拉格朗日插值法

1、拉格朗日插值法拉格朗日（Lagrange ）插值可对插值函数 ，（石）选择多种不一样的函数种类，因为代数多项式拥有简单和一些优秀的特征，比如，多项式是无量圆滑的，简单计算它的导数和积分，故常采纳代数多项式作为插值函数。线性插值问题给定两个插值点（办制工.此中仆声M ,如何做经过这两点的一次插值函数过两点作一条直线，这条直线就是经过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值。如下图。图线性插值函数 4。）在初等数学中，可用两点式、点斜式或截距式结构经过两点的一条直线。下边先用待定系数法结构插值直线。设直线方程为GSA . +W，将伍”口aM分别代入直线方程A）得:当4 Kxi时，因 f,所以方程组

2、有解，并且解是独一的。这也表示，平面上解的存在性和唯一性,但要解一个方程组才能获得插值函数的系数,因工作量较大和不便向高阶推行，故这类结构方法往常不宜采纳。二 X r 4-一一一、一- .时，若用两点式表示这条直线，则有:拉格朗日插值法FA 佝 7 _L 冉 弗 3 TOC o 1-5 h z h J. =5 4。乃飞一系 吊飞（）这类形式称为拉格朗日插值多项式。诲也岳区尸21 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document /- X曷-&J , %（*），:l（x）称为插值基函数，计算4）（工）的值，易见才I菊 X一昂在拉格朗日插值多项式中可将&（了）看做两

3、条直线 面一再，再电的叠加，并可看到两个插值点的作用和地位都是同等的。拉格朗日插值多项式型式免去认识方程组的计算，易于向高次插值多项式型式推行。线性插值偏差定理记40）为以J（5口为插值点的插值函数，知碣父风打中。这里,川），M=，设，优，一阶连续可导，丁（在3上存在，则对随意给定的“，切，起码存在一点。复4封，使式（界） =匕捍上/明-）。媒媪 （）证明令R/T8,因曲豌是爪幻的根，所以可设R6A 厥力（雷-xj一,人山x 9tn对任何一个固定的点荒，引进协助函数：,（。三/0卜式卜封X）。-飞）-工3,口 用0、由定义可得 。，这样,工,起码有3个零点，不失一般性，假设别在口口和多可上应用

4、洛尔定理，可知弋此在每个区间起码存在一个零点，不如记为刍和,即和刈，对卜在百中3 -退”上应用洛尔定理，获得 “在拉格朗日插值法此刻对yg求二次导数，此中 岑=。氏(或知的线性函数)，故有代入女得崂)21耳。所以一一二次插值问题给定三个插值点W(M = 0J2，此中X，互不相等，如何结构函数的二次的(抛物线)插值多项式平面上的三个点能确立一条次曲线，如下图。图三个插值点的二次插值仿制线性插值的拉格朗日插值，即用插值基函数的方法结构插值多项式。设r后r fx j编也每个基函数 是一个二次函数，对 “1 ,来说，要求1 1是它的零点，所以可设与(as) 4 ()弗*曰同理 ，也相对应的形式，得拉格

5、朗日插值法+C（L %）（5-均）JH） 将/ =工。代入& 工），得弓布）T（勒T#i）b 一小式瑞代入二:1获得3和C的值，以及乙和勾的表达式。同理将；工二勺1工二工2插值基函数仍旧知足:*（马）04（峋）。%=1二次插值函数偏差:拉格朗日插值法Tnift r上式证明完整近似于线性插值偏差的证明，故省略。插值作为函数迫近方法，常用来作函数的近似计算。当计算点落在插值点区间以内时叫做内插，不然叫做外插。内插的成效一般优于外插。例给定19030 na 12* - 0.207912。结构线性插值函数并用插值函数计算“口0.19网的十11-12解：结构线性插值函数:万一 ITS.20793212-

6、11分别将x=115产-10,5代入上式，得Z1ao.5)=0182258,正确值siii 1030 =0.182236）（犬一犬1）sin R(h”2(1311)(U57ma 190809, biq12例给定= 0.207912, sin 13干=0224951O结构二次插值函数并计算而11加。解:拉格朗日插值法K：拓型r7n2+3当L Q 224 9 9L5。J 二学3整，正确值 ginHO1 7199363例 要制做三角函数的函数歹口无值表，已知表值有四位小数，要求用线性插值惹起的截断偏差不超出表值的舍入偏差，试决定其最大同意步长。解：设最大同意步长F）卜-内）|弓如*,1一 e 1 i

7、rH3（40）（丁%） =T7 逐 IQ-0 。.Q dQ0罢理次拉格朗日插值多项式金. JPZ W o p 在 1问题 给定平面上两个互不同样的插值点,有且仅有一条经过这两点的直线；给定平面上三个互不同样的插值点三白毛， q，一 ，有且仅有一条经过这* *邛（JC2 111*5 jv三个点的二次曲线；给定平面上吃1个互不同样的插值点 ”一，互不同样是指 互不相等，能否有且仅有一条不高于邛次的插值多项式曲线，假如曲线存在，那么如何简单地作出这条那次插值多项式曲线剖析：拓次多项式2X ,它完整由题个系数加.决定。舄局+1（亭/值/ 。1.2用若曲线 于经过给定平面上个互不同样的插值点1 -，则拉

8、格朗日插值法月（或）应知足片。J（6）J .我L 2#.同，事实上一个插值点就是一个插值条件。将（三=0二Z中挨次代入月中获得线性方程组:方程组的系数队列式是范德蒙（Vandermonde )队歹U式:o,所以方程组（）的解存在且唯一。即问题的解存在弁且唯一。经过求解（）获得插值多项式月（工），因其计算量太大而不行取，模仿线性以及二次插值多项式的拉格朗日形式，我们可结构 对于厚+1个互不同样的插值节点呼次拉格朗日插值多项式,由片次插值多项式的唯一性，可对每个插值节点与作出相应的常次插值基函数4伏工工速要求而却/?演，是4 8 ,的零点，所以可设A伏）=，a . /）s .近）a 一.西力, 工

9、_勺）由4 L将* =G代入48）,获得作其组合:拉格朗日插值法耳那么 4不高于历次且知足41Kx2）方国）1 Q1 12小：/；，ML4国就是对于插值（既称为对于节/（）。点与，南，次的插值多项式，这类插值形式称为拉格朗日插值多项式点（西）：的拉格朗日基函数。例给出以下插值节点数据，做三次拉格朗日插值多项式，弁计算解：拉格朗日插值基函数为：与 （.电） F）6 - oRk -1. too） （x - a uo）.卜第 0）（也 0Q TRO）卜 2力am）x - 0）：卜-L 0。，（了 一 2.&0）=F置 Y）卜2 g 7砌卜28= a GO）.一1苏（4-1）（需 2）毫=（.）卜-玛

10、）L药） （叫一%乂再-均）（应-豆）=7（了 + 2）（51）靠-2）4的） ,一看）（*一芭）卜.均）=T（*+ 2）x（t2） 3 .? d . 5-孙）（一为）3-号）3 .出砧）gfM与一超）三次拉格朗日插值多项式:拉格朗日插值法/（口 20.2560 n次插值多项式的偏差定理设4S）是I%句上过但）四七（氏七二Q.L理的依次插值多项式,互不相等，当了m,c、叫加时，则插值多项式的偏差:证明*:温4M因为4（鼻）7/=01/ ,因此%1飞是尺S）的根，于是可设&3 =笈（L %）（工-布。）下边的目标是算出出，为此弓入变量为七的函数*）*a）/4。）-司-西）”心一（）起码有也+ 2

11、个零点，因为11 .，由洛尔定理，、.在i/相邻的两个零点之间起码有一个零点，即一间*1人* 一$R）、 口平（力I，起码有福中个零点。同理再对 应用洛尔定理，即 起码有刘个零点，频频应用洛尔定理获得乎碎份起码有-个零点阶导数，有另一方面，对人j , 令“，有0甲网（g拉格朗日插值法因为 1J的零点f与2的零点产气 *此让以切则凡出可表不为若，心相关，因此，为K的函数。由（）式能够看到，当卜是不高于岷次的多项式时， 4gz ,即）78 对于函数期=，,上=QL3 ,对于节点勺鼻F龙的拉格朗日插值多项式就J* Jr %、是其自己，故拉格朗日基函数巴3知足令上=o,获得台可是，在实质计算定理给出了当被插函数充足圆滑时的插值偏差或称插值余项表达式,中，其实不知道一口的详细表示，难以获得的形式或较精准的界线以获得界O在实质计算中，可对偏差运用下边的过后预计方法。给出想十？个插值节点i1任选其中译+1个插值节点，不妨取“，结构一个 器次插值多项式，记为 2个插值节点中另选个插值点，不如取网次插值多项式，记为由定理2可获得（）尸扃)( + 1)!（身）.丁制口拉格朗日插值法id） JF a &尸勺在插区内弁且化不大，有进而可获得嵬万一羽川4（盅）中而 一 141- 4陋*三&国-A国）而-乜拉格朗