2021-2022学年辽宁沈阳市第31中学数学高二第二学期期末综合测试模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题

2、卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是ABCD2从5个中国人、4个美国人、3个日本人中各选一人的选法有（ ）A12种B24种C48种D60种3已知是离散型随机变量，则（ ）ABCD4从名学生志愿者中选择名学生参加活动，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从人中剔除人，剩下的人再按系统抽样的方法抽取人，则在人中，每人入选的概率（ ）A不全相等B均不相等C都相等，且为D都相等，且为5圆截直线所得的弦长为，则（ ）ABCD26某学习小组有名男生和名女生，现从该小组中先后随机抽取两

3、名同学进行成果展示，则在抽到第个同学是男生的条件下，抽到第个同学也是男生的概率为（ ）ABCD7若随机变量的数学期望，则的值是( )ABCD8已知双曲线：1，左右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为（ ）AB11C12D169在等差数列中，则（ ）A45B75C180D36010已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中的系数为（ ）A5B10C20D4011函数的零点个数为（ ）A0B1C2D312如图，是正四面体的面上一点，点到平面距离与到点的距离相等，则动点的轨迹是( )A直线B抛物线C离心率为的椭圆D离心率为3的双曲线二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2

4、0分。13已知向量与互相垂直，则_14设，则二项式的展开式中含项的系数为_15曲线在点处的切线方程为 16的平方根为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数f(x)=-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；（2）当m2时，证明f(x)0.18（12分）从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量，求：(1)的分布列；(2)所选女生不少于2人的概率.19（12分）已知直线，其中与的交点为P.（1）求点P到直线的距离；（2）求过点P且与直线的夹角为的直线方程.20（12分）已知二项式展开

5、式中的第7项是常数项.(1)求；(2)求展开式中有理项的个数.21（12分）设函数的导函数为.若不等式对任意实数x恒成立，则称函数是“超导函数”.（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；（2）若函数与都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数是“超导函数”；（3）若函数是“超导函数”且方程无实根，（e为自然对数的底数），判断方程的实数根的个数并说明理由.22（10分）某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种其中某班级学生背诵正确的概率，记

6、该班级完成首背诵后的总得分为.(1)求且的概率；(2)记，求的分布列及数学期望参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】令，则在上有两个不等实根，有解，故, 点晴:本题主要考查函数的单调性与极值问题，要注意转化，函数()在区间上有两个极值点，则在上有两个不等实根，所以有解，故,只需要满足解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，注意分类讨论和数形结合思想的应用2、D【解析】直接根据乘法原理得到答案.【详解】根据乘法原理，一共有种选法.故选：.【点睛】本题考查了乘法原理，属于简单题.3、A【解析】分析：由已知条件利用

7、离散型随机变量的数学期望计算公式求出a，进而求出，由此即可求出答案.详解：是离散型随机变量，由已知得，解得，.故选：A.点睛：本题考查离散型随机变量的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望和方差计算公式的合理运用.4、D【解析】根据简单随机抽样与系统抽样方法的定义，结合概率的意义，即可判断出每个人入选的概率.【详解】在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除时，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，所以，每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的，因此，每个人入选的概率为.故选：D.【点睛】本

8、题考查简单随机抽样和系统抽样方法的应用，也考查了概率的意义，属于基础题.5、A【解析】将圆的方程化为标准方程,结合垂径定理及圆心到直线的距离,即可求得的值.【详解】圆,即则由垂径定理可得点到直线距离为 根据点到直线距离公式可知,化简可得 解得故选:A【点睛】本题考查了圆的普通方程与标准方程的转化,垂径定理及点到直线距离公式的应用,属于基础题.6、C【解析】设事件A表示“抽到个同学是男生”，事件B表示“抽到的第个同学也是男生”，则，由此利用条件概率计算公式能求出在抽到第个同学是男生的条件下，抽到第个同学也是男生的概率.【详解】设事件A表示“抽到个同学是男生”，事件B表示“抽到的第个同学也是男生”

9、，则，则在抽到第个同学是男生的条件下，抽到第个同学也是男生的概率.故选：C【点睛】本题考查了条件概率的求法、解题的关键是理解题干，并能分析出问题，属于基础题.7、C【解析】分析：由题意结合二项分布数学期望的计算公式求解实数p的值即可.详解：随机变量则的数学期望，据此可知：，解得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查二项分布的数学期望公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8、B【解析】根据双曲线的定义，得到，再根据对称性得到最小值，从而得到的最小值.【详解】根据双曲线的标准方程，得到，根据双曲线的定义可得，所以得到，根据对称性可得当为双曲线的通径时，最小.此时，所以的最小值为.故选

10、：B.【点睛】本题考查双曲线的定义求线段和的最小值，双曲线的通径，考查化归与转化思想，属于中档题.9、C【解析】由，利用等差数列的性质求出，再利用等差数列的性质可得结果.【详解】由，得到，则故选C.【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，属于基础题. 解与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质：若，则.10、B【解析】首先根据二项展开式的各项系数和，求得，再根据二项展开式的通项为，求得，再求二项展开式中的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和，所以，又二项展开式的通项为=，所以二项展开式中的系数为答案选择B【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题11、C【解析】，如图，

11、由图可知，两个图象有2个交点，所以原函数的零点个数为2个，故选C12、C【解析】分析：由题设条件将点P到平面ABC距离与到点V的距离相等转化成在面VBC中点P到V的距离与到定直线BC的距离比是一个常数，依据圆锥曲线的第二定义判断出其轨迹的形状详解：正四面体VABC面VBC不垂直面ABC，过P作PD面ABC于D，过D作DHBC于H，连接PH，可得BC面DPH，所以BCPH，故PHD为二面角VBCA的平面角令其为则RtPGH中，|PD|：|PH|=sin（为VBCA的二面角的大小）又点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，即|PV|=|PD|PV|：|PH|=sin1，即在平面VBC中，点P到定点

12、V的距离与定直线BC的距离之比是一个常数sin，又在正四面体VABC，VBCA的二面角的大小有：sin=1，由椭圆定义知P点轨迹为椭圆在面SBC内的一部分故答案为：C点睛：（1）本题主要考查二面角、椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想(2)解答本题的关键是联想到圆锥曲线的第二定义.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】两向量垂直，其数量积的等于0.【详解】【点睛】本题考查两向量垂直的数量积表示，属于基础题14、192【解析】因为，所以，由于通项公式，令，则，应填答案。15、【解析】试题分析：因为，所以，则在点处的切线斜率为

13、，所以切线方程为，即；故填考点：导数的几何意义16、【解析】根据可得出的平方根.【详解】，因此，的平方根为.故答案为.【点睛】本题考查负数的平方根的求解，要熟悉的应用，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1)在上是减函数；在上是增函数（2）见解析【解析】(1)由x=2是f(x)的极值点得f (2)=2，所以m=1于是f(x)=exln(x+1)，定义域为(1，+)，函数在(1，+)上单调递增，且f (2)=2，因此当x(1，2)时， f (x)2所以f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，+)上单调递增(2)当m2，x(m，+)时，

14、ln(x+m)ln(x+2)，故只需证明当m=2时， f(x)2当m=2时，函数在(2，+)上单调递增又f (1)2，故f (x)=2在(2，+)上有唯一实根，且当时， f (x)2，从而当时，f(x)取得最小值由f (x2)=2得=，故综上，当m2时， f(x)218、（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）依题意，的可能取值为0，1，2，3，4，股从超几何分布，由此能求出的分布列（2）所选女生不少于2人的概率为，由此能求出结果试题解析：(1)依题意，的取值为0，1，2，3，4.服从超几何分布，.，.故的分布列为：01234 (2)方法1：所选女生不少于2人的概率为：.方法2：所选女生

15、不少于2人的概率为：.19、（1）；（2）或【解析】（1）先解方程组得点P坐标，再根据点到直线距离得结果；（2）根据夹角公式求所求直线斜率，再根据点斜式得结果.【详解】(1)由得点P到直线的距离为（2）设所求直线斜率为，所以或，因此所求直线方程为或即或【点睛】本题考查点到直线距离、直线交点以及直线夹角公式，考查基本分析求解能力，属中档题.20、（1）（2）展开式中的有理项共有3项【解析】（1）根据二项展开式的通项以及第项是常数项计算的值；（2）根据二项展开式的通项，考虑未知数的指数为整数的情况，然后判断有理项的项数.【详解】解：（1）二项式展开式的通项为第7项为常数项，（2）由（1）知，若为有

16、理项，则为整数，为6的倍数，共三个数，展开式中的有理项共有3项.【点睛】本题考查二项展开式的通项的应用，难度一般.二项展开式中的有理项的分析的主要依据是：未知数的指数为整数；二项展开式中的常数项的分析的主要依据是：未知数的指数为.21、 (1)见解析.(2)见解析.(3)见解析.【解析】分析：（1）根据定义举任何常数都可以；（2），即证-在R上成立即可；（3）构造函数，因为是“超导函数”， 对任意实数恒成立，而方程无实根，故恒成立，所以在上单调递减， 故方程等价于，即，设 ，分析函数单调性结合零点定理即可得出结论.详解：（1）举例：函数是“超导函数”，因为，满足对任意实数恒成立，故是“超导函数

17、”. 注：答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分.（2）， 因为函数与都是“超导函数”，所以不等式与对任意实数都恒成立，故， 而与一个在上单调递增，另一个在上单调递减，故，由得对任意实数都恒成立，所以函数是“超导函数”. （3），所以方程可化为，设函数，则原方程即为， 因为是“超导函数”， 对任意实数恒成立，而方程无实根，故恒成立，所以在上单调递减， 故方程等价于，即， 设 ，则在上恒成立，故在上单调递增，而，且函数的图象在上连续不断，故 在上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根.点睛：考查函数的新定义，首先要读懂新定义，将新定义的知识与所学导函数的知识相联系是解题关键，本题的难点在于能否将新定义的语言转化为自己所熟悉的函数语言进行等价研究问题是解题关键，属于压轴题.22、 (1)；(2) 分布列见解析，.【解析】（1）由知，背诵6首，正确4首，错误