数学实验A市公开课获奖课件

1、MATLAB数学试验第三章 矩阵代数 第1页第1页/10/102第三章 矩阵代数第三章 矩阵代数3.1 预备知识：线性代数3.2 矩阵代数MATLAB指令3.3 计算试验：线性方程组求解3.4 建模试验：投入产出分析和基因遗传第2页第2页/10/103第三章 矩阵代数3.1 预备知识：线性代数线性方程组记为 A x = b第3页第3页/10/104第三章 矩阵代数3.1 预备知识：线性代数线性方程组若秩(A) 秩(A,b)，则无解；若秩(A) = 秩(A,b) = n, 存在唯一解；若秩(A) = 秩(A,b) n, 存在无穷多解； 通解是齐次线性方程组 Ax=0 基础解系与 Ax=b 一个特

2、解之和。第4页第4页/10/105第三章 矩阵代数3.1 预备知识：线性代数逆矩阵方阵A称为可逆，假如存在方阵B，使A B = B A = E，记 B = A-1方阵A可逆充足必要条件:A0A-1 =A*/|A| 这里A*为A伴随矩阵（A E） 行变换（E A-1）第5页第5页/10/106第三章 矩阵代数3.1 预备知识：线性代数特性值与特性向量 对于方阵A，若存在数和非零向量x 使 A x = x，则称为A一个特性值，x 为A 一个相应于特性值特性向量。特性值计算归结为特性多项式求根。特性向量计算：齐次线性方程组(A - E) x = 0 所有一组线性无关解。第6页第6页/10/107第三

3、章 矩阵代数3.2 矩阵代数MATLAB指令运算符A (共轭)转置, A. 转置 A+B与A-B 加与减k+A与k-A 数与矩阵加减k*A或A*k 数乘矩阵 A*B 矩阵乘法 Ak 矩阵乘方左除AB 为AX=B解右除B/A 为XA=B解与数组运算不同第7页第7页/10/108第三章 矩阵代数3.2 矩阵代数MATLAB指令矩阵运算与数组运算区分数组运算按元素定义，矩阵运算按线性代数定义矩阵加、减、数乘等运算与数组运算是一致 矩阵乘法、乘方和除法与数组乘法、乘方和除法不同数与矩阵加减、矩阵除法在数学上是没故意义。但在MATLAB中有定义。 例子 P45-46第8页第8页/10/109第三章 矩阵

4、代数3.2 矩阵代数MATLAB指令特殊矩阵生成zeros(m,n) m行n列零矩阵;ones(m,n) m行n列元素全为1阵;eye(n) n阶单位矩阵;rand(m,n) m行n列0,1上均匀分布随机数矩阵randn ：产生均值为0，方差为1原则正态分布随机矩阵。第9页第9页/10/1010第三章 矩阵代数zeros生成所有元素为0零矩阵A=zeros(n) 生成nn零矩阵A=zeros(m,n) 或 zeros(m,n) 生成mn零矩阵A=zeros(m,n,p, ) 生成mnp零矩阵B=zeros(size(A) 生成和矩阵A大小相等全零矩阵。 举例:第10页第10页/10/1011第

5、三章 矩阵代数例2-3 分别建立33、32和与矩阵A同样大小零矩阵。(1) 建立一个33零矩阵。zeros(3) (2) 建立一个32零矩阵。zeros(3,2) (3) 设A为23矩阵，则能够用zeros(size(A)建立一个与矩阵A同样大小零矩阵。A=1 2 3;4 5 6; %产生一个23阶矩阵Azeros(size(A) %产生一个与矩阵A同样大小零矩阵第11页第11页/10/1012第三章 矩阵代数3.2 矩阵代数MATLAB指令矩阵处理 trace(A) 迹(对角线元素和)diag(A) A对角线元素构成向量;diag(x) 向量x元素构成对角矩阵.tril(A) A下三角部分t

6、riu(A) A上三角部分flipud(A) 矩阵上下翻转fliplr(A) 矩阵左右翻转reshape(A, m, n) 矩阵A元素重排成m行n列矩阵 第12页第12页/10/1013第三章 矩阵代数3.2 矩阵代数MATLAB指令矩阵分析 rank(A) 秩det(A) 行列式;inv(A) 逆矩阵;null(A) Ax=0基础解系；orth(A) A列向量正交规范化norm(x) 向量x范数（长度，模）norm(A) 矩阵A范数第13页第13页/10/1014第三章 矩阵代数3.2 矩阵代数MATLAB指令特性值与原则形eig(A) 方阵A特性值V, D=eig(A)返回方阵A特性值和特

7、性向量。其中D为特性值构成对角阵，每个特性值相应V列为属于该特性值一个特性向量。V, J=jordan(A) 返回A相同变换矩阵和约当原则形 例子 P49-50第14页第14页矩阵特性值与特性向量(3) V,D=eig(A,nobalance)：与第2种格式类似，但第2种格式中先对A作相同变换后求矩阵A特性值和特性向量，而格式3直接求矩阵A特性值和特性向量。在MATLAB中，计算矩阵A特性值和特性向量函数是eig(A)，惯用调用格式有3种：(1) E=eig(A)：求矩阵A所有特性值，构成向量E。(2) V,D=eig(A)：求矩阵A所有特性值，构成对角阵D，并求A特性向量构成V列向量。第15

8、页第15页/10/1016第三章 矩阵代数3.3 计算试验：线性方程组求解 矩阵除法 (1) 当A为方阵，AB结果与inv(A)*B一致；(2) 当A不是方阵, AX=B存在唯一解, AB将给出这个解；(3) 当A不是方阵, AX=B为不定方程组(即无穷多解)，AB将给出一个含有最多零元素特解；(4) 当A不是方阵, AX=B若为超定方程组（即无解）, AB给出最小二乘意义上近似解，即使得向量AXB范数达到最小。 第16页第16页/10/1017第三章 矩阵代数3.3 计算试验：线性方程组求解例3.1 解方程组 第17页第17页/10/1018第三章 矩阵代数3.3 计算试验：线性方程组求解例

9、3.2 线性方程组通解用rref化为行最简形以后求解用除法求出一个特解，再用null求得一个齐次组基础解系用符号数学工具箱中solve求解(第七章) 第18页第18页/10/1019第三章 矩阵代数3.3 计算试验：线性方程组求解相同对角化及应用 假如n阶方阵A有n个线性无关特性向量，则必存在正交矩阵P, 使得 P-1AP= , 其中是A特性值构成对角矩阵，P列向量是相应n个正交特性向量。使用MATLAB函数eig求得每个特性向量都是单位向量(即模等于1)，并且属于同一特性值线性无关特性向量已正交化，因此由此容易进行相同对角化。 第19页第19页/10/1020第三章 矩阵代数3.3 计算试验

10、：线性方程组求解例3.3 用相同变换矩阵P将A相同对角化，并求 补充：向量线性相关性：极大线性无关组R, jb=rref(A)第20页第20页/10/1021第三章 矩阵代数3.4 建模试验设有n个经济部门，xi为部门i总产出，cij为部门j单位产品对部门i产品消耗，di为外部对部门i需求，fj为部门j新创造价值。分派平衡方程组(部门i产品=内部需求+外部需求)消耗平衡方程组(部门j产值=生产成本+利润) 第21页第21页/10/1022第三章 矩阵代数投入产出分析令 C =（cij），X = (x1, , xn),D = (d1, , dn)，F= (f1, , fn), 则分派平衡方程组

11、X=CX+D令 A = EC，E为单位矩阵，则 AX = DC称为直接消耗矩阵A称为列昂杰夫（Leontief, 1973Nobel奖）矩阵。第22页第22页/10/1023第三章 矩阵代数Y = 1,1,1 BY表示各部门总投入(消耗)。新创造价值向量 F=X YB=CB表示各部门间投入产出关系，称为投入产出矩阵。第23页第23页/10/1024第三章 矩阵代数投入产出分析 例3.4 某地有三个产业，一个煤矿，一个发电厂和一条铁路，开采一元钱煤，煤矿要支付0.25元电费及0.25元运送费; 生产一元钱电力，发电厂要支付0.65元煤费，0.05元电费及0.05元运送费; 创收一元钱运送费,铁路

12、要支付0.55元煤费和0.10元电费，在某一周内煤矿接到外地金额50000元定货，发电厂接到外地金额25000元定货，外界对地方铁路没有需求。第24页第24页/10/1025第三章 矩阵代数解：这是一个投入产出分析问题。设x1为本周内煤矿总产值，x2为电厂总产值, x3为铁路总产值, 则问三个公司间一周内总产值多少才干满足本身及外界需求？三个公司间互相支付多少金额？三个公司各创造多少新价值?第25页第25页/10/1026第三章 矩阵代数直接消耗矩阵C= 外界需求向量 D =产出向量X = 则原方程为 (E-C)X=D 投入产出矩阵为 B=C*diag(X)总投入向量 Y= ones(1,3)

13、*B 新创造价值向量 F=X-Y第26页第26页/10/1027第三章 矩阵代数表3.3 投入产出分析表(单位：元)消耗部门外界需求总产出煤 矿电 厂铁 路生产部门煤矿0365061558250000102088电厂25522280828332500056163铁路2552228080028330新创造价值51044140419915总产出1020885616328330第27页第27页/10/1028第三章 矩阵代数投入产出分析表格式(行：分派平衡，列：消耗平衡)消耗部门外界需求总产出123生产部门1b11b12b13d1x12b21b22b23d2x23b31b32b33d3x3新创造价值

14、f1f2f3总产出x1x2x3注：bij=cijxj第28页第28页/10/1029第三章 矩阵代数后代是从父母体基因对中各继承一个基因，形成自己基因型。假如所考虑遗传特性是由两个基因A和a控制，那么有三种基因型，上表给出父母基因型所有也许组合使其后代形成每种基因正确概率。基因遗传第29页第29页/10/1030第三章 矩阵代数例5 设金鱼某种遗传病染色体正常基由于A，不正常基由于a, 那么AA，Aa，aa分别表示正常金鱼，隐性患者，显性患者。设初始分布为90%正常金鱼，10%隐性患者，无显性患者。考虑下列两种配种方案对后代该遗传病基因型分布影响方案一：同类基因结合，均可繁殖；方案二：显性患者不允许繁殖，隐性患者必须与正常金鱼结合繁殖第30页第30页/10/1031第三章 矩阵代数解 设初始分布X(1)=(0.9 0.1 0),第n代分布为X(n)=A =B=则 X(n) =