角动量的Schwingers振子模型回顾

1、3.9角动量的Schwingers振子模型回顾:对Euler角表征的转动，可见只要求出 ，则可得到例如对j=1/2,对j=1，利用Jy=(J+-J-)/2i及J的矩阵元得：由于 ，用级数展开,可知最终得：类似方法可给出d(j1)(),但过程复杂.下面介绍简便获得d(j)的方法。角动量的Schwingers振子模型 一、无耦合振子将无耦合的两类谐振子分别标记为“+”和“-”，有相应的产生与湮灭算符对易关系为对N的共同本征态|n+,n-，有 N|n+,n-= n|n+,n-类比单振子态可写出 二、角动量和无耦合振子定义则有 (满足角动量対易关系)对可有关系把“+”振子看成自旋向上1/2粒子，而“-

2、”振子为自旋向下1/2粒子，则J+产生一自旋向上粒子同时消灭一自旋向下粒子，从而角动量的z分量加 。类似地，J-使总自旋z分量-在上述操作中，总粒子数(n+n-)均不变将n+与j+m对应，n-与j-m对应，则上式与熟知的算符J、Jz及J2作用形式相同. 故可用 将角动量为j的体系看为(j+m)个自旋向上和(j-m)个自旋向下的粒子组成，这种等价至少对转动下的变换性质适用(具有相同的代数关系式)。但这种对应有特殊性。由于 (j+m)自旋向上粒子和(j-m)自旋向下粒子可导致总角动量为J=j,j-1,j-2,。这种对应相当于向上自旋与向下自旋态以完全对称形式叠加的特殊情形。这里：|0=|0,0三、

3、任意角动量体系的转动矩阵表达式 由于 ，对有由 ，利用Baker-Hausdorff引理：可得及可推得对照 相比 项系数得此即 的Wigner公式，适用于任意j。利用Schwinger振子模型的推导比以前的推导方式简洁很多3.11 张量算符 一、矢量算符 矢量在转动下其分量Vi按 变换，要求量子力学中的矢量算符之期望值在转动下具有与经典矢量在转动下的变换行为：即对无穷小角转动 分析x,y,z分量可得出:上式可作为矢量算符的定义。因角动量算符的对易关系是上式的特例，故角动量是矢量算符。类似地，x, p也是矢量算符。 矢量算符对易关系也决定了其有限转角下的变换行为（ ， ）二、笛卡尔张量和不可约张

4、量 将矢量变换推广,定义笛卡尔张量Tijk的转动变换性质：指标ijk的数目称为张量的“阶”（“秩”）。相比对应于 分量的变换可看做n个3维矢量直积的变换3独立分量J=1；n个J=1直积空间的转动可约化为一定数量不可约空间的直和。例如：将两矢量U,V笛卡分量相乘构成T的分量， , 有9个分量，是二阶笛卡张量。笛卡张量具有可约性的缺陷，即可分解为具有不同转动变换性质的几部分，如三部分的独立分量对应L=0,1,2的角动量多重性。笛卡张量可分解为按0，1，2阶球谐函数变换的三个张量。因此，球张量更基本。 三、球张量算符球张量的定义是参考球谐函数的转动变换性质来给出的对由于采用对应算符的变换结果：球张量算符球谐函数的转动变换结果：定义k阶（秩）球张量算符为其中q的个数（即张量的分量数）为2k+1。等价地有不难看出 是磁量子数为q的k阶球张量。但 包括更普遍的球张量形式（如 ）。 注意：球张量分量依球谐函数的分量方式构造。如： 四、球张量与角动量的对易关系对无穷小转动 得即上两式也可作为球张量的定义 五、张量的乘积该定理了指出通过两张量的乘积构造高阶或