2021-2022学年湖南省茶陵县第三中学数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若全集U=1，2，3，4且UA=2，3，则集合A的真子集共有（）A3个B5个C7个D8个22只猫把5只老鼠捉光,不同的捉法有()种.ABCD3 “直线垂直于平面内无数条直线”是“直线

2、垂直于平面”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4某大学推荐7名男生和5名女生参加某企业的暑期兼职，该企业欲在这12人中随机挑选3人从事产品的销售工作，记抽到的男生人数为，则（）A2BCD5已知函数是偶函数（且）的导函数，当时，则使不等式成立的x的取值范围是（ ）ABCD6若函数f(x)=x-2+A-3a32B-3a1Ca7已知中，,则满足此条件的三角形的个数是 ( )A0B1C2D无数个8用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于，反证假设正确的是( )A假设三内角都大于B假设三内角都不大于C假设三内角至多有一个大于D假设三内角至多有两个大于9

3、已知函数.正实数满足，则下述结论中正确的一项是( )ABCD10函数的周期，振幅，初相分别是（ ）ABCD115本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为()A240种B120种C96种D480种12设函数满足则时，( )A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，则_14若，则=_.15在的二项展开式中，项的系数为_（结果用数值表示）16如图为某几何体的三视图，则其侧面积为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数（1）求函数的

4、最小值；（2）当时，记函数的所有单调递增区间的长度为，所有单调递减区间的长度为，证明：（注：区间长度指该区间在轴上所占位置的长度，与区间的开闭无关）18（12分）在矩形中，为线段的中点，如图1，沿将折起至，使，如图2所示（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值19（12分）设函数，（为常数），曲线在点处的切线与轴平行（1）求的值；（2）求的单调区间和最小值；（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围20（12分）等边的边长为，点，分别是，上的点，且满足 (如图(1)，将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连接，(如图(2).(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为?若

5、存在，求出的长；若不存在，请说明理由.21（12分）（1）用分析法证明：；（2）用反证法证明：三个数中，至少有一个大于或等于.22（10分）已知函数.（1）解不等式；（2）若的最小值为，正实数，满足，求的最小值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由题意首先确定集合A，然后由子集个数公式求解其真子集的个数即可.【详解】由题意可得：，则集合A的真子集共有个.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查补集的定义，子集个数公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2、B【解析】分析：利用乘法分步计数原理

6、解决即可.详解：由于每只猫捉老鼠的数目不限，因此每一只老鼠都可能被这2只猫中其中一只捉住，由分步乘法计数原理，得共有不同的捉法有种.故选：B.点睛：(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成3、B【解析】由“直线垂直于平面”可得到“直线垂直于平面内无数条直线”，反之不成立（如与无数条平行直线垂直时不成立），所以“直线垂直于平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的必要而不充分条件，故选

7、B.考点：充分条件与必要条件4、B【解析】依题意可得，X的可能取值为0,1,2,3，分别求出概率，再由期望公式即可求出【详解】依题意可得，X的可能取值为0,1,2,3，则，所以【点睛】本题主要考查离散型随机变量期望的求法5、D【解析】构造函数，利用导数得到，在是增函数，再根据为偶函数，根据，解得的解集【详解】解：令，时，时，在上是减函数，是偶函数（2），当，（2），即，当时，（2），即，是偶函数，当，故不等式的解集是，故选：【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决，属于中档题6、A【解析】将问题转化为曲线gx=x-2+2

8、x-1与直线y=ax没有交点，并将函数y=gx表示为分段函数的形式，并作出该函数的图象，分析直线【详解】因为函数f(x)=x-所以方程x-2即函数g(x)=x-2+如图所示，则h(x)的斜率a应满足-3a32，故选：【点睛】本题考查绝对值函数的零点个数问题，解本题需注意：（1）零点个数问题转化为两个函数的公共点的个数问题；（2）含绝对值的函数一般利用零点分段法表示为分段函数。7、C【解析】由正弦定理得 即 即 ，所以符合条件的A有两个，故三角形有2个故选C点睛：此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，会根据三角函数值求对应的角.8、B【解析】反证法的第一步是假设命题的结

9、论不成立，根据这个原则，选出正确的答案.【详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于不成立，即假设三内角都不大于，故本题选B.【点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键.9、A【解析】由，即，从而，令，则由得，可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，可得或，又，因此成立，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，一元二次不等式的解法及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了

10、解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将方程问题转化为利用导数求最值进而通过解不等式解答.10、C【解析】利用求得周期，直接得出振幅为，在中令求得初相.【详解】依题意，函数的振幅为，在中令求得初相为.故选C.【点睛】本小题主要考查中所表示的含义，考查三角函数周期的计算.属于基础题.其中表示的是振幅，是用来求周期的，即，要注意分母是含有绝对值的.称为相位，其中称为初相.还需要知道的量是频率，也即是频率是周期的倒数.11、A【解析】由题先把5本书的两本

11、捆起来看作一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘即可得答案。【详解】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素共有种可能，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有种可能，所以不同的分法种数为种，故选A.【点睛】本题考查排列组合与分步计数原理，属于一般题。12、D【解析】函数满足，令，则，由，得，令，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为.又在单调递增，既无极大值也无极小值，故选D.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问

12、题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：求出f（1）=1，再根据定积分法则计算即可详解：f（x）=f（1）x2+x+1，f（x）=2f（1）x+1，f（1）=2f（1）+1，f（1）=1，f（x）=x2+x+

13、1，=（x3+x2+x）=.故答案为.点睛：这个题目考查了积分的应用，注意积分并不等于面积，解决积分问题的常见方法有：面积法，当被积函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数；应用公式直接找原函数的方法；利用被积函数的奇偶性得结果.14、365【解析】分析：令 代入可知 的值，令 代入可求得的值，然后将两式相加可求得的值详解：中，令 代入可知 令代入可得，除以相加除以2可得.即答案为365.点睛：本题主要考查的是二项展开式各项系数和，充分利用赋值法是解题的关键15、1【解析】通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用的指数为2，求出展开式中的系数【详解】解：展开式的通项

14、为令得到展开式中的系数是故答案为：1【点睛】本题是基础题，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题考查计算能力16、【解析】根据三视图可知几何体为圆锥，利用底面半径和高可求得母线长；根据圆锥侧面积公式可直接求得结果.【详解】由三视图可知，几何体为底面半径为，高为的圆锥圆锥的母线长为：圆锥的侧面积：本题正确结果：【点睛】本题考查圆锥侧面积的求解问题，关键是能够根据三视图准确还原几何体，考查学生对于圆锥侧面积公式的掌握情况.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析【解析】（1）首先求函数的导数，然后判断函数的单调性，最后求最值；（2）根据

15、（1）首先求函数的零点，从而去掉的绝对值，分段求函数的单调区间，最后再比较单调区间的长度.【详解】解（1）因为，所以在单调递减，单调递增，所以.（2）由（1）可知，在单调递减，单调递增又，所以存在，使得，则当时，当时，所以，记，当时，所以在单调递增，在单调递减.当或时，当时即在单调递增.因为，所以则当时，令，有所以当时，在单调递减综上，在与单调递减，在与单调递增.所以，又所以，即【点睛】本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性，属于中档题型，本题的一个难点是函数的零点，其中一个是，另一个不确定，只能估算其范围，设为，所以再求当或时，函数的单调区间时，也需估算比较的范围，确定时函数的减区间，这种

16、估算零点存在性问题，是导数常考题型.18、 (1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）由已知条件证明出平面，根据面面垂直的判定定理证明出平面平面；（2）取BE的中点为,以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，设平面的法向量为，平面的法向量为，由线面垂直的性质定理，分别求出的坐标，求出二面角的余弦值试题解析：（1）证明：在图1中连接，则 ，平面，平面，平面 平面.（2）解：取中点，连接，平面平面，平面以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，设平面的法向量为，平面

17、的法向量为，由可得；由可得；则，由图形知二面角的平面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为19、 (1)k=1;(2)的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为;(3) .【解析】（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究函数切线的性质得到关于k的方程，解方程即可求得k的值；（2）首先确定函数的定义域，然后结合导函数的符号与原函数的单调性求解函数的单调区间和函数的最值即可；（3）用问题等价于，据此求解实数a的取值范围即可.【详解】（1），因为曲线在点处的切线与轴平行，所以，所以.（2），定义域为，令，得，当变化时，和的变化如下表：由上表可知，的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为.（3）若对任意

18、成立，则，即，解得：.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用20、（1）证明见解析；（2）存在点，.【解析】（1）通过证明，即可证明平面；（2）以为坐标原点，以射线、分别为轴、轴、轴的正半轴建立空间直

19、角坐标系，设，然后并求出平面的一个法向量及的坐标，最后根据即可求出的值及的长度.【详解】(1)证明题图(1)中，由已知可得：，.从而.故得，所以，.所以题图(2)中，所以为二面角的平面角， 又二面角为直二面角，所以，即，因为且、平面，所以平面.(2)解存在.由(1)知，平面.以为坐标原点，以射线、分别为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，过作交于点，设，则，易知，所以.因为平面，所以平面的一个法向量为.因为直线与平面所成的角为，所以，解得.所以，满足，符合题意.所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明及通过建立空间直角坐标系并表示出平面的法向量及直线的方向向量的坐标，解决已知直线和平面所成的角求参数的值问题，属中等难度题.21、