在科学技术发展到跨进21世纪的今天

1、前言 在科学学技术发发展到跨跨进211世纪的的今天，应该交交给大学学生什么么样的数数学，数数学科学学的哲学学和方法法论、数数学应用用的思维维方式如如何，以以及把数数学作为为技术开开发的工工具是怎怎么样的的等等，这一系系列问题题已经尖尖锐地摆摆在工科科数学教教育工作作者面前前。目前前，大家家已经形形成的共共识是，讲授数数学知识识不能仅仅仅局限限于伴随随牛顿力力学产生生和发展展起来并并于一百百来年已已经形成成的经典典理论，而是不不仅教给给学生数数学基础础理论，还要教教给学生生应用数数学的技技能，特特别是数数学建模模和计算算机模拟拟的本领领；数学学应用的的思维方方式在提提倡抽象象思维的的同时更更强调

2、形形象思维维或直感感思维，使用几几何方法法，形象象化的描描述及计计算机图图示，因因为图形形对想象象力和创创造力是是强有力力的刺激激因素；数学应应用要把把计算机机及其技技术作为为不可缺缺少的工工具和手手段，使使大学生生学习计计算机同同数学科科学的学学习与研研究紧密密结合，不但会会用计算算机，而而且能理理解计算算机给出出的答案案。这些共识识就是数数学教育育改革所所追求的的方向和和目标。绪论：如如何认识识数学数学是人人类最古古老同时时又是最最富生命命力的知知识领域域之一。在近几几百年，几乎每每个世纪纪，数学学都出人人意料地地获得惊惊人的发发展而创创造出新新的黄金金时代。然而，时至今今日仍有有不少人人

3、对学习习、研究究数学的的目的和和意义产产生种种种疑惑，特别是是刚进入入高等学学校的接接受工程程技术教教育的学学生们总总是对学学习数学学产生一一系列的的疑问，问的最最多的是是“学习数数学对以以后所从从事的技技术工作作有什么么用？”。甚至至有人认认为随着着计算机机技术的的发展，大量的的计算问问题可以以由计算算机软件件处理，学习数数学知识识已不那那么重要要了。应应该说这这是我们们数学教教育现在在必须回回答的一一个带有有根本性性的问题题。当然然，大多多数人学学习数学学既不想想当数学学家，也也不想从从事数学学教育工工作，只只是为了了进一步步学习专专业知识识和技术术而学习习数学，而我们们面向工工程技术术教

4、育的的学生讲讲授数学学的方式式以及学学生的学学习方法法确实有有很多地地方值得得认真反反思。一一方面，过分的的注重“纯数学学”的严密密体系、严格的的证明和和复杂计计算，而而不注重重它的应应用性和和工具性性（科学学语言）；另一一方面，只满足足于会作作题、应应付考试试的“应试学学习”方式，致使学学生们无无法对数数学知识识、思想想、方法法及其应应用价值值有明晰晰的认识识。为此此，我们们提出新新的尝试试，既传传授基本本的数学学知识，又训练练应用技技能。本本章的目目的是想想让学生生对数学学有一个个基本的的概括性性认识。数学无处处不在数学是研研究数和和形及其其关系的的一门科科学。它它以研究究现时世世界中的的

5、数量关关系和空空间形式式为主要要任务。通俗地地讲，数数学是以以数字、符号、形状和和模式来来代替文文字的一一套特殊殊语言系系统。或或者说，数学是是一种能能够描述述各种客客观规律律的语言言，是任任何学科科都要用用到的、无比有有用、无无所不能能、神通通广大、全球共共通的一一种特殊殊语言。正像已已故的著著名数学学家华罗罗庚教授授所说，宇宙之之大，粒粒子之微微，火箭箭之速，华工之之巧，地地球之变变，生物物之谜，日用之之繁，数数学无处处不在，凡是有有“量”和“形”的地方方就少不不了用数数学，研研究量（或形）的关系系、量（或形）的变化化、量（或形）的变化化关系、量（或或形）的的关系的的变化等等问题都都离不开

6、开数学作作为语言言工具。我们现在在无法真真正理解解为什么么毫无智智能的动动物、植植物，甚甚至低等等生物，都会进进行奇特特的数学学创造。如某些些细菌的的繁殖会会满足一一些奇妙妙的数学学规律，植物的的花瓣形形成精美美的几何何图形，某些贝贝壳和松松果具有有螺旋形形生长模模式等等等。自然然界充满满着数学学概念的的实例。这就是是数学之之所以成成为描述述、解释释自然现现象的语语言的原原因。例例如，圆圆形蜘蛛蛛网是一一个简单单漂亮的的数学创创造，要要分析这这个美丽丽结构用用数学方方法进行行分析时时，出现现在蜘蛛蛛网中的的数学概概念是惊惊人的：半径、弦、平平行线段段、三角角形、全全等对应应角、对对数螺线线、悬

7、链链线和无无理数ee 。我们知道道蜜蜂营营造的蜂蜂房也是是奇妙的的数学图图形。十十八世纪纪初，法法国学者者马拉尔尔奇测量量了蜂房房，发现现正面看看去它是是镶嵌得得如此天天衣无缝缝的正六六角形，蜂王的的底都是是由三个个全等的的菱形组组成的，菱形的的钝角都都是1009，锐锐角都是是等于770（图图0-11），这这不仅是是蜂房 图00-1的空间结结构呈如如此精美美的几何何形状，而且据据巴黎科科学院院院士、瑞瑞士数学学家克尼尼格与苏苏格兰数数学家马马克劳林林的理论论计算，这种结结构消耗耗最少的的材料和和最少的的“工时”，这里里竟然符符合最优优化的数数学原理理，真是是不可思思议！蜜蜜蜂没有有学过镶镶嵌理

8、论论、求解解最大值值和最小小值方法法、解线线性代数数问题和和求含约约束条件件的最优优解的艺艺术，而而它却实实实在在在进行了了奇妙的的符合数数学原理理的工程程技术创创造，这这不正是是把自然然界与数数学联系系起来的的例证吗吗？在矿物结结构中，同样可可以找到到许多更更为奇妙妙的空间间图形，如食盐盐矿的晶晶体呈正正方体形形状，明明矾的晶晶体呈正正八面体体形状，而矿物物质中其其它更多多的晶体体呈更为为复杂的的几何形形状，如如十字架架石晶体体呈正交交或斜交交十字架架双晶形形；电气气石晶体体色泽美美丽可作作为宝石石，呈拄拄状晶形形，拄面面有明显显的纵条条纹，横横断面呈呈弧线三三角形；如石榴榴石的晶晶体结构构

9、呈菱形形十二面面体或四四角三八八面体的的复杂美美妙的几几何形状状，透明明色泽的的也可作作为宝石石等（图图0-22）。 图00-2再从宏观观来看，我们所所生活的的地球与与它的卫卫星月亮之之间有着着紧密的的联系，月亮是是沿着椭椭圆形轨轨道绕地地球旋转转的。轨轨道的远远日点距距离为44067700公公里（最最大），近日点点距离为为35664000公里（最小），亿万万年来，都是如如此周而而复始地地按此规规律运行行。我们们所处的的宇宙里里，天体体之间运运行规律律无一不不是精确确的数学学关系式式。伟大大的天文文学家开开普勒在在谐和和宇宙一书中中进一步步研究行行星运动动规律，发现了了著名的的开普勒勒行星运运

10、动运动动三大定定律： （1）行星绕绕太阳运运行的轨轨道是椭椭圆形的的，而太太阳在椭椭圆的一一个焦点点上。这这个定律律说明了了行星运运动轨道道的数学学形式为为： 运动方方程为： ， . 离离心率为为：（2）行行星的向向径（行行星与太太阳的连连线）在相等的的时间内内扫过相相等的面面积。这这个定律说明了了行星的的运动速速度的数数学形式式为：.（如图图0-33所示）（3）行行星绕太太阳公转转周期的的平方与与它们到到太阳的平均均距离的的立方成成正比例例。这个个定律说说明行图图0-33星行星运运动的周周期性。事实上上，说明明（其中中a表示行行星到太太阳的平平均距离离，T表表示公转转周期，G为万万有引力力常

11、数，M为太太阳质量量）。三定律的的发现，不仅使使人们准准确地预预先计算算出行星星的未来来的位置置，编制制成行星星的星历历表供航航海与大大地测量量使用，更重要要的是人人们可以以利用数数学的帮帮助去发发现新的的行星。果然，在开普普勒以后后的一百百年后，德国天天文学家家提出在在行星的的轨道间间缺一颗颗行星，17881年，德国天天文学家家威廉赫歇发发现了这这颗新星星，这就就是著名名的天王王星。19世纪纪中叶，法国天天文学家家勒维耶耶（18811-18777）和和英国天天文学家家亚当斯斯（18819-18992），分别独独立计算算出一颗颗新行星星，命名名为海王王星。这这些行星星运动的的规律、以及新新行星

12、的的发现，都是数数学方法法的光辉辉应用的的结果。目前已已发现了了距太阳阳约600亿公里里的最遥遥远的一一颗大行行星冥王王星，因因此，人人们已经经知道了了太阳系系有九大大行星。而且在在火星与与木星之之间发现现两千多多颗小行行星。太阳系所所在的星星系，成成为银河河星系。银河星星系的面面目已研研究的比比较清楚楚了。它它的形状状像个铁铁饼，直直径100万光年年，中央央厚度约约1万光光年。银银河系中中的物质质分布成成旋涡状状，状似似螺线，太阳系系在银河河系的边边沿。990年44月美国国发射太太空的哈哈伯望远远镜，观观察到遥遥远星系系的状况况，并发发现这些些星系的的运行规规律与人人们利用用数学计计算推测测

13、的结果果几乎是是一致的的。如今今，人们们利用数数学不仅仅能计算算出星系系的运行行规律，而且还还能计算算出恒星星的寿命命，以及及太阳系系、地球球、宇宙宙的年龄龄等等，这些研研究成果果越来越越使人类类更清晰晰地了解解我们的的宇宙过过去、现现在和未未来。至于人类类自身的的发明创创造，更更与数学学有密切切的联系系。高耸耸入云的的摩天大大楼、大大跨度的的大桥、高性能能的电子子仪器设设备、人人造卫星星、航天天飞机、计算机机网络与与信息通通讯设施施等等，这些全全是人类类数学智智慧的结结晶。二、数学学伴随人人的一生生从婴儿出出生的第第一刻起起，父母母要记他他的出生生时间、医生要要为他量量体重和和身长，还要检检

14、查各项项健康指指标，定定时、定定量哺乳乳、进食食，这些些都于数数学有关关，婴儿儿一出生生就遇到到了数学学，并在在以后的的时光里里，数学学将帮助助婴儿健健康成长长。随着幼儿儿的成长长，越来来越离不不开数学学。一旦旦人开口口学说话话，大人人开始教教数“1，22，3，”，“识数”是人生生的第一一课。后后来逐渐渐能直观观地识别别物体大大小、东东西的多多少，这这就有了了初步的的数量概概念，漫漫漫地大大人教他他学习画画三角形形、正方方形和圆圆等等。当你会会到商店店买东西西，就学学会了简简单计算算；正是是有了这这些初步步的数量量概念，才会有有时间概概念，知知道什么么时候看看电视、什么时时间睡觉觉，也会会记住

15、一一些重要要的节日日和自己己的生日日等；也也正是有有了这些些初步的的几何图图形概念念和简单单计算能能力，才才使幼儿儿逐渐具具有了数数量、运运算、空空间、形形状等初初始的数数学思想想意识。不难想想象，如如果我们们人类没没有这些些数、量量、空间间、形状状与关系系的思想想意识，人类将将和其它它动物一一样，陷陷入何等等浑噩无无知与黑黑暗之中中，那将将是非常常可怕的的混沌的的时代。事实上上，人类类的祖先先开启智智能的标标志之一一，就是是有了数数量和几几何形状状的观念念和意识识。当我们进进入小学学、中学学学校学学习，开开始正式式学习数数学这门门学科，懂得了了更为深深奥的数数学语言言和图形形语言。知道了了整

16、数、小数、分数、正数、负数、有理数数、无理理数、实实数和复复数，明明白了相相等与不不等、方方程与函函数、有有限与无无限、数数列与极极限；懂懂得了图图形的全全等与相相似、直直线、圆圆、轴对对称和中中心对称称、平移移、旋转转、标量量、矢量量、坐标标、正弦弦曲线、余弦曲曲线、抛抛物线、椭圆、双曲线线，多面面体、旋旋转体，空间曲曲线和曲曲面等等等。我们们也学会会了加、减、乘乘、除、乘方、开方，整式、分式、幂式、根式、方程式式、函数数式，等等式、不不等式，排列、组合、二项式式展开的的运算，学会了了几何作作图、等等分、等等积变形形、分割割、展开开、放大大、缩小小、平移移、旋转转、反射射以及无无限细分分与无

17、限限积累等等数学方方法。这这样以来来我们的的大脑里里已经装装进了人人类数千千年长期期总结积积累的初初等数学学知识的的精粹与与思维的的模式，使我们们的思维维方式更更科学化化了，也也就是说说，数学学训化了了我们的的大脑，使我们们更聪明明睿智了了。进入高等等教育阶阶段，我我们要成成为某个个学科或或技术领领域的专专门人才才，要学学习系统统的专业业知识和和技术，就需要要更多、更深入入的数学学知识。我们要要弄懂函函数与极极限、函函数与连连续，函函数的导导数、微微分、不不定积分分、定积积分、曲曲线积分分、曲面面积分，拉氏变变换和逆逆变换，级数、傅立叶叶级数与与函数的的泰勒展展式，微微分方程程，行列列式、矩矩

18、阵、线线性方程程组和nn维向量量，概率率统计，图论，线性规规划与动动态规划划等一系系列数学学概念和和知识，同时我我们还要要学会利利用这些些概念和和知识，会计算算变化率率、改变变量，会会分析函函数的性性质和函函数图形形的特征征，会求求函数的的极值，会进行行近似计计算与误误差分析析，会求求函数曲曲线所围围成的图图形的面面积、曲曲线长度度和曲面面体积，会求解解一阶线线性微分分方程和和二阶常常系数微微分方程程，会求求一些函函数的拉拉氏变换换和逆变变换，会会把一个个函数展展成幂级级数、把把周期函函数展成成傅立叶叶级数，会求行行列式的的值、会会进行矩矩阵变换换和解线线性方程程组，会会求矩阵阵的特征征值和特

19、特征向量量，会求求概率和和进行简简单的统统计分析析，会利利用图论论方法、线性规规划和动动态规划划解决一一些优化化问题，会利用用已有的的数学知知识和方方法建立立数学模模型等等等。十余年的的数学学学习，不不仅增长长了知识识，还学学会了逻逻辑思维维，就这这一点对对人的帮帮助最大大。当你你会归纳纳、类比比、联想想，会灵灵活处理理问题，增强了了直觉能能力，有有了数感感，有了了形感时时，那你你会变得得更聪明明、智慧慧。当你走向向技术或或管理岗岗位，经经常要借借助计算算机进行行工程计计算或经经济核算算，经常常要进行行分析、判断和和决策。这使你你感到通通过数学学培养出出的能力力有了用用武之地地。目前前出现的的

20、一些优优秀数学学软件功功能非常常强大，不仅能能进行数数值计算算，而且且还能进进行符号号运算，这不仅仅使繁琐琐的计算算、推导导变得轻轻松自如如，而且且也能协协助我们们进行逻逻辑思维维，作出出正确判判断。因因此学会会利用流流行的数数学软件件已是工工程师、经济师师们必不不可缺学学习任务务。我们要相相信，这这一系列列数学知知识的掌掌握和数数学能力力的培养养，是你你成为一一名高级级技术或或管理人人才的基基础。我们不难难发现，如今的的社会生生活信息息化程度度越来越越高，终终身学习习已经成成为人的的一种特特别需要要，“会学习习”已成为为当今社社会对人人的一种种基本要要求。然然而，“会学习习”的前提提是必须须

21、具备通通过数学学培养出出的足够够的 “阅读”能力和和逻辑思思维能力力。事实实证明，没有经经过数学学逻辑思思维训练练的人，一般不不会有健健全的学学习能力力。当然然，不一一定是终终身要学学数学，但一定定是终身身要用数数学。毫毫无疑问问，数学学将伴随随人的一一生。数学的基基本特征征数学是人人类智力力的产物物，许多多人认为为它具有有三个最最基本的的特征：一是高高度抽象象性，二二是高度度精确性性，三是是广泛应应用性。数学的高高度抽象象性 数，就就是离开开具体事事物的实实际背景景，仅仅仅从它的的数量侧侧面上反反映出来来的一种种抽象。在人类类有文字字记载的的初期，人们就就知道把把具体的的一些物物体的数数量用

22、符符号记录录下来，这时人人们已经经开始有有了把“数”从具体体事物抽抽象出来来的意识识。例如如3（古古代有各各种表示示方法，现在我我们采用用的是阿阿拉伯人人的记法法）这个个数既可可表示33个苹果果，也可可表示33个人或或3本书书等等，而3本本身已经经摈弃了了苹果、人或书书等的具具体含义义，仅仅仅抓住数数量这一一特征的的一种抽抽象。形，也是是如此，直线这这一概念念是从拉拉紧的纱纱线，透透过小孔孔的光线线，笔直直的路线线等等现现实事物物中抽象象出来的的。几何何学中的的直线舍舍弃了所所有纱线线、光线线、路线线等等事事物的性性质，只只留下在在一定方方向上无无限伸长长这一抽抽象形式式。几何何图形的的概念，

23、都是舍舍弃了现现实对象象的所有有性质，只留下下空间形形式和大大小、位位置这些些抽象结结果。全全部数学学都具有有这种抽抽象的特特征。其实，抽抽象的方方法其他他学科应应用也很很广泛，几乎任任何学科科都有一一些的抽抽象性的的概念手手段，如如现代物物理学中中的各种种“场”、“熵”、“势”等等也也都是比比较抽象象的概念念；又例例如力学学中的刚刚体运动动，常把把一个物物体视为为一个质质点，把把运动轨轨迹看成成一条曲曲线或直直线，这这就是典典型的抽抽象手法法。特别别是天体体运动研研究中，把星球球的运行行轨迹认认为是椭椭圆，这这时就把把巨大的的星球看看成是几几何点（无体积积的点，或把体体积“抽象”掉了）。但这

24、这些抽象象的概念念并没有有完全摆摆脱实际际背景，人们还还很容易易想到它它的真实实情况，而现代代纯粹数数学的抽抽象程度度越来越越高，有有些已经经难于找找到它的的现实背背景。尤尤其是在在过去的的一个世世纪里，数学从从内容、意义到到方法都都经历了了前所未未有的深深刻变革革。回顾顾这种深深刻变革革，我们们会发现现：数学学的无限限生命力力，恰恰恰是源于于其发展展过程中中的三个个貌似相相互矛盾盾、实则则相互统统一的特特点，即即：数学学的抽象象性、精精确性和和数学的的广泛应应用性。在200世纪，数学的的这两个个特点更更是共轭轭地发展展着，使使数学比比以往任任何时代代都更加加成为整整个科学学技术赖赖依生存存的

25、基础础和人类类文明、进步的的标志。脱离具体体的实际际背景对对事物进进行“量”与“形”的抽象象是数学学固有的的特性，可以说说没有这这种抽象象就没有有数学。20世世纪数学学更高的的抽象化化趋势，最初主主要是受受了两大大因素的的推动，即集合合论观点点与公理理化方法法，二者者相互结结合孕育育了抽象象代数、拓扑学学、泛函函分析等等新的抽抽象分支支，同时时又引发发了一些些传统数数学分支支(特别别如概率率论)的的革新。数学的的核心领领域不断断拓展，研究对对象不断断扩张。例如，过去作作为分析析学主角角的函数数概念被被扩张为为泛函、算子和和一般的的映射；代数学学研究的的中心从从普通的的数转化化为群、环、域域等一

26、般般的代数数结构；几何学学则主要要探讨各各种各样样的抽象象空间(包括无无穷维空空间、分分数维空空间、弯弯曲的非非欧空间间、可变变形的拓拓扑空间间等)。可可以说，现代数数学不仅仅研究现现实世界界的空间间形式与与数量关关系，而而且研究究一切可可能的空空间形式式与数量量关系。在更广广泛的意意义上，数学已已经被看看作是关关于“模型”(paatteern)的学科科，包括括数的模模型，形形的模型型，运动动与变化化的模型型，推理理的模型型，行为为的模型型这些些模型既既可以是是现实的的，也可可以是想想像的；既可以以是定量量的，也也可以是是定性的的，等等等。 纯粹数数学在220世纪纪经历了了一系列列激动人人心的

27、发发展，过过去若干干世纪以以来积累累的一些些重大问问题，有有许多已已获解决决或是取取得了重重要进展展。历3300余余年悬而而未决的的费马大大定理的的获证(19994)，可以说说是200世纪纯纯粹数学学美妙的的终曲。对于XX的n次次方XX的n次次方ZZ的n次次方这一一看似简简单的方方程式，费马在在3000多年前前提出，当n大大于或等等于3时时无整数数解。此此后，3300多多年无人人能证明明这一定定理。除除了费马马大定理理，像事事关数学学大厦基基础的哥哥德尔不不完全性性定理的的提出(19331)、具有异异乎寻常常的微分分结构的的“米尔诺诺怪球”的发现现(19956)、揭示示数学内内在统一一性的“阿

28、蒂亚亚辛格指指标定理理”的证明明(19963)、四色色定理的的攻克(19776)、有限单单群分类类的完成成(19980)、等等，这些辉辉煌的智智力成果果，不断断使科学学界震惊惊，而它它们的获获得，都都依赖于于极度抽抽象的概概念与方方法。以以费马大大定理的的证明为为例，由由于它综综合运用用了包括括数论、代数几几何、李李群和分分析等众众多数学学分支的的思想与与方法而而被喻为为“后现代代艺术”。这条条表述极极其初等等的定理理，要看看懂英国国数学家家维尔斯斯对它的的证明，即使对对训练有有素的职职业数学学家来说说也并非非易事，这多少少说明了了现代数数学抽象象的程度度。哥德德尔不完完全性定定理的提提出，可

29、可涉及的的领域甚甚至包括括哲学。其抽象象化也是是达到了了相当高高深的程程度。 现代数学学抽象化化趋势的的增长，有时不不免引起起人们对对数学的的误解，认为数数学是只只有少数数思维怪怪杰才能能问津的的、远离离现实的的象牙塔塔。然而而数学的的抽象决决不是无无源之水水、无本本之木。相反，数学与与现实世世界的联联系源远远流长。由于数数与形是是事物所所共有的的本质属属性的抽抽象，数数学在其其发展的的早期就就表现出出解决因因人类实实际需要要而提出出的各种种问题的的功效。随着数数学抽象象程度的的提高，数学与与现实世世界的联联系有时时呈现出出曲折性性，数学学理论往往往会领领先发展展，但这这常常只只是重大大应用的

30、的前奏。数学的的发展史史表明，数学的的抽象越越是完善善，其渗渗透能力力就越强强，应用用范围就就越广。20世世纪是一一个纯粹粹数学与与应用数数学相互互影响，共同繁繁荣的时时代，应应用数学学的蓬勃勃发展，已蔚成成当代数数学的强强大潮流流，并表表现出与与以往时时代不同同的鲜明明特征。在目前的的基础教教育和高高等教育育教学中中，尤其其是在高高等工程程技术教教育中，重视数数学知识识的实际际背景，加强应应用数学学意识与与能力的的培养，是十分分必要和和迫切的的任务。但我们们必须清清楚，数数学的巨巨大应用用威力，正是源源于它在在宇宙世世界和人人类社会会的探索索中对最最大限度度的一般般性即抽抽象性的的追求。数学

31、抽抽象作为为一种科科学思维维的范式式，是现现代化人人才不论其其从事何何种职业业所必必须具备备的基本本素质，虽然对对不同的的人要求求可有所所不同。值得指指出的是是，数学学抽象思思维包括括了演绎绎证明、归纳推推理、算算法构思思等不同同的方面面，应该该是一个个整体的的、全面面的概念念。我们在工工程类或或管理类类专业教教育中，特别强强调数学学回归自自然，回回归工程程实际，回归技技术应用用，但我我们不可可能摆脱脱数学的的抽象性性特点。在这里里把数学学教育的的目的定定位于应应用能力力培养，是非常常正确的的，且最最重要的的目的是是抽象思思维能力力培养，因为会会用抽象象的方法法解决问问题，是是高超智智慧的体体

32、现。其其实，抓抓住现实实对象的的根本特特征进行行抽象性性描述，往往会会使其特特征更明明了、简简洁、直直观。数学的高高度精确确性数学的高高度精确确性主要要表现在在数学定定义的准准确性、推理的的逻辑严严格性和和数学结结论的确确定无疑疑性与无无可争辩辩性。当当然，数数学严格格性不是是绝对的的，一成成不变的的，而是是相对的的，发展展的，体体现人们们的认识识逐渐深深化的过过程。数学的逻逻辑严密密性的主主要特征征是它的的经典部部分有一一套科学学、简明明的公理理系统，这些公公理系统统的标志志是：一一，它有有一套基基本术语语，或原原始概念念；二，它有一一组基本本命题，或原始始命题，或公理理；三，其余的的概念全

33、全由原始始概念出出发予以以定义，其余的的命题全全由公理理出发予予以推理理论证。现在，算术，几何，微积分分，泛函函分析，拓扑学学，集合合论，群群论，概概率论等等均已建建立在公公理化基基础上。它的所所有不能能是例证证和个别别验证，如著名名的歌德德巴赫猜猜想，有有人用计计算机验验证了几几百万个个素数都都是对的的，但这这仍不能能算证明明了歌德德巴赫猜猜想。再再如对于于下面的的二次式式我们可以以验证，当x=1,22,1000000时,都是素素数。可可是我们们决不能能下结论论对所有有的自然然数x, 是素素数。举举出一个个反例，就是xx=7224900，因为为 . 不能用用例证得得出结论论，任何何结论都都必

34、须经经过严密密的演绎绎推断，数学家家核心任任务是根根据已知知的结论论通过严严密演绎绎推理证证明新的的结论或或证实人人们的各各种猜想想等，而而其它学学科的专专家们只只关心数数学结论论极其应应用，不不必理解解其证明明细节，因此，从事工工程类或或管理类类专业数数学教育育的工作作者，千千万不要要以教会会数学的的严密证证明为目目的，而而是要以以帮助学学生分析析理解数数学结论论、训练练应用方方法为主主要任务务和目的的。3数学学的广泛泛应用性性自然科学学发展史史表明，任何学学科研究究都要经经历从定定性到定定量研究究的过渡渡和飞跃跃。只要要该学科科是不介介入实验验的，才才是该门门学科趋趋于成熟熟的表现现。要做

35、做到这一一点，数数学学科科是个有有力的杠杠杆。似似乎可以以这样说说，在现现代科学学技术十十大部门门（引自自钱学森森19889年88月在数数学会教教育与科科研座谈谈会上的的讲话发展我我国的数数学学科科。他他指出的的科学技技术十大大门类为为：自然然科学、社会科科学、数数学科学学、思维维科学、系统科科学、人人体科学学、军事事科学、文艺理理论、行行为科学学、地理理科学）中绝大大部门的的素养和和训练中中，数学学理论是是个终极极的目标标，这是是由于在在各个部部门的有有关现象象、规律律和结论论只有用用准确的的数学语语言才能能描绘清清楚。19世纪纪七、八八十年代代，还是是在现代代数学发发展的早早期，恩恩格斯曾

36、曾对当时时数学应应用的状状况作过过这样的的估计：“在固体体力学中中是绝对对的，在在气体力力学中是是近似的的，在化化学中是是简单的的一次方方程式，在生物物学中等等于零”。经过过一个多多世纪的的发展，可以看看到恩格格斯所描描述的情情况有了了根本的的改观。数学正正在向包包括从粒粒子物理理到生命命科学、从空间间科学到到地球科科学在内内的一切切科学领领域进军军。 数学在在物理学学中的应应用在220世纪纪取得了了一系列列新的突突破。众众所周知知，在相相对论和和量子力力学的创创立和发发展中，数学都都建有奇奇功：出出于纯粹粹数学的的兴趣而而获得的的抽象成成果(张张量分析析、无穷穷维空间间等)恰恰恰分别别为这两

37、两种新兴兴的物理理理论提提供了现现成合用用的数学学工具。抽象数数学为物物理学新新理论准准备了仿仿佛是定定做的工工具。在在20世世纪下半半叶又演演出了精精彩的一一幕，在在物理学学家探索索统一场场论的艰艰难卓绝绝的努力力中，数数学家们们发现著著名的杨杨米尔斯斯理论所所需要的的数学工工具早已已存在，物理规规范势实实际上就就是大范范围微分分几何中中纤维丛丛上的联联络。 至于现现代化学学，描述述化学过过程少不不了微分分方程和和积分方方程，并并且有许许多还是是连数学学家都感感到棘手手的非线线性方程程。 生物学学不用数数学的时时代也已已一去不不返。脍脍炙人口口的例子子是：拓拓扑学(特别是是其中的的扭结理理论

38、)为为解开DDNA双双螺旋结结构之谜谜提供了了一把钥钥匙。人人类基因因的破译译用到更更多的数数学知识识。今天天，数理理统计应应用于遗遗传学；概率论论应用于于人口统统计和种种群理论论；微分分方程应应用于各各种生物物模型的的建立；布尔代代数应用用于神经经网络描描述；这一一切已构构成了“生物数数学”的丰富富内容。 “数学物物理”、“数理化化学”、“生物数数学”、“数学地地质学”、“数理气气象学”，一连串串交叉学学科的形形成说明明了数学学向其它它自然科科学领域域渗透的的广度。而纯粹粹数学中中的一些些前沿与与其他科科学的许许多前沿沿领域的的快速结结合，则则反映了了数学渗渗透的深深度。可可以说没没有这些些

39、前沿数数学就没没有当代代物理学学的一些些前沿领领域如超超弦理论论、超引引力理论论等。事事实上，像超弦弦理论这这样的物物理学热热门分支支所用到到的数学学，就涉涉及微分分拓扑、代数几几何、微微分几何何、群论论、无穷穷维代数数、复分分析等等等。 除了自自然科学学，在经经济学、社会学学、历史史学等过过去认为为不适用用数学的的社会科科学部门门，数学学方法也也开辟了了广阔的的用武之之地。数数学正在在向社会会科学和和文化艺艺术领域域广泛渗渗透，这这是数学学应用不不同于以以往时代代的崭新新趋势。数学与与一些社社会科学学领域相相结合也也产生了了一系列列交叉学学科，如如数理经经济学、数理语语言学、数学考考古学、史

40、衡学学等等等。 数学在在经济学学中的应应用是很很具代表表性的例例子。220世纪纪四十年年代以来来，经济济学研究究的数学学化导致致了数理理经济学学的诞生生，参与与这门交交叉学科科建立的的有大数数学家冯冯诺依曼曼等。五五十年代代以后，数学方方法在西西方经济济学中占占据了重重要地位位，以致致大部分分的诺贝贝尔经济济学奖都都被授予予了与数数理经济济学有关关的工作作。其中中如不久久前曾来来北京参参加国际际数学家家大会并并作了公公众讲演演的美国国数学家家J纳什，他根据据对策论论数学原原理提出出非合作作对策的的“纳什均均衡”，成为为当前热热门的“双赢”概念的的理论基基础。因因此说纳纳什的数数学研究究不仅将将

41、改变经经济学的的面貌，而且将将影响整整个社会会科学的的未来，大概不不会过分分。又如如当前国国际金融融市场普普遍使用用的期权权定价公公式布莱克克斯科尔尔斯公式式，实际际上是根根据高度度抽象的的数学工工具(随随机微分分方程)导出的的数学公公式，这这一公式式被誉为为“华尔街街第二次次革命”的起点点，它表表明了抽抽象的数数学怎样样可以与与人们的的社会经经济利益益息息相相关。难难怪在四四方国家家读经济济学位，学习数数学知识识的深度度和广度度往往比比其它学学科都要要高。 现代数数学不仅仅影响着着人们的的经济活活动，而而且正在在影响着着人们的的文化生生活。数数学通过过计算机机，正在在提供新新的艺术术创作手手

42、段和艺艺术产品品，给人人们带来来全新的的艺术享享受。想想一想数数码音像像、三维维动画，还有那那精美绝绝伦的分分形绘画画等等等。数学学与艺术术相结合合，正在在走进千千家万户户。 还是在在上个世世纪的前前半叶，著名社社会活动动家WF怀特曾曾这样写写道：“数学化化的社会会科学将将成为未未来文明明的控制制因素”。今日日的社会会科学离离怀特预预言的目目标相距距还远，但200世纪应应用数学学的发展展历程表表明，这这方面的的前景是是光明的的。 现代数数学对生生产技术术的应用用变得越越来越直直接。以以前数学学工具直直接应用用于生产产技术的的事例虽虽有发生生，但数数学与生生产技术术的关系系基本上上是间接接的，往

43、往往是先先应用于于其他科科学(如如力学、物理学学、天文文学)，再由这这些科学学提供技技术进步步的基础础。200世纪下下半叶以以来，数数学与生生产技术术的相互互作用正正在加强强，数学学提供的的工具直直接推动动技术革革新的频频率正在在加快，并在许许多情况况下产生生出巨大大的经济济效益。 众所周知知，数学学是历次次产业革革命的重重要推动动因素。如果说说数学间间接地引引导了前前两次产产业革命命(以微微积分为为基础的的17、18世世纪科学学的高涨涨成为以以蒸汽机机等为主主导技术术的第一一次产业业革命的的先导；与数学学分析的的进步密密不可分分的199世纪数数学物理理的发展展为以发发电机、无线电电通信等等为

44、主体体技术的的第二次次产业革革命奠定定了理论论基础)，那么么它在220世纪纪发生的的第三次次产业革革命中则则更多地地站到了了前台。例如，如果没没有数学学家的参参与，就就不可能能有现代代计算机机技术与与庞大的的计算机机产业。数学家家对电子子计算机机的发明明和发展展有不可可磨灭的的贡献。冯诺依曼曼是第一一台通用用电子计计算机(ENIIAC)的主要要研制者者之一，他的程程序内存存思想至至今仍是是现代计计算机的的主要设设计理念念。英国国数学家家图灵的的“理想计计算机”(“图灵机机”)提供供了通用用数字计计算机的的理论模模型。图图灵本人人也是早早期电子子计算机机研制的的元勋。值得注注意的是是，“图灵机机

45、”的提出出完全是是为了解解决与数数学基础础有关的的一个纯纯理论问问题(可可判定性性问题)。 除了计计算机技技术，数数值模拟拟已成为为航空、航天设设计的有有效工具具，类似似的数值值模拟方方法正在在被应用用于包括括核工业业在内的的许多技技术部门门，以代代替耗资资巨大的的试验；19880年以以来，小小波分析析直接应应用于通通信、石石油勘探探、图像像压缩等等技术领领域；现现代医学学仪器工工业也离离不开数数学(如如CT扫扫描仪的的研制，就是以以现代数数学中所所谓“拉东积积分”理论为为基础，有关的的科学家家因此荣荣获了诺诺贝尔医医学生理理学奖)，等等等。这样样的例子子举不胜胜举。 现代数数学正在在通过向向

46、人类几几乎所有有的知识识领域空空前广泛泛地渗透透而影响响着人们们的生活活方式物物质的和和精神的的生活方方式。 数学的的抽象性性与广泛泛应用性性的基本本特征，决定了了它的科科学地位位与文化化价值。高斯曾曾同时将将数学比比作科学学的“皇后”和“仆人”，这确确是恰当当的评价价。数学学的抽象象智力成成果，以以其逻辑辑的威力力和算法法的精密密将永远远是这门门科学的的光荣所所在。但但抽象的的数学语语言与数数学结构构，如果果不能服服务于其其他科学学技术领领域，也也不可能能享有如如此的尊尊荣。正正确认识识数学这这两方面面的特征征及相互互关系，对于推推动数学学科学的的健康发发展至关关重要。 四、数学学对人类类文

47、明和和科技进进步的影影响其实上面面对数学学广泛应应用性的的描述中中，我们们可以体体会到数数学对人人类文明明和科技技进步的的影响，但下面面我们就就19、20世世纪里数数学在科科学中的的作用和和影响作作进一步步的概述述。“数学：科学的的王后和仆人”是已故故美国科科学院院院士贝尔尔于19951年年写的一一本书的的书名，该书主主要是为为数学圈圈子以外外的人写写的，介介绍纯粹粹数学和和应用数数学的各各个方面面，更着着重在说说明数学学科学的的突出重重要性。这本书书实际上上是他119311年写的的科学学的女王王和119377年写的的科学学的女仆仆这两两本通俗俗数学读读物的合合一修订订扩大版版。 按常理理，女

48、王王是高雅雅、权威威和至尊尊至贵的的，是阳阳春白雪雪，在科科学中只只有纯粹粹数学才才具有这这样的特特点。简简洁明了了的数学学定理一一经证明明就是永永恒的真真理，极极其优美美而且无无懈可击击。另一一方面，科学和和工程的的各个分分支都在在不同程程度上大大量使用用数学，享受着着数学的的贡献。这时数数学科学学就是仆仆人，英英文书名名中seervaant这这个字在在英文里里有“供人们们利用之之物，有有用的服服务工具具”的意思思。 首先，我们来来回顾一一下形成成我们现现在这个个飞速发发展的信信息社会会的所有有重大科科学理论论在发展展和完善善过程中中数学所所起到的的不可或或缺的作作用。 20世世纪最大大的科

49、学学成就莫莫过于爱爱因斯坦坦的狭义义和广义义相对论论了，但但是如果果没有黎黎曼于118544年发明明的黎曼曼几何，以及凯凯莱，西西勒维斯斯特和诺诺特等数数学家发发展的不不变量理理论，爱爱因斯坦坦的广义义相对论论和引力力理论就就不可能能有如此此完善的的数学表表述。爱爱因斯坦坦自己也也不止一一次地说说过这一一点。例例如，119122年夏他他已经概概括出新新的引力力理论的的基本物物理原理理，但是是为了实实现广义义相对论论的目标标，还必必须寻求求理论的的数学结结构，爱爱因斯坦坦为此花花了3年年的时间间，最后后，在数数学家MM格拉斯斯曼的介介绍下掌掌握了发发展相对对论引力力学说所所必需的的数学工工具以黎

50、曼曼几何为为基础的的绝对微微分学，也就是是爱因斯斯坦后来来所称的的张量分分析。在在19115年111月225日发发表的一一篇论文文中，爱爱因斯坦坦终于导导出了广广义协变变的引力力场方程程，在该该文中他他说：“由于这这组方程程，广义义相对论论作为一一种逻辑辑结构终终于大功功告成！”广义相相对论的的数学表表达第一一次揭示示了非欧欧几何的的现实意意义，成成为历史史上数学学应用最最伟大的的例子之之一。他他还说过过“事实上上，我是是通过她她(诺特特)才能能在这一一领域内内有所作作为的。” 如果没没有凯莱莱在18858年年发展的的矩阵数数学及其其后继者者的进一一步发展展，海森森伯和狄狄拉克就就无法开开创现

51、代代物理学学量子力力学方面面的革命命性工作作。狄拉拉克甚至至说，创创建物理理理论时时，“不要相相信所有有的物理理概念”，但是是要“相信数数学方案案，甚至至表面上上看去，它与物物理学并并无联系系。” 整个电电磁场的的理论是是由马克克斯威尔尔方程组组表述的的，但是是“虽然场场的理论论起源应应归功于于英国物物理学家家法拉第第，但法法拉第不不是数学学家，他他没能发发展这个个概念。经过马马克斯威威尔之手手，电场场理论得得到了精精确的描描述，成成为以后后所有场场论的模模式。” 整个流流体运动动的理论论是由纳纳维托克斯斯方程组组表述的的，它首首先是由由法国多多科工艺艺和交通通工程学学校的力力学教授授纳维初初

52、步完成成的，而而最终是是由英国国物理学学家和数数学家斯斯托克斯斯爵士完完善并完完成的。 计算的的技艺数值值分析以以及运算算速度的的问题(计算机机的制造造)，牛牛顿、莱莱布尼兹兹、欧拉拉、高斯斯都曾给给予系统统研究，它们一一直是数数学的重重要部分分。在现现代计算算机的发发展研制制中数学学家起了了决定性性的作用用。莱布布尼兹，贝巴奇奇等数学学家都曾曾研制过过计算机机。200世纪330年代代，符号号逻辑的的研究方方程活跃跃，丘奇奇，哥德德尔，波波斯特和和其他学学者研究究了形式式语言。经过他他们以及及图灵的的研究工工作，形形成了可可计算性性这个数数学概念念。19935年年前后，图灵建建立了通通用计算算

53、机的抽抽象模型型。这些些成果为为后来冯冯诺伊曼曼和他的的同事们们制造带带有存储储程序的的计算机机，为形形式程序序的发明明提供了了理论框框架。 通信的的数学理理论是由由数学家家香农(他还具具有电气气工程的的学位)于19948年年发表的的通信信的数学学理论一书奠奠定其理理论基础础的，随随后就掀掀起了持持续的信信息技术术革命。数学家家纳维于于19448年出出版的控制论论一书书宣告了了控制论论这门学学科的诞诞生。 自自19668年起起诺贝尔尔经济学学奖获奖奖设立项项目900%以上上都是有有关经济济学行为为的数学学建模及及相应的的研究工工作，获获奖者中中不少人人有数学学博士学学位。特特别要提提到的是是1

54、9994年诺诺贝尔经经济学奖奖授予纯纯粹数学学家J纳什是是意义重重大的，“这意味味着在诺诺贝尔奖奖93年年的历史史上，第第一次授授予了纯纯数学领领域的工工作。”类似的的例子还还有许多多，我们们不再举举了，我我们真正正要讨论论的问题题，是从从这些事事实中我我们得到到什么样样的启示示。 首首先，正正如马克克思认为为的“一种科科学只有有在成功功地运用用数学时时，才算算达到了了真正完完善的地地步。”纯粹数数学的优优秀成果果往往为为重大科科学理论论的建立立作好了了准备，有时甚甚至是先先导。千千万不能能忽视纯纯粹数学学的发展展，特别别是要有有一批精精兵强将将长期从从事纯粹粹数学基基础理论论的研究究，并有有

55、条件经经常和应应用科学学家进行行交流，让搞应应用的了了解并应应用纯数数学成果果。应用用数学家家去解决决各种实实际问题题时，在在观念上上不可有有单打独独斗的想想法，一一定要与与相应领领域的专专家紧密密合作。在我国国凡是做做出重大大科研成成果的科科学家都都有上述述特点。仅以国国家最高高科学技技术奖为为例，吴吴文俊、王选和和黄昆，他们或或是数学学家，或或是数学学专业毕毕业同时时又掌握握计算机机硬件和和软件的的技术，或是能能用完善善的数学学形式表表述其深深刻的物物理洞察察。所有有这些充充分说明明了“数学的的思考方方式有着着根本的的重要性性。简言言之，数数学为组组织和构构造知识识提供方方法。一一旦数学学

56、用于技技术，它它就能产产生系统统的、可可再现的的并能传传授的知知识。分分析、设设计、建建模、模模拟和应应用便会会成为可可能，变变成高效效的富有有结构的的活动。”也就是是说能转转化为生生产力。但是，50年年前数学学虽然也也直接为为工程技技术提供供一些工工具，但但基本上上是间接接的：先先促进其其他科学学的发展展，再由由这些科科学提供供工程原原理和设设计的基基础。现现在，数数学和工工程之间间在更广广阔的范范围内和和更深的的层次上上，直接接地相互互作用着着，极大大地推动动了数学学和工程程科学的的发展，也极大大地推动动了技术术的进步步。 20世世纪后半半叶最重重要的科科技进展展之一是是计算机机、信息息和

57、网络络技术的的迅速发发展。我我们仅就就计算机机的运算算速度来来看，119466年公开开展示的的第一台台计算机机电子数数学积分分计算机机的运算算速度是是每秒符符点运算算5，0000次次，现在在已经达达到每秒秒符点运运算1000亿次次，据专专家估计计到20010年年可达到到一万亿亿次。可可以想象象现在计计算机能能完成的的工作和和50年年前相比比简直是是不可同同日而语语。现在在有点象象牛顿、莱布尼尼兹发明明微积分分时的情情况，当当初微积积分还很很不严密密，但用用来描述述、研究究各种实实际问题题产生了了许许多多多的数数学模型型，有的的能求解解出来，就能不不同程度度地解决决问题。然而，当时算算不出来来，

58、或者者不能及及时算出出来，也也就不能能解决问问题。现现在，计计算速度度等技术术指标在在某种意意义下远远远走在在前面了了。“数学建建模和与与之相伴伴的计算算正在成成为工程程设计中中的关键键工具。科学家家正日益益依赖于于计算方方法，而而且在选选择正确确的数学学和计算算方法以以及解释释结果的的精度和和可靠性性方面必必须具有有足够的的经验。”我们看看到的是是各行各各业都在在大量应应用数学学和计算算机等技技术，通通过数学学建模、仿真等等手段解解决问题题，并且且把解决决同类问问题的方方法和成成果制作作成软件件(它们们甚至是是相当傻傻瓜化的的)，并并进行销销售。人人们看到到的正是是这种数数学应用用大发展展的

59、景象象，更确确切地说说是美国国科学基基金会数数学部主主任在评评论数学学科学列列为五大大创新项项目之首首时所说说的，“该重大大创新项项目背后后的推动动力就是是一切科科学和工工程领域域的数学学化。”当然也也有不同同认识，也有人人认为不不需要懂懂得很多多数学，只要会会用软件件就行了了。也有有人认为为现在不不需要发发展基础础数学了了，只要要通过数数学建模模和计算算加上物物理的直直观就可可以解决决问题了了。特别别是，有有人认为为现在的的学生不不需要学学那么多多的数学学了。这这实在是是极大的的误解。 有有人认为为，能够够马上拿拿来就用用的数学学一定是是相当成成熟的成成果。但但是为了了解决现现实中的的重大问

60、问题，已已有的数数学成果果是远远远不够的的。产生生上述误误解的原原因主要要是对新新世纪科科技发展展与数学学之间的的关系思思考、认认识不够够。一百百多年以以前恩格格斯没有有预料到到，科学学发展到到今天，数学在在生物学学、医学学等领域域正起着着越来越越重要的的作用，无论在在生态学学、生理理学、心心理学，以至DDNA和和生命科科学的研研究中，我们都都看到数数学的强强大生命命力。甚甚至医生生在做手手术之前前都可以以先进行行数学模模拟以预预知各种种方案可可能出现现的后果果，再依依据个人人的经验验来选择择手术方方案。220022年美国国科学基基金会专专门在俄俄亥俄州州立大学学成立了了一个“数学生生物科学学