多元函数微分法及其应用偏导数与全微分市公开课获奖课件

1、第二节 偏导数与全微分一 偏导数二 全微分1第1页第1页一 偏导数函数对x偏增量定义在点存在,偏导数，记为某邻域内则称此极限为函数假如极限设函数1 偏导数及其计算注意:有定义，2第2页第2页函数对 y 偏增量同样可定义对则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数 ,记为偏导数或若函数在区域 内每一点处对 偏导数存在，3第3页第3页比如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 偏导数概念能够推广到二元以上函数 .偏导数定义为(请自己写出)4第4页第4页解5第5页第5页证原结论成立6第6页第6页解7第7页第7页不存在8第8页第8页例4 设求解9第9页第9

2、页例5 求偏导数 . 解:10第10页第10页相关偏导数几点阐明：、求分界点、不连续点处偏导数要用定义求；解11第11页第11页2 偏导数存在与连续关系？因此函数在该点处并不连续.偏导数存在 连续.一元函数中在某点可导 连续，多元函数中在某点偏导数存在 连续，由于不存在12第12页第12页3 偏导数几何意义是曲线在点 M0 处切线对 x 轴斜率.在点M0 处切线斜率.是曲线对 y 轴13第13页第13页4 高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y ) 二阶偏导数 .按求导次序不同, 有以下四个二阶偏导数:

3、二阶混和偏导数14第14页第14页二阶及二阶以上偏导数统称为高阶偏导数.类似能够定义更高阶偏导数.比如，z = f (x , y) 关于 x 三阶偏导数为z = f (x , y) 关于 x n 1 阶偏导数 , 再关于 y 一阶偏导数为15第15页第15页解16第16页第16页解17第17页第17页例8设求解18第18页第18页解19第19页第19页例10 设求解20第20页第20页问题：混合偏导数都相等吗？具备如何条件才相等？则定理.比如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,阐明:本定理对 n 元函数高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续 , 故求初等函数高阶导数能够

4、选择以便求导顺序.由于初等函数偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续时, 有而初等(证实略) 21第21页第21页1 全微分定义二 全微分函数在点某邻域内有定义，即 =为这邻域内任意一点，并设记为为函数在点P 相应于自变量增量全增量，称这两点函数值之差 则二元函数对偏增量二元函数对偏增量22第22页第22页其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 相关，若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，假如函数 z = f ( x, y )在定义域 D 内点( x , y )可表示成处全增量则称此函数在

5、D 内可微.称为函数在点 (x, y) 全微分, 定义记作23第23页第23页事实上 假如函数在点可微分, 则函数在该点连续. 故函数在点处连续.24第24页第24页2 可微条件定理1（必要条件）在点可微分，假如函数偏导数必存在，则该函数在点在点全微分为 且函数同样可证证: 由全增量公式得到对 x 偏增量因此有 25第25页第25页一元函数在某点导数存在 微分存在多元函数各偏导数存在 全微分存在？比如，在点处有同样可得26第26页第26页则当 时，27第27页第27页 阐明：多元函数各偏导数存在并不能确保全微分存在，证28第28页第28页（依偏导数连续性）同理29第29页第29页习惯上，当全微分定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数全微分等于它两个偏微分之和这件事称为二元函数微分符合叠加原理叠加原理也适合用于二元以上函数情况全微分写为自变量时，记比如30第30页第30页解所求全微分31第31页第31页解32第32页第32页解所求全微分33第33页第33页例14 阐明函数34第34页第34页证令则同理35第35页第35页不存在.36第36页第36页37第37页第37页多元