高中数学题库-数系的扩充随机变量及概率分布

1、高中数学题库 - 数系的扩充随机变量及概率分布高中数学题库 - 数系的扩充 . 随机变量及概率分布 1. 排列、组合（一）排列、组合问题 1. （匀称分组问题）15 名新生中有3 名优秀生,随机将15 名新生平均安排到3 个班级中 .（2） 3 名优秀生安排到同一班级的概率是多少？（3）甲班至少分到一名优秀生的概率是多少？（1）每班级各安排一名优秀生的概率是多少？ 2. （放回、不放回问题）袋中有 5 个红球、 6 个白球、 8 个黄球,随机抽 3 次,每次抽 1 个,颜色相同的大事记为大事 A,颜色互不相同的大事记为大事 B,在以下两种情形下,求大事 A 和大事 B 的概率：（

2、1）抽后不放回；（2）抽后放回 . 3. 两人进行乒乓球竞赛,先赢三局者获胜,决出胜败为止,就全部可能显现的情形（各人输赢局次的不同视为不怜悯形）共有 _种. 20 4. 某小区有排成一排的 7 个车位,现有 3 辆不同型号的车需要停放,假如要求剩余的 4 个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为 _ 24 5. 学校组织高一年级 4 个班外出春游,每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游玩,就恰有两个班挑选了甲景区的选法共有 _种 6. 从甲、乙等 5 个人中选出 3 人排成一列,就甲不在排头的种数为 _ 48 7. 有 10 件不同的电子产品,其中有 2 件产品运行不稳固,技术人

3、员对它们进行一一测试,直到 2 件不稳固的产品全部找出后测试终止,就恰好 3 次就终止测试的方法种数为_32 8. 摸索：（转化与化归思想）连接正方体8 个顶点的直线中,成异面直线有多少对？ 解：一个三棱锥可确定 3 对异面直线,故问题可转化成求在正方体中可构造多少个不同的三棱锥？ 3C8-12 ） 174 对 9. 红蓝两色车、马、炮棋子各一枚,将这六枚棋子排成一列,其中每对同字的棋子中,均为红旗子在前,蓝棋子在后,满意这种条件的不同排列方式共有 _种 . 90 10. （斯坦福数学竞赛）（二）排列、组合的证明 1. 把全部正整数按上小下大,左小右大的原就排成如下列图的数表,其中第i 行共有

4、 2正整数,设 aiji,jN*表示位于这个数表中从上往下数第i 行,从左往右第j 个数 如 aij=2022 ,求 i 和 j 的值；+annnN*, 3 求证：当 n4 时, Ann2+Cn. 记 An=a11+a22+a33+解： 由于数表中前i-1行共有 1+2+2+就第 i 行的第一个数是2 +2i-2=2i-1-1个数,所以 aij=2 +j-1, 2 分 令 210+j-1=2022 ,就 j=2022-210+1=990 5 分 由于 aij=2 +j-1,就 ann=2n-1+n- 1nN*, +2n-1+ .0+1+2+ =2-1+n-1 .所以 An=1+2+22+ nn

5、-12nn-1210 分 =n2+Cn 当 n4 时, An=1+1-1+ nn-12 Cn+Cn+Cn+Cn-1+ -Cn2. 设 Sn=Cn-1+Cn-2-*m +-1mCn-m,m,nN 且 m；当 n 为奇数时, m= 22 nN*,n2 时, Sn+1=Sn-Sn-1； （2）记 S=（1）证明：当 11110123 C2022-C2022+C2022-C2022+*1,求 S的值 C1007 解：（ 1）当 n 为奇数时, n+1 为偶数, n-1 为偶数,Sn+1=C n+12n+12,Sn=C-C0n1n-1 n-12n+12 Sn-1=C0n-1 n-12n-12Sn+1-S

6、n=C0n+1 -C-C-C+ 0n1n1n-1 n-12n+12 n+12n+12 n-12n-12 =-Sn-1同理可证,当n 为偶数时, Sn+1=Sn-Sn-1当 n 为奇数时, Sn+1=Sn-Sn-1 成立也成立（2）由 S= 11110123 C2022-C2022+C2022-C2022+*1 * C2022+C2022-C2022+1*1,得 C1007 2022S=C2022- 20221007 C1007 1007 01C2022-C2022+ 12312233 C2022+C2022+C2022-C2022+C2022+1*1 1007012 -C1007-C2022-

7、C2022+C2022- -C1007+ 10071007 C1007 1007 =C2022-C2022+C2022-1006 +C1006 =S2022-S2022 又由 Sn+1=Sn-Sn-1,得 Sn+6=Sn, 所以 S2022-S2022=S4-S2=-1,S=- 2. 随机变量及其概率分布 某地区举办科技创新大赛,有 50 件科技作品参赛,大赛组委会对这 50 件作品分 1. 别从“ 创新性” 和“ 有用性” 两项进行评分,每项评分均按等级采纳 5 分制,如设“ 创新 性” 得分为 x,“ 有用性” 得分为 y,统计结果如下表： 求“ 创新性为 4 分且有用性为 3 分” 的概

8、率； 如“ 有用性” 得分的数学 期望为,求 a、b 的值 50解： 从表中可以看出,“ 创新性为4 分且有用性为3 分” 的作品数量为6 件,“ 创新性为 4 分且有用性为 由表可知“ 有用性” 得分3 分” 的概率为 =0.12 y 有 1 分、 2 分、 3 分、 4 分、 5 分五个等级,且每个等级分别有 5 件, b 4 件, 15 件, 15 件, a8 件 “ 有用性” 得分 y 的分布列为：“ 有用性” 得分的数学期望为167, 1. +2. +3. +4. +5. = 1*050作品数量共有50 件, a+b=3,解得 a=1,b=2 2. 设 为随机变量,从棱长为 1 的正

9、方体 ABCD - A1B1C1D1的八个顶点中任取四个点,当四点共面时, = 0,当四点不共面时, 的值为四点组成的四周体的体积（1）求概率 P（ = 0）；（2）求 的分布列,并求其数学期望 E 变式 1：如图,从 A1（1,0,0 ）, A2（ 2,0,0 ）, B1（0,2,0）, B2（0,2,0 ）, C1（0,0,1 ）, C2（0,0,2 ）这 6 个点中随机选取 3 个点,将这 3 个点及原点 O两两相连构成一个“ 立体” ,记该“ 立体” 的体积为随机变量 V（假如选取的 3 个点与原点在同一个平面内,此时“ 立体” 的体积 V=0）（1）求 V=0的概率；（2）求 V的分

10、布列及数学期望.为随机变量 . 从棱长为 1 的正方体的12 条棱中变式 2：（ 2022 年江苏高考22 题）设任取两条,当两条棱相交时, =0；当两条棱平行时, 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时, =1.（1）求概率 P =0；（ 2）求 的分布列,并求其数学期望 E .（2） 的可能取值为 0,1,2 ,其中 P =0=；P =1=；P =2=（1）考虑到图形的对称性,不妨先取定第一条,然后再考虑其他的边,故 P =0=就 E =摸索：（转化与化归思想）连接正方体8 个顶点的直线中,成异面直线有多少对？解：一个三棱锥可确定 3 对异面直线,故问题可转化成求在正方体中可构造多少个不同

11、的 4 三棱锥？ 3C8-12 ）=174 对变式 3：从棱长为 1 的正方体的 8 个顶点中任取不同 2 点,设随机变量 是这两点间的距离）求概率 P =；（2）求 的分布列,并求其数学期望 E 2【解】（ 1）从正方体的 8 个顶点中任取不同 2 点,共有 C8=28种 由于正方体的棱长为 1正方体每个面上均有两条对角线,所以共有 2. 6=12 条因此 P =12=3 3 分 287（ 2）随机变量 的取值共有 1正方体的棱长为 1,而正方体共有 12 条棱,于是 P =1= 5 分 287 从而 P =1-P =1 - P =1-3-3=1 7 分所以随机变量 的分布列是 8 分因此

12、E =1 . += 10 分 7773. （南京市、盐城市 2022 届高三期末）某射击小组有甲、乙两名射手 , 甲的命中率为 P1乙的命中率为 P2, 在射击比武活动中每人射击两发子弹就完成一次检测 , 在一次检测中, 如两人命中次数相等且都不少于一发 , 就称该射击小组为“ 先进和谐组”. （ 1）如P2= , 求该小组在一次检测中荣获“ 先进和谐组” 的概率； 2（2）方案在 2022 年每月进行 1 次检测 , 设这 12 次检测中该小组获得“ 先进和谐组”的次数为 , 假如 E 5, 求 P2的取值范畴 . 解: 1 可得 P=C2. 2111122111.C2 .+ . .= 33

13、2233223 2 该小组在一次检测中荣获“ 先进和谐组” 的概率为 2228421211 P=C2.C2 .P2.1-P2+.P2=P2-P2, 而 B12,P, 所以E =12P,由 E 5, 知 P2-P22 .125, 解得 P21评注：关键是辨识概型 4. 设不等式 x+y4 确定的平面区域为 U,x+y1 确定的平面区域为 V （1）定义横、纵坐标为整数的点为“ 整点” ,在区域 U 内任取三个整点,求这些整点中恰有 2 个整点在区域 V内的概率；（2）在区域U内任取 3 个点,记这3 个点在区域V的个数为 X,求 X 的分布列和数学期望 C8 .C5240解答：（ 1）古典概型,

14、解答为 PA= =3（2）几何概型 X 听从于伯努利分布 B3, 13,求得分布列和数学期望 EX= 2 2 5.（2022 年复旦高校自主招生试题）某大楼共 5 层, 4 个人从第一层上楼梯,假设每个人等可能地在每一层下电梯,并且他们下电梯与否是相互独立的,又知电梯只在有人下时才停止 . （1）求某乘客在第i 层下电梯的概率；（i=2,3,4,5）；（2）求电梯在第2层停下的概率；（ 3）求电梯停下的次数的数学期望； 1175.3.解析：（ 1）；（ 2）PA=1- .=； 4256.4.的可能取值为1,2,3,4（3） C424-221411P =1=4=3=；P =2=; 1*4 C4C

15、4A3A493P =3=P =4=； 44所以 E = 6.（2022 年通州区热点难点检测）在公园游园活动中有这样一个嬉戏项目：甲箱子里装有 3 个白球和 2 个黑球,乙箱子里装有1 个白球和 2 个黑球,这些球除颜色外完全相同；每次嬉戏都从这两个箱子里各随机地摸出 2 个球,如摸出的白球不少于 2 个,就获奖（每次嬉戏终止后将球放回原箱）（1）在一次嬉戏中：求摸出 3 个白球的概率；求获奖的概率；（2）在两次嬉戏中,记获奖次数为 X：求 X的分布列；求 X的数学期望解：（ 1）记“ 在一次嬉戏中摸出 k 个白球” 为大事 Akk=0,1,2,3 PA3=22= -2 分 C32C2+C3C

16、2C217 A3=PA2+PA3=+= -5分 510C52C32（2）PX=0=X 的分布列为 1*7 . =,PX=1=C2 . =,PX=2= . =*00X 的数学期望 EX=0 . 【或：X 921497+1 . +2. = -10 分 100501005 777,EX=2 . =】 10105 7.（分类争论思想在概率问题中的应用）甲,乙两队各有 3 名队员,投篮竞赛时,每个队,（ 1）设前 n（n=1,2,3,4,5, 6）个人的进球总数与 n 之 211比为 an,求满意条件 a6=,且 an（ n=1,2,3,4,5）的概率；员各投一次,命中率均为（2）设甲,乙两队进球数分别

17、为i ,j （i ,j 0 , 1,2, 3 ）,记 =|i j| ,求随机变量 的分布列和数学期望（ 1）a6=,即 6 个人投篮进了 3 个球,又 an（ n=1,2,3,4,5）,就有两种情形： 22 11111211 2222232第一,第 1 人投篮没投进,第 2 人投篮投进了,第 3 人投篮没投进,第 4、5 人总共投进了 1 个球,第 6 人投篮投进了,其概率为 P1=其次,第 1 人投篮没投进,第 2 人投篮没投进,第 3、4、5 人总共投进了 2 个球,第6 人投篮投进了,其概率为 P2= 11213135 C3（） =. 从而,所求概率为 P=P1+P2= 22226464

18、（2） P（ =0）表示两队进球数相同,即有 P（ =0） =（ *）（） +C3（） C3（）+C3（） C3（） +（） 3（） 22222222 *）C3（） +C3（） C3（） +C3（）（） = * P（ =2） =2 （） 3C3（） 3+C3（） 3（） 3= P（ =1） =2 （ 13131）（） = 22325153115E =0 +2 = 1632163216 P（ =3） =2 （ 8.（2022 安徽理科高考题）（化归转化突破重难点）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危急的任务,每次只派一个人进去,且每个人只派一次,工作时间不超过10 分钟,假如有一个人10 分

19、钟内不能完成任务就撤出,再派下一个人；现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别 p1,p2,p3,假设 p1,p2,p3 互不相等,且假定各人能否完成任务的大事相互独立.（）假如按甲最先,乙次之,丙最终的次序派人,求任务能被完成的概率；如转变三个人被派出的先后次序,任务能被完成的概率是否发生变化？（）如按某指定次序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为 q1,q2,q3 ,其中 q1,q2,q3 是 p1,p2,p3 的一个排列,求所需派出人员数目 X 的分布列和均值（数学期望）（）假定 1p1p2p3,试分析以怎样的先后次序派出人员,可使所需派出的人员数目的均值（数字

20、期望）达到最小（本小题满分 13 分）此题考查相互独立大事的概率运算,考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本学问,考查在复杂情境下处理问题的才能以及抽象概括才能、合情推理与演绎推理,分类读者论论思想,应用意识与创新意识 .解：（ I ）无论以怎样的次序派出人员,任务不能被完成的概率都是 1-p11-p21-p3,所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后次序无关,并等于 1-1-p11-p21-p3=p1+p2+p3-p1p2-p2p3-p3p1+p1p2p3. （II ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 q1,q2,q3 时,随机变量 X的分布列为所需派出的人员数目的均值（数学期望

21、）EX是 EX=q1+21-q1q2+31-q11-q2=3-2q1-q2+q1q2.（III）（方法一）由（II ）的结论知,当以甲最先、乙次之、丙最终的次序派人时, EX=3-2p1-p2+p1p2.依据常理,优先派出完成任务概率大的人,可削减所需派出的人员数目的均值 . 下面证明：对于 p1,p2,p3 的任意排列 q1,q2,q3 ,都有 3-2q1-q2+q1q23 -2p1- p2+p1p2, （* ）事实上, .=3-2q1-q2+q1q2-3-2p1-p2+p1p2 =2p1-q1+p2-q2-p1p2+q1q2 =2p1-q1+p2-q2-p1-q1p2-q1p2-q2 =2

22、-p2p1-q1+1-q1p2-q21 -q1p1+p2-q1+q2 0.即（ * ）成立 .（方法二）（ i ）可将（ II ）中所求的 EX改写为 3-q1+q2+q1q2-q1, 如交换前两人的派出次序,就变为 3-q1+q2+q1q2-q1,. 由此可见,当 q2q1 时,交换前两人的派出次序可减小均值 .（ii ）也可将（ II ）中所求的EX改写为 3-2q1-q2+q1q2 ,或交换后两人的派出顺序,就变为 3-2q1-q3+q1q3. 由此可见,如保持第一个派出的人选不变,当 q3q2 时,交换后两人的派出次序也可减小均值 .综合（ i ）（ ii ）可知,当 q1,q2,q3

23、=p1,p2,p3时, EX达到最小 . 即完成任务概率大的人优先派出,可减小所需派出人员数目的均值,这一结论是合乎常理的 . 9. 在一次电视节目的抢答中,题型为判定题,只有“ 对” 和“ 错” 两种结果,其中某明星判定 正确的概率为 p,判定错误的概率为 q,如判定正确就加 1 分,判定错误就减1 分,现 记“ 该明星答完 n 题后总得分为 Sn” 时,记 =|S3| ,求 的分布列及数学期望及方差； 212（2）当 p=,q= 时,求 S8=2 且 Si 0i=1,2,3,4 的概率（1） =|S3| 的取值为 1,3,又 p=q=； 1311111 故 P =1=2C3 .2= ,P

24、=3=3+3= 224224所以 的分布列为：（1）当 p=q=且 E =1 +3 =；（2）当 S8=2时,即答完 8 题后,回答正确的题数为 5 题,回答错误的题数是 3 题,又已知 Si 0i=1,2,3,4,如第一题和其次题回答正确,就其余 6 题可任意答对 3 题；如第一题和其次题回答错误,第三题回答正确,就后 5 题可任意答对 3题 1230 . 8808033此时的概率为 P=C6+C5.5 .3=8=7 或 33218733 10. （2022 年南通通州区查漏补缺专项）一位环保人士种植了 n 棵树,已知每棵树是否成 活互不影响,成活率均为 p0,求 n,p 的值并写出 的分布

25、列 2解：（ 1）当 n=1, =0, 1,于是 的分布列为：E =0 1 - p+1 p=pD =0 -p .1-p+1-p .p=p-p=-p-+ 即当 p=时,D 有最大值（2） Bn,p ,E =np,D =np1 - p np=3,np1-p=,p=,n=4 44 k1-4-k k=0,1,2,3,4 , P =k=C4即 的分布列为： 11. 甲乙两个同学进行定点投篮嬉戏,已知他们每一次投篮投中的概率均为投篮的结果互不影响甲同学打算投 5 次,乙同学打算投中 1 次就停止,否就就连续投下去,但投篮次数不超过 5 次 （1）求甲同学至少有 4 次投中的概率；（2）求乙同学投篮次数 x

26、 的分布列和数学期望解：（ 1）设甲同学在 5 次投篮中,有 x 次投中,“ 至少有 4 次投中” 的概率为 P,就 P=Px=4+Px=5 222112525 =C5441-1+C5 1-0= 3333243（2）由题意 x=1,2,3,4,5 21221122 .1.22,Px=4= . . =, Px=1= ,Px=2= . =,Px=3= . . = 333933327 .3.381 Px=5= .=.3.81x 的分布表为 22221121 x 的数学期望 Ex=1. + 2 . +3. +4 . +5. = 3927818181 12. 由数字 1,2, 3,4 组成五位数a1a2

27、a3a4a5,从中任取一个（1） 求取出的五位数满意“ 对任意的正整数j1 j 5 ,至少存在另一个正整数k1 k5,k j ,使得 aj=ak ” 的概率；（变式：假如四个数字分别是 0,1,2,3 呢？）（2）记 为组成五位数的相同数字的个数的最大值,求 得分布列和数学期望 13.（ 2022 年南通学科基地密卷 5）甲、乙两人进行乒乓球竞赛,商定每局胜者得 1分,负者得 0 分,竞赛进行到有一人比对方对 2 分或打满 6 局时停止 . 设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且每局胜败相互独立； 33（1）求竞赛进行两局恰好停止的概率；（2）设 为竞赛停止时已打的局数,求 的概

28、率分布及数学期望 E . （和南通四模的附加题方法一样）（利用化归思路争论第 2 问） 14. 如图,一个小球从 M处投入,通过管道自上而下落 A或 B或 C已知小球从每个叉口 落入左右两个管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式进行促销活动,如投入的小球 3 等奖落到 A、B、C,就分别设为1、2、为获得（1）已知获得1,2,3 等奖的折扣率分别为50%,70%,90%记随机变量kk=1,2,3等奖的折扣率,求随机变量的分布列及期望E ；（2）如有 3 人次 投入 l 球为 l 人次 参与促销活动,记随机变量为获得 1 等奖或2 等奖的人次,求P =2P =0.7=（1）（ 2）P =2=

29、P =0.9= P =0.5= 15.（ 2022 年南通四模数学试题）甲乙两人进行一场不超过10 局的竞赛规定：每一局竞赛均分出胜败,且胜者得1 分,负者得 0 分；每人得分按累加计分；竞赛中一人的得分比另一人高出 2 分就赢得竞赛,竞赛终止,否就 10 局后终止竞赛；各局竞赛的结果是相互独立的已知每局竞赛甲获胜的概率为 p0（2）求 的分布列,并求其数学期望 E （1） =4 表示 4 局后竞赛终止,即第 1,2 两局甲乙各胜一局,第 3,4 两局甲连胜或乙连胜所以当 p=时,P =4=2p1 -p .p2+1 -p2 .=2 . . . += .3339981（2）用 P =k表示 k

30、局后竞赛终止的概率如 k 为奇数,就甲乙得分之差亦为奇数,所以 必为偶数考虑连续两局竞赛结果： 记 q=1-p（i ）甲连胜或乙连胜两局（称为有胜败的两局）,就此结果发生的概率为 p2+q2；（ii ）甲乙各胜一局（称为无胜败的两局）,有两种情形,就此结果发生的概率为2pq 由经 k 局竞赛终止知,第1,2 两局；第 3,4 两局； , ；第 k 3,k2 两局均未分胜败如 k 10,就第 k1,k 两局为有胜败的两局,从而有 P =k=2pq 如 k10,竞赛必需终止,所以 P =10 2pq4 就 的分布列为 的数学期望为E =2p2+q2+8pqp2+q2+24p2q2p2+q2+64p

31、3q3p2+q2+160p4q4 =2p2+q21+4pq+12p2q2+32p3q3+160p4q4,其中 q=1-p 16. 盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球, 3 个黄球和 2 个绿球,这些球除颜色外完全相同（ 1）从盒中一次随机抽出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P；（2）从盒中一次随机抽出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别为 x1,x2,x3,随机变量 X表示 x1,x2,x3 的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 EX （一）复数的四就运算 1. 已知 i 是虚数单位,复数 z 的共轭复数为 -z ,如 2z =-z+ 2 - 3i,就 z = 2. 已知 i 是虚数单位,复数 z=7-i,就 z= 2+i 3. 已知 z=是纯虚数,就 a=_ 4. 已知 i 为虚数单位,运算 1+2i1-i2= 5. 复数 z=i （其中 i 是虚数单位）的虚部为 2（二）复数的几何意义 1. z=-4i+3 对应