安徽省黄山市徽州中学2021-2022学年数学高二下期末达标检测试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题

2、卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设i是虚数单位，则复数的虚部是（ ）AB2CD2在同一直角坐标系中，曲线y=sin(x+Ay=13Cy=3sin(2x+3已知x，y的取值如下表示：若y与x线性相关，且，则a=（ ）x0134y2.24.34.86.7A2.2B2.6C2.8D2.94设函数为自然对数的底数）在上单调递增，则实数的取值范围为（）ABCD5命题：“关于x的方程的一个根大于，另一个根小于”；命题：“函数的定义域内为减函数”.若为真命题，则实数的取值范围是（ ）ABCD6用数学归纳法证明等式时，第一步验

3、证时，左边应取的项是()A1BCD7在含有2件次品的6件产品中任取3件，恰有1件次品的概率为（）ABCD8直线是圆的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为 （ ）ABCD9如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，由图得到结论不正确的为（ ）A性别与是否喜欢理科有关B女生中喜欢理科的比为C男生不喜欢理科的比为D男生比女生喜欢理科的可能性大些10若函数sinxcosx,xR,则函数的最小值为ABCD11已知命题,那么命题为ABCD12设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：若mn，m，则n；若m，m，则；若mn，m，则

4、n；若m，m，则.其中真命题的个数为()A1 B2 C3 D4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13计算：_14有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用表示取到次品的件数，则的概率是_；_15已知函数，则_.16已知函数，令，若函数有四个零点，则实数的取值范围为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（为参数），把曲线C的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线直线l的普通方程是，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l的极坐标方程和曲线的普通方

5、程；（2）记射线（）与交于点A，与l交于点B，求的值.18（12分）已知直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cos ，直线l与圆C交于A，B两点(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；(2)动点P在圆C上(不与A，B重合)，试求ABP的面积的最大值19（12分）已知函数.()当时,求曲线在点处的切线方程;()若存在两个极值点,证明:.20（12分）为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m，圆心角为的扇形地上建造市民广场，规划设计如图：内接梯形区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径，上，C，D在圆弧上，；上，；区

6、域为文化展区，长为，其余空地为绿化区域，且长不得超过200m.(1)试确定A，B的位置，使的周长最大？(2)当的周长最长时，设，试将运动休闲区的面积S表示为的函数，并求出S的最大值.21（12分）已知.（1）求证：恒成立；（2）试求的单调区间；（3）若，且，其中，求证：恒成立.22（10分）已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.（）求椭圆方程；（）记与的面积分别为和，求的最大值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部.【详

7、解】，因此，该复数的虚部为，故选B.【点睛】本题考查复数的概念，考查复数虚部的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.2、C【解析】由x=12x【详解】由伸缩变换得x=2x,y=13即y=3sin(2x+【点睛】本题考查伸缩变换后曲线方程的求解，理解伸缩变换公式，准确代入是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。3、B【解析】求出，代入回归方程可求得【详解】由题意，所以，故选：B.【点睛】本题考查回归直线方程，掌握回归直线方程的性质是解题关键回归直线一定过中心点4、D【解析】根据单调性与导数的关系，有在上恒成立，将恒成立问题转化成最值问题，利用导

8、数，研究的单调性，求出最小值，即可得到实数的取值范围。【详解】依题意得，在上恒成立，即 在上恒成立，设，令， ，所以，故选D。【点睛】本题主要考查函数单调性与导数的关系，将函数在某区间单调转化为导数或者的恒成立问题，再将其转化为最值问题，是解决此类问题的常规思路。5、B【解析】通过分析命题为假命题只能真，于是可得到答案.【详解】命题真等价于即；由于的定义域为，故命题为假命题，而为真命题，说明真，故选B.【点睛】本题主要考查命题真假判断，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力，分析能力，难度中等.6、D【解析】由数学归纳法的证明步骤可知：当时，等式的左边是，应选答案D7、A【解析】求出基本事件的总

9、数和恰有1件次品包含的基本事件个数即可.【详解】在含有2件次品的6件产品中任取3件，基本事件的总数为：恰有1件次品包含的基本事件个数为在含有2件次品的6件产品中任取3件，恰有1件次品的概率为故选：A【点睛】本题考查的是古典概型及组合的知识，较简单.8、C【解析】由是圆的一条对称轴知，其必过圆心，因此，则过点斜率为1的直线的方程为，圆心到其距离，所以弦长等于，故选C9、C【解析】本题为对等高条形图，题目较简单，逐一排除选项，注意阴影部分位于上半部分即可【详解】解：由图可知，女生喜欢理科的占，故B正确；男生喜欢理科的占，所以男生不軎欢理科的比为，故C不正确；同时男生比女生喜欢理科的可能性大些，故D

10、正确；由此得到性别与喜欢理科有关，故A正确故选：【点睛】本题考查等高条形图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题10、B【解析】函数，函数的最小值为故选B11、C【解析】全称命题的否定是特称命题,要前改量词，后面否定结论,故选C.12、A【解析】对于，由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于，平面与可能平行或相交，故错误；对于，直线n可能平行于平面，也可能在平面内，故错误；对于，由两平面平行的判定定理易得平面与平行，故错误综上所述，正确命题的个数为1，故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】将变为，然后利用组合数性质即可计算出所求

11、代数式的值.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查组合数的计算，利用组合数的性质进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.14、 【解析】表示两件产品中，一个正品一个次品，可求概率；求出的所有取值，分别求出概率可得.【详解】,根据题意的所有取值为；，故.【点睛】本题主要考查随机变量的期望，明确随机变量的可能取值及分布列是求解关键.15、1【解析】利用分段函数的性质求解【详解】解：，故答案为：1【点睛】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的灵活运用16、【解析】可作出的图像，将问题转化为函数与直线的交点问题，观察图像可得到答案.【详解】当时，可理解为函数与直线的交点

12、问题（如图）令，有，设切点的坐标为，则过点的切线方程为，将点坐标代入可得：，整理为：，解得：或，得或，故，而，两点之间的斜率为，故.【点睛】本题主要考查零点及交点问题，过点的切线问题，意在考查学生的划归能力，分析能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）由为参数），消去参数，得曲线的普通方程，然后利用伸缩与平移变换可得的普通方程；（2）分别把代入与的极坐标方程，求得，的值，则的值可求【详解】（1）将代入直线l的方程，得：化简得直线l的极坐标方程为.由曲线C的参数方程消去参数得曲线C的普通方程为：，伸缩

13、变换，即，代入，得，即故曲线的普通方程为：.（2）由（1）将曲线的普通方程化为极坐标方程为，将（）代入，得，将（）代入得，故.【点睛】本题考查参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中参数的几何意义及其应用，着重考查了运算与求解能力，是中档题18、（1）(x2)2y24；（2）2.【解析】（1）圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l的参数方程代入圆C的的直角坐标方程，利用直线参数方程的几何意义，即可求解；（2）要求ABP的面积的最大值，只需求出点P到直线l距离的最大值，将点P坐标设为圆方程的参数形式，利用点到直线的距离公式以及三角函数的有界性，即可求解.【详解

14、】(1)由4cos 得24cos ，所以x2y24x0，所以圆C的直角坐标方程为(x2)2y24.设A，B对应的参数分别为t1，t2.将直线l的参数方程代入圆C：(x2)2y24，并整理得t2t0，解得t10，t2.所以直线l被圆C截得的弦AB的长为|t1t2|.(2)由题意得，直线l的普通方程为xy40.圆C的参数方程为 (为参数)，可设圆C上的动点P(22cos ，2sin )，则点P到直线l的距离d，当1时，d取得最大值，且d的最大值为2.所以SABP(2)2，即ABP的面积的最大值为2.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，考查直线参数方程几何意义的应用，以及利用圆的参数方程求

15、最值，属于中档题.19、 ()切线方程为y=0；()证明见解析【解析】（）求出当k=2时的函数的导数，求得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程，可得切线方程；（）由题意存在两个极值点,求导令导函数得0可得,，将之代入转化成证明，再由函数的单调性即可证明.【详解】()当k=2时,即有f(1)=0，所以,f(1)=0.所以切线方程为y=0；()因为，存在两个极值点,所以,是的根，设，,所以,，解得，因为，因为，即证，即证又，则转化为，即证，由()可知,当k=2时,在（0，+）单调递减，而，因为，即恒成立，故得证.【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数证明不等式恒成立，证明不等式恒

16、成立通常运用转化思想，本题将不等式转化为已知函数求单调性，在利用导数单调性进行证明，属于难题.20、（1）、都为50m；（2）；最大值为.【解析】对于（1），设，m，在OAB中，利用余弦定理可得，整理得，结合基本不等式即可得出结论；对于（2），当AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形，过O作OFCD交CD于F，交AB于E，则E、F分别为AB，CD的中点，利用已知可表示出相关线段；然后利用梯形的面积公式可知， ，令，结合导数，确定函数的单调性，即可求出S的最大值【详解】解：（1）设，m，在中，即.所以.所以，当且仅当时，取得最大值，此时周长取得最大值.答：当、都为50m时，的周长最大. （2

17、）当的周长最大时，梯形为等腰梯形. 如上图所示，过O作交于F，交于E，则E、F分别为、的中点，所以.由，得.在中，.又在中，故.所以，.令，.又及在上均为单调递减函数，故在上为单调递减函数.因，故在上恒成立，于是，在上为单调递增函数.所以当时，有最大值，此时S有最大值为.答：当时，梯形面积有最大值，且最大值为.【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式以及导数的应用，在（2）中得到后，利用导数得到求出，结合函数在公共区间上，减函数+减函数等于减函数，从而确定在上为单调递减函数.属于难题.21、 (1) 证明见解析；(2) 单调递增区间为，无单调递减区间。 (3)证明见解析【解析】（1）构造函数

18、，利用导数求出函数的最小值，利用来证明所证不等式成立；（2）先解等式可得出函数的定义域，求出该函数的导数，利用（1）中的结论得出在定义域内恒成立，由此可得出函数的单调区间；（3）证法一：利用分析法得出要证，即证，利用数学归纳法和单调性证明出对任意的恒成立，再利用（1）中的不等式即可得证；证法二：利用数学归纳法证明，先验证当时，不等式成立，即，再假设当时不等式成立，即，利用函数的单调性得出，由归纳原理证明所证不等式成立.【详解】（1）令，则，由得，由得.函数在上单调递减，在上单调递增，即恒成立；（2）由得或，函数的定义域为，因为，由（1）可知当时，恒成立，且，.函数单调递增区间为，无单调递减区间；（3）证法一：，要证，即证，即证，即证.先证对任意，即，即.构造函数，其中，则，则函数在上单调递增，所以，对任意的，即，.下面证明对任意的，.，.假设当时，则当时，.由上可知，对