就是合力（这个力系的合力）， 。（ 此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）二、平面任意力系的简化结果分析11静力学 0，MO 0，为最一般的情况。此种情况还可以继续简化为一个合力 。合力 的大小等于原力系的主矢合力 的作用线位置12静力学结论： 平面任意力系的简化结果 ：合力偶MO ； 合力 合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩 合力矩定理 由于简化中心是任意

5、选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。13静力学3.3 一般力系的平衡条件和平衡方程 一、平面一般力系的平衡条件和平衡方程 由于 =0 为力平衡 MO=0 为力偶也平衡所以 平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 和主矩 MO 都等于零，即： 14静力学二矩式条件：x 轴不AB 连线三矩式条件：A、B、C不在同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。一矩式15静力学 例1 已知：P，a ， 求：A、B两点的支座反力。 解： 选AB梁研究； 画受力图（以后注明 解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上）；

6、 列平衡方程：解除约束16 例2 悬臂吊车如图 a) 所示。A、B、C处均为铰接。AB梁自重W14 kN，载荷重Wl0 kN，BC杆自重不计，有关尺寸如图 a) 所示。求BC杆所受的力和铰A处的约束反力。静力学17 解 (1) 选AB梁为研究对象，画出分离体图。在AB梁上主动力有W1，和W；约束反力有支座A处的反力FAx和FAy；由于BC为二力杆，故B处反力为FBC，该力系为平面一般力系，受力图如图 b)所示。 (2) 列平衡方程并求解。选取坐标轴如图 b)所示。为避免解联立方程，在列平衡方程时尽可能做到一个方程中只包含一个未知量，并且先列出能解出未知量的方程，于是有Fx=0，Fy=0，MA(

7、F)=0，解得：静力学18静力学 例3 自重W100 kN的T形刚架ABD，置于铅垂面内，载荷如图 a)所示。已知M20 kNm，F400 kN，q20 kN/m，Ll m。求固定端A处的约束反力。19静力学 解 (1) 取T形刚架为研究对象，其上作用有主动力W、F、M和线性分布载荷。将线性分布载荷化为一合力，其大小等于线性分布载荷的面积，即F1q3L230 kN，其作用线作用于三角形分布载荷的几何中心，即距点A为L处。约束反力有FAx，FAy和MA。其受力与坐标如图 b)所示。(2) 列平衡方程：Fx=0，Fy=0，MA(F)=0， 解得： 20 设有F1, F2 Fn 各平行力系， 向O点

8、简化得： 合力作用线的位置为： 平衡的充要条件为 主矢 =0 主矩MO =0 静力学平面平行力系： 各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系，叫平面平行力系。21静力学所以 平面平行力系的平衡方程为：二矩式条件：AB连线不能平行 于力的作用线实质上是各力在x 轴上的投影恒等于零，即 恒成立 ，所以只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。一矩式22静力学 例4 已知：P=20kN, m=16kNm， q=20kN/m， a=0.8m， 求：A、B的支反力。解：研究AB梁解得：23静力学 例5 塔式起重机如图所示。机架自重W1500 kN，其作用线至右轨的距离e0.5 m，最大起重量W2250

9、 kN，其作用线至右轨的距离L10 m，轨道AB的间距b4 m，平衡重W到左轨的距离a6 m。若W=300 kN，W2250 kN，求轨道A、B对两轮的反力。24静力学解 取起重机为研究对象。画出受力图如图所示，该力系为一平面平行力系。其平衡方程为Fy=0，MB(F)=0，解得 讨论：为了保证起重机安全工作，设计时需要考虑两种翻倒情况。 (1)当满载时，为了使起重机不绕B点翻倒，考虑平衡的临界状况FA0，这时列MB(F)0的平衡方程，可求出平衡重的最小值Wmin275 kN ，25静力学 (2) 当空载时，为了使起重机不绕A点翻倒，考虑平衡的临界状况FB0，这时列MA(F)0的平衡方程，可求出

10、平衡重的最大值Wmax375 kN 。实际工作时不允许处于极限状态，需使其安全工作，平衡重应在这两者之间，即WminWWmax。26静力学所以空间任意力系的平衡方程为： 还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。二、空间一般力系的平衡条件和平衡方程1、空间任意力系的平衡充要条件是：27静力学空间汇交力系的平衡方程为：因为各力线都汇交于一点，各轴都通过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。空间平行力系的平衡方程，设各力线都 / z 轴。 因为 均成为了恒等式。28静力学 1）球形铰链2、空间约束 观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有

11、约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。例29静力学球形铰链30静力学2）向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱)轴承31静力学3）滑动轴承 32静力学4）止推轴承 33静力学5）带有销子的夹板34静力学6）空间固定端35静力学3.4 物体系统的平衡 静定与超静定问题一、静定与静不定问题的概念 我们学过：平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立未知数。 一个独立方程，只能求一个独立未知数。 三个独立方程,只能求三个独立未知数。力偶系平面任意力系当：独立方程数目未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目未知数数目时，是静不定问题(超静定问题)36静力学例 静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）

12、中用位移谐调条件来求解。静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）37静力学例 二、物体系统的平衡问题外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统，叫物体系统，简称物系。38静力学物系平衡的特点： 物系静止 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体）解物系问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部 整体（用较少）39静力学 例6 已知：OA=R， AB= l ， 当OA水平时，冲压力为P时，求： M=？ O点的约束反力？ AB杆内力？ 冲头给导轨的侧

13、压力？解：研究B40静力学负号表示力的方向与图中所设方向相反再研究轮41静力学（a）（b）（c） 例7 由不计自重的三根直杆组成的A字形支架置于光滑地面上，如图 a) 所示，杆长ACBCL3 m，ADBEL/5，支架上有作用力F10.8 kN，F20.4 kN，求横杆DE的拉力及铰C和A、B处的反力。42静力学 解 A字形支架由三根直杆组成，要求横杆DE的拉力和铰C的反力，必须分开研究，又DE为二力杆，所以可分别研究AC和BC两部分，但这两部分上A、B、C、D、E处都有约束反力，且未知量的数目都多于3个。用各自的平衡方程都不能直接求得未知量。如果选整个系统为研究对象，则可一次求出系统的外约束反

14、力。(1)先取整体为研究对象，在其上作用有主动力Fl和F2，A、B处均为光滑面约束，而A处是两个方向上受到约束，因而约束反力有FAx，FAy和FB，并选取坐标轴如图 b) 所示。列出平衡方程 43静力学Fx0，Fy0，MA(F)0，解得 (2) 再取较简易部分BC为研究对象，其受力图如图 c) 所示。这里需要注意的是C处反力，在整体研究时为内力，在分开研究BC时，则变成了外力。列出平衡方程。 Fx0，Fy0，MC(F)0， 解得 44静力学例8 如图所示均质矩形平板，重为P=800N，用三条铅垂绳索悬挂在水平位置，一绳系在一边的中点A处，另两绳分别系在其对边距各端点均为 边长的B、C点上，求各

15、绳所受的拉力。 解：取正方形板为研究对象，受力分析如图所示，列平衡方程：解得：45静力学例9 正方形板ABCD重为P，A和B蝶形铰链固定在墙上，并用ED斜杆支承，使正方形板ABCD成水平面位置，设正方形边长为a，试求铰链A和B的约束反力以及ED杆所受的力。 解：DE杆为二力杆，取正方形板为研究对象， 受力分析如图所示，列平衡方程： 46静力学解得：XA=P/2，ZA=0；XB=0，ZB=P/2，SDE=0.707P。 47静力学此题训练： 力偶不出现在投影式中； 力偶在力矩方程中出现是把力偶当成矢量后，类似力在投影式中投影； 力争一个方程求一个支反力； 了解空间支座反力。 例10 曲杆ABCD

16、，已知 ABC=BCD=900 ， AB=a，BC=b， CD=c， m2、m3 求：支座反力及m1=?48静力学 解：49静力学 3.5 平面简单桁架的内力计算由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统桁架50静力学桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。节点杆件51(a)静力学桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。桁架的特点：直杆，不计自重，均为二力杆；杆端铰接； 外力作用在节点上。 力学中的桁架模型：基本三角形 ， 三角形有稳定性。(b)(c)52静力学工程力学中常见的桁架简化计算模型53静力学解： 研究整体，求支座反力一、节点法例11已知：如图 P=10kN，求各杆内力？计算平面简单桁架的

17、内力的方法有两种：1、节点法2、截面法54静力学 依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。55静力学节点D的另一个方程可用来校核计算结果恰与 相等,计算准确无误。 56静力学解： 研究整体求支反力 二、截面法例12 已知：如图，h，a，P， 求：4、5、6杆的内力。选截面 I-I ，取左半部研究IIA57静力学说明 ： 节点法：用于设计，计算全部杆内力； 截面法：用于校核，计算部分杆内力； 先把杆都设为拉力，计算结果为负时；说明是压力，与所设方向相反。 58静力学三杆节点无载荷、其中两杆在一条直线上，另一杆必为零杆。四杆节点无载荷、其中两两在一条直线上，同一直线上两杆内力等值、同性。两杆节点无

18、载荷、且两杆不在一条直线上时，该两杆是零杆。三、特殊杆件的内力判断59静力学1、滑动摩擦力：相接触物体，产生相对滑动（趋势）时，其接触面产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。 （ 就是接触面对物体作用的切向约束反力） 2、状态： 静止： 临界：（将滑未滑） 滑动：3.6 摩 擦一、滑动摩擦（翻页请看动画）增大摩擦力的途径为：加大正压力N， 加大摩擦系数 f （f 静滑动摩擦系数）（f 动摩擦系数）60静力学61静力学4、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动） 大小： （无平衡范围）动摩擦力特征：方向：与物体运动方向相反 定律： （ f 只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）3

19、、 特征： 大小： （平衡范围）满足静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反 定律：（ f 只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）62静力学 1、摩擦角 定义：当摩擦力达到最大值 时其全反力 与法线的夹角 叫做摩擦角。翻页请看动画计算：二、摩擦角与自锁现象63静力学64静力学2、自锁 定义：当物体依靠接触面间的相互作用的摩擦 力 与正 压力（即全反力），自己把自己卡 紧，不会松开（无论外力多大），这种现象称为自锁。当 时，永远平衡（即自锁） 自锁条件：65静力学摩擦系数的测定：OA绕O 轴转动使物块刚开始下滑时测出a角，tg a=f ， (该两种材料间静摩 擦系数)（翻页请看动

20、画） 自锁应用举例66静力学67静力学68静力学 考虑摩擦时的平衡问题，一般是对临界状态求解，这时可列出 的补充方程。其它解法与平面任意力系相同。只是平衡常是一个范围。 例13 已知：a =30，G =100N，f =0.2 求：物体静止时，水平力Q的平衡范围。当水平力Q = 60N时，物体能否平衡？ (翻页请看动画）三、考虑滑动摩擦时的平衡问题69静力学70静力学解：先求使物体不致于上滑的 图(1)71静力学同理： 再求使物体不致下滑的 图(2) 解得：平衡范围应是72静力学 例14 梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩擦系数 f =0.5，求a 多大时，梯子能处于平衡？解：考虑到

21、梯子在临界平衡状态有下滑趋势，画受力图。 73静力学注意，由于a不可能大于 ， 所以梯子平衡倾角a 应满足74静力学四、滚动摩阻的概念 由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力，下图的受力分析看出一个问题，即此物体平衡，但没有完全满足平衡方程。Q与F形成主动力偶使前滚 出现这种现象的原因是，实际接触面并不是刚体，它们在力的作用下都会发生一些变形，如图：75静力学此力系向A点简化 滚阻力偶M随主动力偶（Q , F）的增大而增大; 有个平衡范围;滚动摩擦 与滚子半径无关; 滚动摩擦定律： ，d 为滚动摩擦系数。滚阻力偶与主动力偶（Q,F）相平衡（翻页请看动画）d76静力学77静力学滚动摩擦系数 d 的

22、说明：有长度量纲，单位一般用mm,cm；与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。 d 的物理意义见图示。根据力线平移定理，将N和M合成一个力N ，N=N 从图中看出，滚阻力偶M的力偶臂正是d（滚阻系数），所以，d 具有长度量纲。 由于滚阻系数很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力偶不计，即滚动摩擦忽略不计。d78解： 选整体研究 ； 受力如图； 选坐标Bxy； 列方程为： 解方程得 ： 静力学 例1 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？习 题 课79 受力如图 取E为矩心，列方程 解方程求未知数静力学再研究CD杆80

23、例2 已知:P=100N, AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m 且AB水平, ED铅垂,BD垂直于 斜面。 求 ?和支座反力？静力学解： 研究整体； 画受力图； 选坐标，列方程： 81静力学再研究AB杆，受力如图82静力学（a）（b） 例3 图 a)所示的组合梁由AC和CD组成，不计自重。已知F20 kN，q10 kN/m，M20 kNm，l1 m。试求插入端A和滚动支座B处的约束反力。83静力学解 (1) 先取整体为研究对象。在其上作用有主动力F、M、q和插入端A和滚动支座B处的约束反力FAx、FAy、MA和FB。列出平衡方程Fx0， (a)Fy0， (b)MA

24、(F)0， (c)以上三个方程包含四个未知量，必须再补充方程才能求解。 (2) 再取较简易部分CD为研究对象，其受力图如图 b) 所示。这里需要注意的是C处约束反力，在整体研究时为内力，在单独研究CD时，则变成了外力。列出平衡方程84静力学MC(F)0， (d)由式(d)解得 代入式(a)、(b)、(c)中解得注意：此题研究整体时，可将均布载荷作为合力通过点C，但在梁CD或AC平衡时，则分别受一半的均布载荷。 85静力学 例4 已知 P， d，求：a、b、c、d 四杆的内力。解：由零杆判式研究A点：86静力学 例5 已知：连续梁上，P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重 求：A

25、 ,B和D点的反力（看出未知数多余三个，不能先 整体求出，要拆开） 解： 研究起重机；87静力学 再研究整体 再研究梁CD88静力学 例6 作出下列各物 体的受力图。89静力学 例7 作出下列各物体的受力图。 P 最小维持平衡 P 最大维持平衡状态 受力图； 状态受力图90静力学 例8 构件1及2用楔块3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数 f=0.1，求能自锁的倾斜角a 。解：研究楔块，受力如图91静力学 例9 已知：B块重Q=2000N，与斜面的摩擦角j =15， A块与 水 平面的摩擦系数f=0.4， 不 计杆重。 求：使B块不下滑， 物块A 最小重量。解： 研究B块，若使B块不下滑，92静力学再研究A