材料力学 弯曲变形

1、材料力学课件 弯曲变形第1页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四第七章 弯曲变形 (Deflection of Beams) 7-1 基本概念及工程实例（Basic concepts and example problems) 7-4 用叠加法求弯曲变形 ( Beam deflections by superposition )7-3 用积分法求弯曲变形（Beam deflection by integration )7-2 挠曲线的微分方程（Differential equation of the deflection curve)第2页，共72页，2022年，5月20日，4

2、点5分，星期四7-5 静不定梁的解法(Solution methods for statically indeterminate beams)7-6 提高弯曲刚度的措施(The measures to strengthen rigidity)第3页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 7-1 基本概念及工程实例（Basic concepts and example problems）一、工程实例（Example problem）第4页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变形,以满足特定的工作需要. 例如,车辆上的

3、板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受到的冲击和振动作用.第5页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四1.挠度（ Deflection ）二、基本概念（Basic concepts）w挠度CCAB w x 横截面形心 C （即轴线上的点）在垂直于 x 轴方向的线位移,称为该截面的挠度.用w表示.第6页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四2.转角 （Slope）转角ACCwB xw挠度（ 横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角. 用 表示第7页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四3.挠曲线 （Deflection curve） 梁变形后的轴线

4、称为挠曲线 . 式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度.挠曲线wAB x转角w挠度（CC 挠曲线方程（equation of deflection curve）为第8页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四4.挠度与转角的关系（Relationship between deflection and slope）：wAB x转角w挠度CC挠曲线第9页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四5.挠度和转角符号的规定（Sign convention for deflection and slope） 挠度向上为正,向下为负. 转角自x 转至切线方向,逆时

5、针转为正,顺时针转为负. wAB x转角w挠度CC挠曲线第10页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四7-2 挠曲线的微分方程（ Differential equation of the deflection curve)一、推导公式（Derivation of the formula)1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系（Relationship between the curvature of beam and the bending moment） 横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响, 则第11页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四2.由数

6、学得到平面曲线的曲率（The curvature from the mathematics）第12页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 在规定的坐标系中,x 轴水平向右为正, w轴竖直向上为正. 曲线向上凸时:OxwxOw 因此,与的正负号相同 曲线向下凸时:第13页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve）(6.5) 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 项;（3）与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为第1

7、4页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 7-3 用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration )一、微分方程的积分 （Integrating the differential equation ) 若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成第15页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 2.再积分一次,得挠度方程（Integrating again gives the equation for the deflection）二、积分常数的确定（Evaluating the constants of integrat

8、ion） 1.边界条件（Boundary conditions） 2.连续条件（Continue conditions） 1.积分一次得转角方程（The first integration gives the equation for the slope）第16页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四AB 在简支梁中, 左右两铰支座处的挠度和都等于0. 在悬臂梁中,固定端处的挠度和转角都应等于0.AB第17页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四ABxFw例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定

9、其最大挠度 和最大转角 第18页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四（1） 弯矩方程为解：（2） 挠曲线的近似微分方程为xwABxF 对挠曲线近似微分方程进行积分第19页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 梁的转角方程和挠曲线方程分别为 边界条件 将边界条件代入（3）（4）两式中,可得第20页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四BxyAF（ ）都发生在自由端截面处和（ ）第21页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四例题2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定

10、其和ABql第22页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 解:由对称性可知,梁的两个支反力为ABqlFRAFRBx 此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为第23页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 梁的转角方程和挠曲线方程分别为 边界条件x=0 和 x=l时, xABqlFRAFRBAB 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值， 最大转角和最大挠度分别为wmax 在梁跨中点处有最大挠度值第24页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四例题3 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力F的作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并

11、求其最大挠度和最大转角.ABFDabl第25页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四解: 梁的两个支反力为FRAFRBABFDabl12xx 两段梁的弯矩方程分别为第26页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 两段梁的挠曲线方程分别为 （a）（0 x a） 挠曲线方程 转角方程 挠度方程第27页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 挠曲线方程 转角方程 挠度方程 （b）（ a x l ）第28页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 D点的连续条件 边界条件 在 x = a 处 在 x = 0 处, 在 x = l 处, 代入方程可解

12、得:ABFDab12FRAFRB第29页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 （a）（0 x a） （b）（ a x l ）第30页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 将 x = 0 和 x = l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角 当 a b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大第31页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 简支梁的最大挠度应在处 先研究第一段梁,令得 当 a b时, x1 a 最大挠度确实在第一段梁中第32页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 梁中点 C 处的挠度为 结论:在简支梁中, 不论它受什么荷

13、载作用, 只要挠曲线上无 拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度是能满足工程要求的.第33页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 （a）对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的.所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程.只增加了(x-a)的项. （b）对(x-a)的项作积分时,应该将(x-a)项作为积分变量.从而简化了确定积分常数的工作.积分法的原则第34页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 74 用叠加法求弯曲变形 （Beam deflections by superposition ） 梁的变形微小,

14、 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角,就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就是叠加原理.一、叠加原理 （Superposition） 第35页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 1.载荷叠加（Superposition of loads）多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和. 2.结构形式叠加（逐段刚化法）第36页，共72页，

15、2022年，5月20日，4点5分，星期四 按叠加原理求A点转角和C点挠度.解:（a）载荷分解如图（b）由梁的简单载荷变形表,查简单载荷引起的变形.BqFACaaF=AB+ABq第37页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 （c）叠加qFF=+AAABBBCaaq第38页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四例题4 一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示.试按叠加原理求梁跨中点的挠度 wC和支座处横截面的转角A , B 。ABCqMel第39页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 解:将梁上荷载分为两项简单的荷载,如图所示ABCqMe(a)lBAMe

16、(c)lAq(b)BlCC( )( )( )第40页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四例题5 试利用叠加法,求图所示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度 wC 和两端截面的转角A , B .ABCqll/2ABCq/2CABq/2q/2 解:可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加.第41页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四（1）正对称荷载作用下ABCq/2CABq/2q/2（2）反对称荷载作用下 在跨中C截面处,挠度 wC等于零,但 转角不等于零且该截面的 弯矩也等于零 可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为l /2 的简支梁第42页，共72页

17、，2022年，5月20日，4点5分，星期四CABq/2q/2可得到：Bq/2ACq/2将相应的位移进行叠加, 即得( )( )( )第43页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四例题6 一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图所示,试按叠加原理并利用附表,求截面B的转角B以及A端和BC中点D的挠度wA 和wD .ABCDaa2a2qq第44页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四解:将外伸梁沿B截面截成两段,将AB 段看成B端固定的悬臂梁,BC段看成简支梁.ABCDaa2a2qqBCDq2qa2qAB2qaB截面两侧的相互作用为：第45页，共72页，2022年，5月2

18、0日，4点5分，星期四 简支梁BC的受力情况与外伸梁AC 的BC段的受力情况相同 由简支梁BC求得的B,wD就是外伸梁AC的 B,wD2qaBCDqqBCDBCD 简支梁BC的变形就是MB和均布荷载q分别引起变形的叠加.第46页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四由叠加原理得:DBC2qaBCDqDBC（1）求 B ,wD第47页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四（2）求wA 由于简支梁上B截面的转动,带动AB段一起作刚体运动,使A端产生挠度w1 悬臂梁AB本身的弯曲变形,使A端产生挠度w2A2qB2qaAC2qaBDq 因此,A端的总挠度应为 由表6-1查得

19、第48页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四二、刚度条件（Stiffness condition）1.数学表达式（Mathematical formula）2. 刚度条件的应用（Application of stiffness condition）（1）校核刚度（ Check the stiffness of the beam）（2）设计截面尺寸（Determine the allowable load on the beam）（3）求许可载荷 （Determine the required dimensions of the beam）是构件的许可挠度和转角.和第49页，共7

20、2页，2022年，5月20日，4点5分，星期四例7 下图为一空心圆杆,内外径分别为:d=40mm,D=80mm,杆的E=210GPa,工程规定C点的w/L=0.00001,B点的=0.001弧度,试核此杆的刚度.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF2BCDA=+F2BCaF2BCDAM=+F1=1kNADCF2=2kNCABB第50页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四解:（1）结构变换,查表求简单载荷变形.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNB+F2BC图2图3+F2BCDAM=图1F1=1kNDC第51页，共7

21、2页，2022年，5月20日，4点5分，星期四（2）叠加求复杂载荷下的变形F2=2kN=+图1图2l=400mmACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNDBC图3F2BDAMACCF2第52页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四（3）校核刚度:（rad）第53页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四一、基本概念 （Basic concepts） 1.超静定梁（statically indeterminate beams）7-5 静不定梁的解法（Solution methods forstatically indeterminate beams） 单凭

22、静力平衡方程不能求出全部支反力的梁, 称为超静定梁FABABCFFRAFRBFRC第54页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四2.“多余”约束（Redundant constraint） 多于维持其静力平衡所必需的约束3.“多余”反力（Redundant reaction） “多余”与相应的支座反力FRBABCFFABFRAFRC4.超静定次数（Degree of statically indeterminate problem） 超静定梁的 “多余” 约束的数目就等于其超静定次数. n = 未知力的个数 - 独立平衡方程的数目第55页，共72页，2022年，5月20日，4点5

23、分，星期四二、求解超静定梁的步骤 (procedure for solving a statically indeterminate)1.画静定基建立相当系统： 将可动绞链支座作看多余约束,解除多余约束代之以约束反力 RB.得到原超静定梁的基本静定系.2.列几何方程变形协调方程 超静定梁在多余约束处的约束条件,梁的 变形协调条件ABqqABFRB 根据变形协调条件得变形几何方程: 变形几何方程为第56页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 3.列物理方程变形与力的关系 查表得qAB将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程4.建立补充方程BAFRBqABFRB第57页，共72页

24、，2022年，5月20日，4点5分，星期四补充方程为由该式解得5.求解其它问题（反力,应力,变形等）qABFRBFRAMA求出该梁固定端的两个支反力qABBAFRB第58页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四 代以与其相应的多余反力偶 MA 得基本静定系. 变形相容条件为 请同学们自行完成 ！方法二 取支座 A 处阻止梁转动的约束为多余约束.ABqlABqlMA第59页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四例题8 梁AC如图所示,梁的A端用一钢杆AD与梁AC铰接, 在梁受荷载作用前, 杆AD内没有内力,已知梁和杆用同样的钢材制成, 材料的弹性模量为E, 钢梁横截面

25、的惯性矩为I, 拉杆横截面的面积为A,其余尺寸见图,试求钢杆AD内的拉力FN.a2aABCq2qDl第60页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四CADBq2qAFNFN A点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点.即解:这是一次超静定问题.将AD杆与梁AC之间的连结绞看作多余约束.拉力FN为多余反力.基本静定系如图ADBCq2qFNFNA1第61页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四变形几何方程为根据叠加法A端的挠度为BCq2qFNBCq2q在例题 中已求得可算出:CFNB第62页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四拉杆 AD 的伸长为:补充方程为:由此解得:ADBCq2qFNFN第63页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四例题 9 求图示梁的支反力,并绘梁的剪力图和弯矩图. 已知 EI = 5 103 kNm3 .4m3m2mABDC30kN20kN/m第64页，共72页，2022年，5月20日，4点5分，星期四解:这是一次超静定问题 取支座 B 截面上的相对转动约束为多余约束. 基本静定系为在 B 支座截面上安置铰的静定梁,如图所示.4m3m2mABDC30kN20kN/m4m3m2mABDC30kN20kN/m 多余反力为分别作用于简支