高中数学必修一集合经典题型总结高分必备

1、高中数学必修一集合经典题型总结 高分必备 慧诚训练 2022 年秋季高中数学讲义必修一第一章复习学问点一 集合的概念1集合一般地,把一些能够对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象构成的集合 或集 ,通常用大写拉丁字母 A,B,C, 来表示2元素构成集合的叫做这个集合的元素,通常用小写拉丁字母 3空集 不含任何元素的集合叫做空集,记为 . a,b, c, 来表示1 / 30 学问点二集合与元素的关系高中数学必修一集合经典题型总结高分必备 1属于 假如 a 是集合 A 的元素,就说集合 A,记作 . 2不属于 假如 a 不是集合 A 中的元素,就说集合 A,记作 . 学问点三 集合的特性及分类

2、1集合元素的特性、 . 2集合的分类 1 有限集：含有元素的集合2 无限集：含有元素的集合3常用数集及符号表示学问点四名称非负整数集 自然数集 N*或 N整数集Q实数集符号NZR集合的表示方法1列举法 把集合的元素,并用花括号“ ” 括起来表示集合的方法叫做列举法2描述法 用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法学问点五 集合与集合的关系1子集与真子集定义符号语言图形语言图 假如集合 A 中的元素都是集合子集B 中的元素,我们就说这两个或集合有包含关系,称集合A 为集合 B 的子集2 / 30 高中数学必修一集合经典题型总结 高分必备 假如集合 A. B,但存在元素,真子集且,我们称集合A 是

3、集合 B 的或真子集2.子集的性质1 规定：空集是的子集,也就是说,对任意集合 A,都有2 任何一个集合 A 都是它本身的子集,即3 假如 A. B,B. C,就4 假如,就3集合相等图形图言定义符号语言图 假如集合 A 是集合 B 的子集集合相等A. B,且,此时,集合AAB 与集合 B 中的元素是一样的,因此,集合A 与集合 B相等4.集合相等的性质假如 A. B, B. A,就 AB；反之, . 学问点六 集合的运算1交集自然语言符号语言图形语言由组成的集合,称为A 与 BAB的交集3 / 30 高中数学必修一集合经典题型总结 高分必备 2并集自然语言符号语言图形语言由组成的集合, 称为

4、 A 与 ABB 的并集3.交集与并集的性质交集的运算性质 并集的运算性质A BABA AAAA .A.A. B. ABA. B. A B4.全集在讨论集合与集合之间的关系时,假如一个集合含有我们所讨论问题中涉及的,那么就称这个集合为全集,通常记作5补集文字语言对于一个集合A,由全集 U 中的全部元素组成的集合称为集合符号语言A 相对于全集U 的补集,记作.图形语言4 / 30 高中数学必修一集合经典题型总结 高分必备 典例精讲题型一判定能否构成集合；1在“ 高一数学中的难题；全部的正三角形； 方程 x220 的实数解” 中, 能够构成集合的是题型二验证元素是否是集合的元素1、已知集合Axx2

5、 mn2,mZ,nZ. 求证：（ 1） 3A；（2）偶数 42不属于 A. 2、集合 A 是由形如m3 nmZ,nZ的数构成的,判定213是不是集合A 中的元素 . 题型三 求集合1方程组 错误 . 的解集是 错误 . B x, 3 且 y 7 C 3 , 7 D x,y3 且 y 7 2以下六种表示法： x 1, y2 ； x,y 1,y2 ； 1,2 ； 1,2； 1,2 ； x,y 1 或 y 2 能表示方程组 错误 . 的解集的是 BA5 / 30 高中数学必修一集合经典题型总结高分必备 M 为；CD3.数集 A 满意条件：如aA,就 Aa 1如 A,求集合中的其他元素. 4已知 x,

6、y,z 为非零实数,代数式的值所组成的集合是M,用列举法表示集合题型四利用集合中元素的性质求参数 1已知集合 Sa,b,c 中的三个元素是 的三边长,那么 肯定不是A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形2.设 a,bR,集合 1 , ab,a ,就 ba. 3.已知 P 2 x k,xN,kR ,如集合 P 中恰有 3 个元素,就实数 4.已知集合 A 23x20. 1如 A 是单元素集合,求集合 A；2如 A 中至少有一个元素,求 a 的取值范畴k 的取值范畴是 . 5.已知集合 A 是由 0,m,m23m2 三个元素组成的集合,且 2A,就实数 m 的值为 A 2 B3 C 0

7、或 3 D0 或 2 或 3 62022 浙江镇海检测 已知集合 A 是由 0,m,m23m2 三个元素构成的集合,且 2A,就实数 m. 题型五 判定集合间的关系1、设 M x x k 1 , k Z , N x x k 1 , k Z,就 M 与 N 的关系正确选项（）2 4 4 2A. B. M NC. M N D.以上都不对2判定以下集合间的关系：6 / 30 高中数学必修一集合经典题型总结 高分必备 1A 32 , B2 x50 ；2Ax 1x3 ,B , yA 3已知集合 M m, mZ,N , nZ,P , pZ ,试确定 M,N,P 之间的关系. 题型六 求子集个数1已知集合

8、A 22xa0, aR ,如集合 A 有且仅有 2 个子集,就 a 的取值构成的集合为题型七 利用两个集合之间的关系求参数1.已知集合 A1,2 ,m 3 ,B1 ,m, B. A,就 m. 2已知集合 A1,2 ,B 20 ,如 B. A,就 a 的值不行能是 A 0 B1 C 2 D3 3设集合 A2x5 ,B 1x2m1. 1 如 B. A,求实数 m 的取值范畴；2 当 xZ 时,求 A 的非空真子集个数；3 当 xR 时,不存在元素 x 使 xA 与 xB 同时成立,求实数 m 的取值范畴题型八 集合间的基本运算1下面四个结论：如 aAB,就 aA；如 aAB,就 aAB；如 aA,

9、且 aB,7 / 30 高中数学必修一集合经典题型总结 高分必备 就 a AB；如 ABA,就 ABB.其中正确的个数为 A 1 B2 C 3 D4 2已知集合 M 33 ,就 MN A 3 B 3x5 C 30 ,就 ST A 2,3 B, 23, C 3, D0,23, 5以下关系式中,正确的个数为 MN. N； MN. MN；MN. N；如 M. N,就 M N M. A 4 B3 C 2 D1 6设 U0,1,2,3 ,A x2 0 ,如 .1,2 ,就实数 m. 72022 唐山一中月考试题 已知全集 U 4 ,集合 A 2x4 ,B 6x6 ,求 AA B和 BBA10 / 30

10、学问点一函数的有关概念高中数学必修一集合经典题型总结高分必备 11 / 30 学问点二两个函数相等的条件高中数学必修一集合经典题型总结高分必备 1定义域2完全一样学问点三 区间的概念及表示1一般区间的表示 设 a, bR,且 ab,规定如下：定义名称符号数轴表示xb闭区间 xb 开区间12 / 30 xb高中数学必修一集合经典题型总结高分必备 半开半闭区间 a a a 符号, a, a, , a, a 函数的表示方法函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法学问点五分段函数x 在 A 中不同的取值范畴,有着不同的,那么称这样的函数为分段函假如函数yfx,xA,依据自变量数分段函数是一个函数,分段

11、函数的定义域是各段定义域的,值域是各段值域的学问点六 映射的概念设 A,B 是两个,假如按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的,在集合 B 中都有确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射学问点七 函数的单调性1增函数、减函数：设函数 fx的定义域为 I,假如对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1,x2,当 x1x2 时,都有 fx1fx2,那么就说函数 fx在区间 D 上是增函数；当 x1fx2,那么就说函数 fx在区间 D 上是减函数2函数的单调性：如函数 fx在区间 D 上是增 减函数,就称函数 fx在这一区间上具

12、有 严格的 单调性,区间 D 叫做 fx的单调区间3单调性的常见结论：如函数fx,gx均为增 减 函数,就 fx gx仍为增 减函数；如函数fx为增 减函数,就 fx为减 增 函数；如函数 学问点八 函数的最大值、最小值fx为增 减函数,且 fx0,就为减 增函数最值最大值最小值类别 设函数 yfx的定义域为I,假如存在实数M 满意条件1对于任意的xI,都有1对于任意的xI,都有2存在 x0I,使得2存在 x0 I,使得 M 是函数 yfx的最小值结论M 是函数 yfx的最大值性质：定义在闭区间上的单调函数,必有最大小值学问点九函数的奇偶性1函数奇偶性的概念14 / 30 条件结论高中数学必修

13、一集合经典题型总结高分必备 偶函数奇函数对于函数fx的定义域内任意一个x,都有fxfxfx fx函数 fx是偶函数函数 fx是奇函数2.性质1 偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称2 奇函数在对称的区间上单调性相同,偶函数在对称的区间上单调性相反3 在定义域的公共部分内,两个奇函数之积与商分母不零 为偶函数； 两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商分母不为零 为奇函数例 12022 年 10 月学考 函数 fx x3 的定义域为 A 3 B0 yfx图象的是 C3 D 3 例 22022 年 4 月学考 以下图象中,不行能成为函数15 /

14、 30 例 3高中数学必修一集合经典题型总结高分必备 已知函数 fx错误 . 就 ff3, fx的单调递减区间是例 4 2022 年 10 月学考 已知函数 fx, gx 1,其中 a0,如 fx与 gx的图象有两个不同的交点,就 a 的取值范畴是例 5 已知函数 fx错误 . 满意对任意的 x1fx2,求 a 的取值范畴例 6 2022 年 4 月学考改编 已知函数 fx . 1 设 gxfx2,判定函数 gx的奇偶性,并说明理由；2 求证：函数 fx在 2,3上是增函数16 / 30 例 7高中数学必修一集合经典题型总结高分必备 2022 年 10 月学考 已知函数 fx, aR. 1 判

15、定函数 fx的奇偶性,并说明理由；2 当 a2 时,证明：函数 fx在0,1上单调递减例 8 2022 年 10 月学考 设函数 fx的定义域为 D,其中 a1. 1 当 a 3 时,写出函数 fx的单调区间 不要求证明 ；2 如对于任意的 x 0,2 D,均有 fx2 成立,求实数 k 的取值范畴17 / 30 高中数学必修一集合经典题型总结 高分必备 一、挑选题1函数 fx的定义域为 A 3,0 B3,1 C, 33,0 D, 3 3,1 2以下四组函数中,表示同一个函数的是 A y与 yBy 2 与 yCy与 yDfxx 22x1 与 gtt22t1 3如函数 yfx的定义域为 M 2x

16、2 ,值域为 N0 y2 ,就函数 yfx的图象可能是 18 / 30 4已知 fx是一次函数,且高中数学必修一集合经典题型总结高分必备 xx2,就 fx等于 A x1 B2x1 C x1 Dx 1 或 x1 5设集合 A0 x 6 ,B0 y 2 ,从 A 到 B 的对应法就 f 不是映射的是 A f：xyx Bf：xyxCf：xyx Df：xyx6已知 fx是奇函数, gx是偶函数,且 f1g12,f1g 14,就 g1 等于 A 4B3C2D1 7如函数 y 1 在 1,2上的最大值与最小值的差为2,就实数 a 的值为 A 2B 2C2 或 2D0 8偶函数fxx R满意： f4f10,

17、且在区间0,3与 3, 上分别递减和递增,就不等式xfx0 的解集为11如关于 x 的不等式 x 24xa0 在 1,3上恒成立,就实数 a 的取值范畴为三、解答题12已知函数fx的图象经过点1,3,并且 gxx是偶函数1 求函数中 a、b 的值；19 / 30 高中数学必修一集合经典题型总结 高分必备 2 判定函数 gx在区间 1, 上的单调性,并用单调性定义证明13已知二次函数fx222b 在区间 2,3上有最大值5,最小值 2. 1 求 fx的解析式；2 如 b1,gxfx在 2,4上为单调函数,求实数 m 的取值范畴答案精析学问条目排查学问点一1确定的不同的 全体2每个对象学问点二1属

18、于.2不属于学问点三1确定性 互异性 无序性21有限个 2无限个3正整数集 有理数集学问点四1一一列举出来2共同特点学问点五1任意一个A. BB. AxBx.A20 / 30 ABBA. A高中数学必修一集合经典题型总结高分必备 21任何集合2A. A3 A. C4AC3集合 B 是集合 A 的子集 B. A 4假如 A B, 就 A. B,且 B. A学问点六1属于集合 A 且属于集合 B 的全部元素 A,且 xB 2全部属于集合 A 或属于集合 B 的元素 A,或 xB 3BA B A A A . A A B4全部元素 U5不属于集合 A . U,且 x.A 题型分类示例例 1 D 例 2

19、 A AB,2B,就 a2.例 3 4 解析全集 U2,3,4 ,集合 A2,3 , .4 例 4 A ABA, A. B. A1,2 ,B1 ,m,3 ,m2,应选 A. 例 5B由 B 中不等式变形得x2 x40,解得 x2,即 B, 42, A 2,3,AB, 4 2, 应选 B. 例 6 C 图中的阴影部分是 MP 的子集,不属于集合 S,属于集合 S 的补集,即是 .的子集,就阴影部分所表示的集合是 MP.,应选 C. 例 7 A A1 3x81 0 x4 ,B 2x2 x1 2x2 2 ,AB2 x 4 2,4 考点专项训练21 / 30 1B高中数学必修一集合经典题型总结高分必备

20、 集合 A 1 x 5 ,Z 为整数集,就集合 AZ1,2,3,4,5 集合 AZ 中元素的个数是 5,应选 B. 2C 由 x25x60,解得 x3 或 x2. 又集合 A 1x1 , A. B,应选 C. 3D 4 5A .2,4,5,7,A.3,4,52,4,5,74,5,应选 A. 6A 由于全集 U 1,1,3 ,集合 A a2,a22 ,且 . 1 ,所以 1,3 是集合 A 中的元素,所以 错误 . 或 错误 .由错误 . 得 a 1. 由错误 . 得 a 无解,所以 a 1,应选 A. 7D A28x150 3,5 ,B. A, B.或3 或5 ,如 B.时, a0；如 B3

21、,就 a；如 B5 ,就 a. 故 a或或 0,应选 D. 8D集合 A 216 4 或 x4 ,B m,且 A BA, B. A,m 4 或 m4,实数 m 的取值范畴是, 44, ,应选 D. 91,2 10 0 1 解析 A 1 ,a , xxaxb0,解得 x 0 或 a 或 b,如 AB,就 a 0,b1. 114 解析 全集 U x 2x4 2, 1,0,1,2,3,4 ,A 1,0,1,2,3 ,. 2,4 ,22 / 30 高中数学必修一集合经典题型总结 高分必备 B. ,就集合 B ., 2 ,4 , 2,4 ,因此满意条件的集合 B 的个数是 4. 12 1, 解析 由 x

22、2x0,解得 0 x0,A. B,a1. 13 3, 解析 由 2|a,可得 2 ax0,A2a,2aa0由 x22x30,解得 1x1 时, fx递减,fx在 1, 上递减例 4 0,1 解析 由题意得 fx错误 . 在平面直角坐标系内分别画出 0a1 时,函数 fx,gx的图象,由图易得当 fx,gx的图象有两个交点时,有错误 . 解得 0a1,a 的取值范畴为 0a1. 24 / 30 例 5解高中数学必修一集合经典题型总结高分必备 由题意知, fx为减函数,25 / 30 高中数学必修一集合经典题型总结 高分必备 0a1 且 a30 且 a0 a3 0 4a,0a. 例 61解fx,g

23、xfx2,g x gx,又 gx的定义域为 1 且 x 1 ,ygx是偶函数2 证明 设 x1, x2 2,3且 x1x2,fx1fx2 ,x1, x22,3且 x1x2,x1 x20,x11x13x2 1x230,综上得 fx1fx20,即 fx1fx2,函数 fx在 2,3上是增函数例 71解由于 fx fx,又由于 fx的定义域为 x 1 且 x 1 ,所以函数 fx为奇函数2 证明 任取 x1,x20,1,设 x1x2,就 fx1fx2ax1x2x1x2a x1x2a由于 0 x1x22,0 1 12a,所以 a0. 又由于 x1x2fx2,所以函数 fx在0,1上单调递减例 8解1单

24、调递增区间是, 1,单调递减区间是1, 2 当 x0 时,不等式fx2 成立；26 / 30 高中数学必修一集合经典题型总结 高分必备 当 x 0 时, fx2等价于 k. 设 hxx1|a 错误 .当 a1 时, hx在0,2上单调递增,所以 0hxh2,即 0hx21a故 k. 当 1a0 时, hx在0, 上单调递增,在,1上单调递减,在1,2上单调递增,由于 h222ah即 0 h,所以 ahx22a 且 hx 0. 当 0 a时,由于 |22 |,所以 k；当 a1 时,由于 |22 |,所以 k,综上所述,当 a时, k；当 a1 时, k. 考点专项训练1A 要使函数有意义,就错误 . 即