研究生数值分析试卷

1、本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!20052006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A卷）科目名称：数目分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、（15分）设求方程12 3x 2cosx 0根的迭代法证明对X0 R,均有lim Xk x，其中x为方程的根. k（2）此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.二、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的 收敛性。2a、（82a、（8分）若矩阵A 00a 0 ,说明对任意实数a 0,方程组AX b都是0 a非病态的。（范数用I ） 四、（

2、15分）已知y f（x）的数据如下:求f （x）的Hermite插值多项式H 3（x） ,并给出截断误差R（x） f （x） H 3（x）五、（10分）在某个低温过程中，函数 y依赖于温度x （C）的试验数据为12340. 81. 51 . 82. 0已知经验公式的形式为 y ax bx2 ,试用最小二乘法求出 a , b六、（12分）确定常数a , b的值，使积分取得最小值。七、（14分）已知Legendre（B让彳惠）正交多项式Ln（x）有递推关系式： 试确定两点的图斯一勒让德（G L）求积公式 的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!dy八、（14分）

3、对于下面求解常微分方程初值问题晟 f（X,y）的单步法:y（x（） v。（1）验证它是二阶方法;（2）确定此单步法的绝对稳定域。20052006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷）科目名称：数目分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的 收敛性。二、（15分）设求方程12 3x 2cosx 0根的迭代法 * 一、 * 证明对X0 R,土匀有JmXk x ,其中x为万程的根.（2）此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.2a a 0、（8分）

4、若矩阵A 0 a 0 ,说明对任意实数a 0,方程组AX b都是0 0a非病态的。（范数用I ）四、（15分）已知y f（x）的数据如下:123242-1求f （x）的Hermite插值多项式H3（x）,并给出截断误差R（x） f （x） H 3（x）五、（10分）在某个低温过程中，函数 y依赖于温度x （C）的试验数据为12340. 81. 51. 82. 0已知经验公式的形式为y ax bx2 ,试用最小二乘法求出a , b六、（12分）确定常数 取得最小值。六、（12分）确定常数 取得最小值。a , b的值，使积分本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!七、(14分)对于求积公式：(x) f

5、 (x)dxAkf(xk),其中：(x)是区间(a,b)a k 1上的权函数。(1)证明此求积公式的代数精度不超过 2n-1次；(2) 若此公式为Gauss型求积公式，试证明八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题dx f(x,y)的单步法：y(x(o v。(3)验证它是二阶方法；(4)确定此单步法的绝对稳定域。2。62。7学年第一学期硕士研究生期末考试试题(B卷)科目名称：数目分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、(12分)讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的 收敛性。2a、(

6、82a、(8分)若矩阵A 00a 0 ,说明对任意实数a 0,方程组AX b都是0 a非病态的。(范数用I )、(15分)设(x)导数连续，迭代格式xk 1(xk)一阶局部收敛到点x o构造新的迭代格式：问如何选取常数 及，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。四、(15分)已知y f(x)的数据如下:123242-1求f (x)的Hermite插值多项式Hs(x),并给出截断误差R(x) f (x) H 3(x)五、(10分)在某个低温过程中，函数 y依赖于温度x (C)的试验数据为1234本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!0. 81. 51. 82. 0已知经验公式的形式为 y a

7、x bx2 ,试用最小二乘法求出 a , b。六、(12分)确定常数a , b的值，使积分取得最小值。, bn七、(14分)对于求积公式：(x) f (x)dxAkf(Xk),其中：(x)是区间(a,b)ak 1上的权函数。(3)证明此求积公式的代数精度不超过 2n-1次；(4)若此公式为Gauss型求积公式，试证明八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题dyf(x,y)的单步法：y(x(o v。(5)验证它是二阶方法；(6)确定此单步法的绝对稳定域。2。62。7学年第一学期硕士研究生期末考试试题(A卷)科目名称：数目分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上

8、，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、(12分)设方程组Ax b为(1)用Doohttle分解法求解方程组；(2)求矩阵A的条件数Cond (A)二、(12分)设A为n阶对称正定矩阵，A的n个特征值为12 n,为求解方程组Ax b,建立迭代格式 x(k1) x(k)(b Ax(k),求出常数 的取值范围，使迭代格式收敛。三、(12分)已知数据-2-101201210试用二次多项式p(x) ax2 bx c拟合这些数据。四、(14分)已知y f(x)的数据如下：12312本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!3(1)求f(x)的Herm让e插值多项式Ha(x)；.333(2)为求 1f (x)dx

9、 的值，采用算法：1f (x)dx 1H3(x)dx R试导出截断误差R五、(12分)确定常数a, b的值，使积分取得最小值。六、(12)确定常数A ,使求积公式的代数精度尽可能高，并问是否是 Gauss型公式。七、(12分)设(x)导数连续，迭代格式xk 1(xQ一阶局部收敛到点x*。对于常数，构造新的迭代格式：问如何选取，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。dy f(t,y)八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题dt (,y)的单步法: y(t 八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题(7)验证它是二阶方法；(8)确定此单步法的绝对稳定区域。20072008学年第一学期硕

10、士研究生期末考试试题科目名称：数目分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、(15分)给定方程 f (x) (x 1)ex 1 0(1)分析该方程存在几个根；(2)用迭代法求出这些根，精确至2位有效数；(3)说明所用的迭代格式是收敛的.二、(15分)设线性方程组为(1)证明用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解此方程组要么同时收敛， 要么同时发散.(2)当同时收敛时比较其收敛速度.三、(10分)设A为非奇异矩阵，方程组 Ax b的系数矩阵A有扰动 A,受扰动后的方程组为(A A)(x x) b,若|A 1 11

11、11A | 1,试证：本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!四、(15分)已知y f(x)的数据如下:求f (x)的Hermite插值多项式Ha(x),并给出截断误差R(x) f (x) Ha(x) 五、(10分)已知数据i0123xi0123V、32473设 f(x) ax b(x 1)2 ,求常数 a ,b ,使得 f (xi) y2 mini 0六、(15六、(15分)定义内积(f,g)f (x)g(x)dx 在 H Span 1 , x , x 中求f(x) |x|的最佳平方逼近元素.七、(10分)给定求积公式 试确定A ,B,C ,使此求积公式的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型

12、公式.八、(10分)给定微分方程初值问题用一个二阶方法计算y(x)在0.1 , 0.2 处的近似值.取h 0.1计算结果保留 5位有效数字。20082009学年第一学期硕士研究生期末考试试题一、(本题共3小题，每题8分，共24分)解答下面各题：1) 下表给出了函数 f(x) 在一些节点上的函数值:x0.00.10.20.30.40.50.60.70.8f(x)58630-3-335用复化Simpson求积公式近似计算函数f(x)在区间0, 0.8上的积分。2)已知函数y=f(x)的观察值如下表所示，使用 Newton插值法求其插值多项x0123y230-13)取初值为2,利用Newton迭代法求方程：f(x) x2 2 0本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!在0, 2中的近似解。要求迭代两次。（如果计算结果用小数表示，则最后结果 应保留5位小数）。二、（本题15分）设常数aw0,试求a的取值范围，使得用雅可比（Jacobi） 迭代法求解下面线性方程组时是收敛的。二、（本题16分）利用Hermite插值多项式构造下面的求积公式： 并导出其积分余项。四（14 分）已知方程ex 10 x 4 0在0.2附近有解，建立用于求解此解的收敛的迭代公式。并问如何设置迭代终止条件可以保证计算结果具有4位有效数字（不计舍入误差）。y ax b五、（15分）对初值问题导出改