高中平面几何常用定理归纳总结文档

1、（高中）平面几何基础学问（基本定理,基本性质） 1 勾股定理（毕达哥拉斯定理） （广义勾股定理） 1 锐角对边的平方, 等于其他两边之平方和,减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘 积的两倍 2 钝角对边的平方等于其他两边的平方和, 加上这两边中的 一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍 2 射影定理（欧几里得定理） 3 中 线 定 理 （ 巴 布 斯 定 理 ） 设 ABC 的 边 BC 的 中 点 为 P, 就 有 AB 2AC 22 AP 2 BP ； 2 2 2中线长： ma 2b 2c a 24 垂线定理： AB CD AC 2AD 2BC 2 BD 2高线长： h a 2p p

2、a p b p c bc sin A c sin B b sin C a a 5 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个 角的两边对应成比例 如 ABC中, AD平分 BAC,就 角平分线长： t ab2c bcp p a BD AB ；（外角平分线定理） DC AC 2bc cos （其中 p 为周长一半） A b c 26 正弦定理： a b c 2R,（其中 R为三角形外接圆半径） sin A sin B sin C 2 2 27 余弦定理： c a b 2ab cosC 8 张角定理： sin BAC sin BAD sin DAC AD AC AB 9 斯特瓦尔

3、特 Stewart 定理：设已知 ABC 及其底边 B,C 两点间的上 一 点 D,就有 ABDC+ACBDAD BCBC DC BD 10 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等,等于圆心角的一半 （圆外角如 第 1 页,共 13 页何转化？） 11 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角 12 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理） ：切线 长定理：） 13 布拉美古塔 （ Brahmagupta）定理： 在圆内接四边形 ABCD中,ACBD, 自对角线的交点 P 向一边作垂线,其延长线必平分对边 14 点到圆的幂：设 P 为 O 所在平面上任意一 PO=d,O 的半径为 点,

4、 r , 就 d r 就是点 P 对于 O 的 P 任作始终线与 O 交于点 A,B,幂过 就 PAPB= | d r | “到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一 条直线,假如此二圆相交,就该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结 论这条直线称为两圆的“根轴” 三个圆两两的根轴假如不相互平行,就 它们交于一点,这一点称为三圆的“根心” 三个圆的根心对于三个圆等 幂当三个圆两两相交时,三条公共弦 点 就是两两的根轴 所在直线交于一 15 托勒密（ Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积 之和,即 ACBD=ABCD+ADBC, 逆命题成立 （广义托勒密定理） ABC

5、D+AD BC AC BD 16 蝴蝶定理： AB 是 O 的弦, M 是其中点,CD, EF 经过点 M, CF, 弦 DE 交 AB 于 P,Q,求证： MP=QM17 费马点： 定理 1 等边三角形外接圆上一点,到该三角形较近两顶点距 离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点,到该三角 第 2 页,共 13 页形两顶点距离之和大于到另一点的距离 定理 2 三角形每一内角都小于 120时,在三角形内必存在一点,它对三条边所张的角都是 120,该点 到三顶点距离和达到最小, 称为“费马点”,当三角形有一内角不小于 120 时,此角的顶点即为费马点 18 拿破仑三角形： 在任意

6、ABC的外侧,分别作等边 ABD, BCE,CAF, 就 AE,AB,CD三线共点,并且 AE BFCD,这个命题称为拿破仑定 以 理 ABC 的三条边分别向外作等边 ABD, BCE, CAF,它们的外接圆 C1, A1, B1的圆心构成的外拿破仑的三角形, C1, A1, B1三圆共点,外拿破仑三角形是一个等边三角形； ABC 的三条边分别向 ABC 的内侧作等边 ABD, BCE, CAF,它们的外接圆 C2, A2, B2的圆心构成的内拿破仑三角形, C2, A2, B2三圆共点,内 拿破仑三角形也是一个等边三角形这两个拿破仑三角形仍具有相同的中 心 19 九点圆（ Nine poin

7、t round 或欧拉圆或费尔巴赫圆） ：三角形中,三边 中心,从各顶点向其对边所引垂线的垂足, 以及垂心与各顶点连线的中点, , 例如 : 这九个点在同一个圆上,九点圆具有许多好玩的性质 （ 1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半 ; （ 2）九点圆的圆心在欧拉线上 , 且恰为垂心与外心连线的中点 ; （ 3）三角形的九点圆与三角形的内切圆 , 三个旁切圆均相切费尔巴哈定 理 20 欧拉（ Euler ）线：三角形的外心,重心,九点圆圆心,垂心依次位于 第 3 页,共 13 页同始终线（欧拉线）上 21 欧拉（ Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r ,

8、外心与内心的距离为 d,就 d =R2Rr 22 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的 和 23 重心：三角形的三条中线交于一点,并且各中线被这个点分成 2： 1 的 两部分； G x A xB xC , y A y B yC 3 3重心性质：（ 1）设 G 为 ABC 的重心,连 AG 并延长 BC 于 D,就 D结 交 为 BC 的中点,AG : GD 2 : 1； 就 （ 2）设 G 为 ABC 的重心,就 ABG S BCG S ACG 1S ABC ；S 3（ 3）设 G 为 ABC的重心,过 G 作 DE BC交 AB 于 D,交 AC于 E,过 G 作 PF

9、AC交 AB 于 P,交 BC于 F,过 G 作 HKAB 交 AC于 K,交 BC 于 H,DE FP KH 2 ; DE FP KH 2 ； 就 BC CA AB 3 BC CA AB （ 4）设 G 为 ABC 的重心,就 2 2 2 2 2 2 BC 3GA CA 3GB AB 3GC ； 2 2 2 2 2 GA GB GC 1 AB 3 2 BC CA ； 2 2 2 2 2 2 2 PA PB PC GA GB GC 3PG （ P 为 ABC 内任意一点）； 到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心, 即 GA 2GB 2 GC 2 最小； 三角形内到三边距离之积最大的点是重心

10、；反之亦然（即中意上 述条件之一,就 G 为 ABC 的重心） 第 4 页,共 13 页24 垂 心 ： 三 角 形 的 三 条 高 线 的 交 点 ； HaA x A bx B c x C, aA y A by B c y C cos cos B bcos C c cos cos B bcos C c aacos A cos B cos C cos A cos B cos C 垂心性质：（ 1）三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离 的 2 倍； （ 2）垂心 H 关于 ABC 的三边的对称点,均在 ABC 的外接圆 上； （ 3） ABC 的垂心 H,就 ABC, ABH, BC

11、H, ACH的外接圆为 是 等圆； （ 4 ） 设 O , H 分 别 为 ABC 的 外 心 和 垂 心 , 就 BAO HAC , CBO ABH , BCO HCA 25 内心：三角形的三条角分线的交点内接圆圆心,即内心到三角形各 边距离相等； I axA bxB cxC , ayA byB cyC ab c abc 内心性质：（1）设 I 为 ABC 的内心,就 之亦然； I 到 ABC 三边的距离相等,反 （ 2） 设 90 I 1为 ABC 的 内 心 , 就 BIC 90 1 2A, AIC B, AIB 90 1C； 22（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离

12、与到内心 的距离相等；反之,如 A 平分线交 ABC 外接圆于点 K, I 为线段 AK 上的点且中意 KI=KB,就 I 为 ABC 的内 心； A 平分线交 BC于 D,交 ABC （4）设 I 为 ABC的内心,a, AC b, AB c, BC第 5 页,共 13 页外接圆于点 K,就 AI ID AK IK b c ； ac, I 在 BC,AC, AB 上的射影分别 为 KI KD （5）设 I 为 ABC 的内心, a, AC b, AB BC D,E,F , 内 切 圆 半 径 为 r, 令 p 1a bc , 就 S ABC pr ； 2AE AF pa; BD BF p b

13、; CE CD p c ； abcr p AI BI CI 26 外心：三角形的三条中垂线的交点外接圆圆心,即外心到三角形 各顶点距离相等； sin 2 Ax A O sin 2 A sin 2Bx B sin 2Cx Csin 2Ay A sin 2By B , sin 2A sin 2B sin 2Cy sin 2C C sin 2B sin 2C 外心性质：（ 1）外心到三角形各顶点距离相等； （ 2）设 O 为 ABC 的外心,BOC 2 A 或 BOC 360 2 A ； 就 （ 3） R abc ；（ 4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其 4 S 内切圆与外接圆半径之和 27

14、 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点旁切圆圆心； 设 ABC1 的 三边 BC a, AC b, AB c, 令 p a b c ,分别与 BC, AC, AB 外侧相切的旁切圆 2圆心记为 I , I B , I ,其半径分别记为 r , r , r C A B C 旁心性质：（ 1） BI C 90 1A, BI C BI C 1 A, （对于顶角 B,C 也有 2 2类似的式子）； （ 2） I I I A B C 1 2A C ； D,就 DI A DB DC （对于 BI B , CI C 有 （ 3）设 AI A 的连线交 ABC 的外接圆于 同样的结论）； （ 4）ABC是 I

15、 AI BI C的垂足三角形,且 I AI BI C 的外接圆半径 R 等于 ABC 的直径为 2R 第 6 页,共 13 页28 三 角 形 面 积 公 式 ： S ABC 1 ah a 1 ab sin C abc 2 R 2 sin Asin B sin C a 2b 2c 22 2 4R 4cot A cot B cot C pr p p a p b p c ,其中 ha 表示 BC 边上的高, R 为外接圆半径, r 为内 切圆半径, p 1 a b c 229 三角形中内切圆,旁切圆和外接圆半径的相互关系： r4Rsin A sin 2B Csin 2 2; ra 4Rsin A

16、B Ccos cos , rb 2 2 2A 4Rcos sin 2B Ccos , rc 2 2 A B C4Rcos cos sin 2 2 2; r a rC, r b tan rtan C, rc rB ; 1111. tan tan B 2 A tan tan A 2 r a r b rc r222230 梅涅劳斯（ Menelaus）定理：设 ABC 的三BC, CA, AB 或其延长边 线 和 一 条 不 经 过 它 们 任 一 顶 点 的 直 线 的 交 点 分 别 为 P, Q, R 就 有 BP CQ AR 1（逆定理也成立） PC QA RB 31 梅涅劳斯定理的应用定理

17、 1：设 ABC的 A 的外角平分线交 CA 于 边 Q, C 的平分线交 AB 于 R, B 的平分线交 CA 于 Q,就 P, Q, R 三点边 边 共 线 32 梅涅劳斯定理的应用定理 2：过任意 ABC 的三个顶 A,B,C 作它点 的 外接圆的切线,分别和 BC,CA,AB 的延长线交于 P, Q, R,就 P,Q, R 点 三点共线 33 塞瓦 Ceva 定理：设 X,Y,Z 分别为 ABC 的 BC,CA,AB 上的一边 点, AZ BX CY 就 AX,BY,CZ 所在直线交于一点的充要条件是 ZB XC YA =1 34 塞瓦定理的应用定理： 设平行于 ABC的边 BC 的直

18、线与两 AB,AC边 的 第 7 页,共 13 页交点分别是 D, E,又设 BE 和 CD 交于 S,就 AS 确定过边 BC 的中点 M 35 塞瓦定理的逆定理： （略） 36 塞瓦定理的逆定理的应用定理 1：三角形的三条中线交于一点, 三角形 的三条高线交于一点,三角形的三条角分线交于一点 37 塞瓦定理的逆定理的应用定理 2：设 ABC 的内切圆和 BC, CA, AB 边 分别相切于点 R,S, T,就 AR, BS, CT 交于一点 38 西摩松（ Simson）定理：从 ABC 的外接圆上任意一 P 向三边 BC, 点 CA,AB 或其延长线作垂线,设其垂足分别是 D, E,R,

19、就 D, E,R 共线, （这条直线叫西摩松线 Simson line ） 39 西摩松定理的逆定理： （略） 40 关于西摩松线的定理 1： ABC 的外接圆的两个端点 P, Q 关于该三角 形的西摩松线相互垂直,其交点在九点圆上 41 关于西摩松线的定理 2（寂静定理）：在一个圆周上有 4 点,以其中任 三点作三角形,再作其余一点的关于该三角形的西摩松线,这些西摩松线 交于一点 42 史坦纳定理：设 ABC 的垂心为 H,其外接圆的任意 P,这时关于 ABC 点 的点 P 的西摩松线通过线 PH 的中段 心 43 史坦纳定理的应用定理： ABC 的外接圆上的一 P 的关于边 BC,点 CA

20、, AB 的对称点和 ABC 的垂心 H 同在一条（与西摩松线平行的）直线上这 条直线被叫做点 P 关于 ABC 的镜象线 44 牛顿定理 1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对 第 8 页,共 13 页角线的中点,三点共线这条直线叫做这个四边形的牛顿线 45 牛顿定理 2：圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点 共线 46 笛沙格定理 1：平面上有两个三角形 ABC,DEF,设它们的对应顶点 （ A 和 D,B 和 E,C 和 F）的连线交于一点,这时假如对应边或其延长线 相 交,就这三个交点共线 47 笛沙格定理 2：相异平面上有两个三角形 ABC,DEF,设它

21、们的对应 顶点（ A 和 D,B 和 E,C 和 F）的连线交于一点,这时假如对应边或其延 长 线相交,就这三个交点共线 48 波朗杰,腾下定理：设 ABC 的外接圆上的三点 P, Q,R,就 P, Q, 为 R 关于 ABC 交于一点的充要条件是：AP+弧 BQ+弧 CR=0mod2 弧 49 波朗杰,腾下定理推论 1：设 P,Q,R 为 ABC 的外接圆上的三点,如 P,Q,R 关于 ABC 的西摩松线交于一点,A, B,C 三点关于 PQR的 就 的 西摩松线交于与前相同的一点 50 波朗杰,腾下定理推论 2：在推论 1 中,三条西摩松线的交点是 A,B, C,P, Q,R 六点任取三点

22、所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形 的 垂心的连线段的中点 51 波朗杰,腾下定理推论 3：考查 ABC 的外接圆上的一 P 的关于 点 ABC 的西摩松线,如设 QR 为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦,就三 P,Q, 点 R 的关于 ABC 的西摩松线交于一 点 52 波朗杰,腾下定理推论 4：从 ABC 的顶点向 BC,CA,AB 引垂 边 线, 第 9 页,共 13 页设垂足分别是 D,E, F,且设边 BC, CA, AB 的中点分别 是 L, M, N,就 D, E,F,L,M,N 六点在同一个圆上,这 时 松线交于一点 L,M,N 点关于关于 ABC 的西 摩 53 卡诺定理

23、：通过 ABC 的外接圆的一 P,引与 ABC的三边 BC, 点 CA, AB 分别成同向的等角的直 PD, PE, PF,与三边的交点分别是 D,E,F, 线 就 D, E, F 三点共线 54 奥倍尔定理： 通过 ABC 的三个顶点引相互平行的三条直 设它们与 线, ABC 的外接圆的交点分别 L, M, N,在 ABC 的外接圆上取一 P,就 是 点 PL,PM,PN与 ABC的三边 BC,CA,AB 或其延长线的交点分别 D,E,F, 是 就 D, E, F 三点共线 55 清宫定理：设 P,Q 为 ABC 的外接圆的异 A, B, C 的两点, P 点于 的 关于三边 BC,CA,A

24、B 的对称点分别是 U,V,W,这时, QU,QV,QW和边 BC,CA,AB 或其延长线的交点分别 D, E,F,就 D, E,F 三点共线 是 56 他拿定理：设 P, Q 为关于 ABC 的外接圆的一对反点,P 的关于点 三 边 BC,CA,AB 的对称点分别 U, V,W,这时,假如 QU,QV,QW和边 是 BC, CA,AB 或其延长线的交点分别 D, E,F,就 D, E, F 三点共线（反点： 是 P,Q 分别为圆 O 的半径 OC和其延长线的两点, 假如 OC=OQ OP 就称 P,Q 两点关于圆 O 互为反点） 57 朗古来定理：在同一圆周上有 A1,B1, C1,D1四点

25、,以其中任三点作三 角形,在圆周取一点 P,作 P 点的关于这 4 个三角形的西摩松线,再从 P 第 10 页,共 13 页向这 4 条西摩松线引垂线,就四个垂足在同一条直线上 58 从三角形各边的中点,向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线, 这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心 59 一个圆周上有 n 个点,从其中任意 n 1 个点的重心,向该圆周的在其 余一点处的切线所引的垂线都交于一点 60 康托尔定理 1：一个圆周上有 n 个点,从其中任意 n2 个点的重心向 余下两点的连线所引的垂线共点 61 康托尔定理 2：一个圆周上有 A,B,C, D 四点及 M,N 两点,就 M 和 N 点关于四个三角形 BCD, CDA, DAB, ABC中的每一个的两条西摩 松 线的交点在同始终线上这条直线叫做 M,N 两点关于四边ABCD的康形 托 尔线 62 康托尔定理 3：一个圆周上有 A,B,C, D 四点及 M,N,L 三点,就 M, N 两点的关于四边 ABCD的康托尔线, L,N 两点的关于四边 ABCD的 康 形 形 托尔线,M,L 两点的关于四边形 ABCD的康托尔线交于一点 这个点叫 M, 做 N, L 三点关于四边形 ABCD的康托尔 点 63 康托尔定理 4：一个圆周上有 A,B,C,D,E 五点及 M,N,L 三点,就 E CDE,A DEA,B EAB