经济数学复习第六章线性方程组市公开课获奖课件

1、 一. 非齐次线性方程组消元解法 ESC 6.1 线性方程组消元解法 二. 线性方程组解鉴定 6.1 线性方程组消元解法 第1页第1页 一. 非齐次线性方程组消元解法 ESC 6.1 线性方程组消元解法 二. 线性方程组解鉴定 6.1 线性方程组消元解法 第2页第2页ESC 一. 非齐次线性方程组消元解法 设含有 n 个未知数 m 个方程线性方程组 若常数项 , , , 不全为零,则称此方程组为非齐次线性方程组.非齐次线 性方程组 第3页第3页ESC 一. 非齐次线性方程组消元解法 设含有 n 个未知数 m 个方程线性方程组 若常数项 , , , 全为零,即则称此方程组为齐次线性方程组.齐次线

2、性 方程组 第4页第4页ESC 一. 非齐次线性方程组消元解法 记系数矩阵未知量矩阵常数项矩阵A X b 若 bO , 则非齐次线性方程组用矩阵可表示为 AX=b . 若 bO, 则齐次线性方程组用矩阵可表示为AX=O.第5页第5页ESC增广矩阵A A b 一. 非齐次线性方程组消元解法 第6页第6页ESC 一. 非齐次线性方程组消元解法 对于非齐次线性方程组AX=b ,bO. 和齐次线性方程组AX=O.要处理下列三个问题(1) 方程组是否有解?(2) 若有解, 是否是唯一解?(3) 如何求方程组解?第7页第7页ESC 一. 非齐次线性方程组消元解法 案 例用消元法解下列非齐次线性方程组: 消

3、元法基本思想是把方程组中部分方程变成未知量较少 从而求出解.也就是通过对方程组进行同解变形来实现.项进行变换. 分析 方程,而对方程组进行同解变形事实上就是对方程组系数和常数 下面在用消元法解方程组时,对照观测线性方程组增广矩阵. 第8页第8页ESC 解案例(方程组与增广矩阵对照演示) 方程组增广矩阵 方程乘上数(-2)、(-1)加到方程和方程上, 得 A A A 分别将 第1行乘上数(-2)、(-1)加到第2行和第3行上,得A 第9页第9页 解案例(方程组与增广矩阵对照演示) A 方程组增广矩阵 A 把方程乘上 ,得ESC把上述矩阵第3行乘上 ,得第10页第10页 解案例(方程组与增广矩阵对

4、照演示) ESC方程组增广矩阵 A 互换方程和方程位置,得互换上述矩阵第2行和第3行,得第11页第11页 解案例(方程组与增广矩阵对照演示) ESC方程组增广矩阵 A 为消去方程未知量,将方程乘上数3加到方程上,得 将上述矩阵第2行乘上数3加到第3行上,得A 1 阶梯形 方程组 阶梯形矩阵 第12页第12页 解案例(方程组与增广矩阵对照演示) ESC方程组增广矩阵 A A 1为求方程组解,将方程乘上 ,得把上述矩阵第3行乘上 , 得第13页第13页 解案例(方程组与增广矩阵对照演示) ESC方程组增广矩阵 A 将上述矩阵第3行分别乘上数2、(-1),加到第2行和第1行上,得将 代入前两个方程,

5、即将方程分别乘上数2、(-1)加到方程和方程上,得第14页第14页 解案例(方程组与增广矩阵对照演示) ESC方程组增广矩阵 A (完)将 代入前一个方程,即将方程乘上数(-3)加到方程上,得将上述矩阵第2行乘上数(-3)加到第1行上,得A 2 原方程 组解 简化阶梯形矩阵 唯一解 第15页第15页 用消元法求解线性方程组过程对照 ESC方程组增广矩阵 (1) 消元过程: 通过对方程组系数和常数项进行算术运算,自上而下地将各个方程所含未知量个数依次减少,最后把方程组化为阶梯形方程组；(2) 回代过程:由阶梯形方程组逐次求出各未知量. 相应地A (1)用矩阵初等行变换将 化为阶梯形矩阵: 阶梯形

6、方程组相相应矩阵 是阶梯形矩阵;A A 1(2)用矩阵初等行变换将矩阵 化为简化阶梯形矩: 简化阶梯形矩阵给出了原方程组解 . A 1第16页第16页ESC非齐次线性方程组求解过程与程序 一. 非齐次线性方程组消元解法 若r(A)=r( ) A r(A)r( ) A (1) 经初等行变换将 化为阶梯形矩阵 ; A A 1(2)继续化 为简化阶梯 形矩阵 ;A 1A 2非齐次线性方程组无解,解题结束.(3)写出简化阶 梯形矩阵 相应线性方程组.A 2由简化阶梯形矩阵 给出原方程组解 . A 2第17页第17页ESC 一. 非齐次线性方程组消元解法 解线性方程组: 例1(1)将线性方程组增广 解

7、A 矩阵 化为阶梯 形矩阵. A 第18页第18页ESC 一. 非齐次线性方程组消元解法 例1(1)将线性方程组增广 续解 A 矩阵 化为阶梯 形矩阵. A 阶梯形矩阵A 1与 相应方程组为 A 10=0.第19页第19页ESC 一. 非齐次线性方程组消元解法 例1续解 (2)继续将阶梯形矩阵 化为简化阶梯形矩阵. A 1A 1A 2简化阶梯 形矩阵第20页第20页ESC 一. 非齐次线性方程组消元解法 例1续解 A 1A 2(3)写出 与 相应方程组 A 2简化阶梯 形矩阵该方程组可写成 第21页第21页ESC 一. 非齐次线性方程组消元解法 (完) 例1续解 该方程组可写成 若取则原方程组

8、解是(3)写出 与 相应方程组 A 2,求出原方程组解.其中 为任意常数. 原方程组有 无穷多组解 线性方程组普通解第22页第22页ESC 一. 非齐次线性方程组消元解法 解线性方程组: 例2解 A 并对其施行初等行变换,化为阶梯形矩阵.(1)写出方程组增广矩阵 , A 第23页第23页ESC 一. 非齐次线性方程组消元解法 (完) 例2续解 A 并对其施行初等行(1)写出方程组增广矩阵 , A 变换,化为阶梯形矩阵.A 阶梯形矩阵 A 1与 相应方程组为 A 1矛盾方程 原方程组 无解第24页第24页ESC 一. 非齐次线性方程组消元解法 以上我们利用消元法解了三个线性方程组.其求解过程可由

9、方程组增广矩阵 进行初等行变换得到. A 观测线性方程组系数矩阵A秩r(A)、增广矩阵秩r( ): A 案例中: A A A r(A)=r( )=3=未知量个数, A 原方程组 有唯一解 第25页第25页ESC 一. 非齐次线性方程组消元解法 A A A r(A)=r( )=2未知量个数4, A 例1中: 原方程组有 无穷多组解 A A A 例2中: r(A)=2r( )=3, A 原方程组 无解第26页第26页ESC 二. 线性方程组解鉴定 设含有 n 个未知数 m 个方程线性方程组 非齐次线 性方程组 或用矩阵表示AX=b . 有解r(A)=r( )=r. A 这时,自由未知量个数为n-r

10、. (1)当r=n(未知量个数)时,有唯一解; (2)当rn时,有无穷多解, 定理 6.1第27页第27页ESC方程组: 例3解 A 并对其施行初等增广矩阵 , A 写出方程组 行变换.解线性 二. 线性方程组解鉴定 第28页第28页ESC(未完待续) 例3续解 A 并对其施行初等增广矩阵 , A 写出方程组行变换. 二. 线性方程组解鉴定 第29页第29页ESC例3续解 A 并对其施行初等增广矩阵 , A 写出方程组行变换.阶梯形矩阵A 1由阶梯形矩阵 知, A 1r(A)=r( )=3未知量个数5, A 原方程组有 无穷多组解 自由未知量个数为53=2. 二. 线性方程组解鉴定 第30页第

11、30页ESC例3续解 并对其施行初等增广矩阵 , A 写出方程组行变换.A 1简化阶梯形矩阵A 2 二. 线性方程组解鉴定 第31页第31页ESC(完) 例3续解 简化阶梯形矩阵A 2A 1A 2与 相应方程组 A 2若取则方程组普通解为 其中 为任意常数. 二. 线性方程组解鉴定 原方程组有无穷多 组解 第32页第32页ESC方程组: 例4解 (1) A 已知线性 (2)当方程组有解时,求出它求(1) 为何值时方程组有解? 为何? 普通解. 施行初等行变换.增广矩阵 对线性方程组 A 二. 线性方程组解鉴定 第33页第33页ESC例4A 二. 线性方程组解鉴定 续解 (1) 方程组有解. 当

12、即时,有 r(A)=r( ), A r(A)=2 , r( )=2 ,A 此时(2) 当时, A 简化阶梯形矩阵第34页第34页ESC(完) 例4A 二. 线性方程组解鉴定 续解 (2) r(A)=r( )=23, A 因此原线性方程组有无穷多解, 且含1个自由未知量. 由于 若取 则方程组普通解为: 其中 为任意常数. 方程组有无穷多 组解 第35页第35页ESC 二. 线性方程组解鉴定 设含有 n 个未知数 m 个方程线性方程组 齐次线 性方程组 用矩阵表示AX=O . 一定有零解这时,自由未知量个数为n-r(A). (1)当r(A)=n(未知量个数)时,仅有零解; (2)当r(A)n时,

13、有非零解, 定理 6.1推论由此可知,当方程个数m小于未知量个数n 时, 方程组一定有非零. 第36页第36页ESC 齐次线性方程组求解过程与程序若r(A)n r(A)=n齐次线性方程组仅有零解,解题结束. 二. 线性方程组解鉴定 (1) 经初等行变换将 化为阶梯形矩阵 ; A A 1(2)继续化 为简化阶梯 形矩阵 ;A 1A 2(3)写出简化阶 梯形矩阵 相应线性方程组.A 2由简化阶梯形矩阵 给出原方程组无穷多解 . A 2第37页第37页ESC方程组: 例5解 解线性 二. 线性方程组解鉴定 因此方程组一定有非零解.由于方程组中方程个数3小于未知量个数4,A 第38页第38页ESC(未

14、完待续) 例5续解 二. 线性方程组解鉴定 A 简化阶梯形矩阵第39页第39页ESC例5续解 二. 线性方程组解鉴定 A 由上述简化阶梯形矩阵知, 简化阶梯形矩阵若取则方程组普通解为 其中 为任意常数. 原方程组有无穷多 组解 第40页第40页ESC 内容小结 一、齐次线性方程组与非齐次线性方程组设含有个未知量、有个方程式构成方程组（6.1.1)第41页第41页ESC 内容小结 其中系数，常数 都是已知数，是未知量(也称为未知数)当右端常数项， ， ，不全为0时，称方程组（6.1.1)为非齐次线性方程组；当 时（6.1.2)称方程组（6.1.2)为齐次线性方程组；第42页第42页ESC 内容小

15、结 二、消元法(高斯消元法)用消元法解线性方程组（或）详细环节为：首先写出增广矩阵 （或 ）(或系 数矩阵 )，并用初等行变换将其化成阶梯形矩阵；然后判断方程组是否有解；在有解情况下，继续用初等行变换将阶梯形矩阵化成行简化阶梯形矩阵，再写出方程组普通解A 第43页第43页ESC 内容小结 三、线性方程组解鉴定设含有 n 个未知数 m 个方程线性方程组 第44页第44页ESC 内容小结 有解r(A)=r( )=r. A (1)当r=n(未知量个数)时,有唯一解; (2)当rn时,有无穷多解, 这时,自由未知量个数为n-r. 第45页第45页ESC 内容小结 设含有 n 个未知数 m 个方程线性方

16、程组 一定有零解第46页第46页ESC 内容小结 (1)当r(A)=n(未知量个数)时,仅有零解; (2)当r(A)n时,有非零解, 这时,自由未知量个数为n-r(A). 由此可知,当方程个数m小于未知量个数n 时, 方程组一定有非零. 第47页第47页ESC课堂练习1、解线性方程组，(6.1.3)，第48页第48页ESC课堂练习解先写出增广矩阵 ，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即第49页第49页ESC课堂练习(-1)2(-3)(-1)第50页第50页ESC课堂练习最后一个增广矩阵表示线性方程组为，第51页第51页ESC课堂练习将最后一个方程乘，再将项移至等号右端，得，将其代入第二个方

17、程，解得，再将，代入第一个方程，解得第52页第52页ESC课堂练习因此，方程组(6.1.4)解为，其中能够任意取值(6.1.5)假如将表示式(6.1.5)中自由未知量 取一任意常数，即令 ，那么方程组(6.1.4)普通解为第53页第53页ESC课堂练习，其中为任意常数比如，对1题中阶梯形矩阵进一步化简，即2第54页第54页ESC课堂练习(-1)上述矩阵相应方程组为，第55页第55页ESC课堂练习将此方程组中含项移到等号右端，就得到原方程组(6.1.4)普通解，即，其中是自由未知量第56页第56页ESC课堂练习2、解线性方程组，第57页第57页ESC课堂练习解第58页第58页ESC课堂练习因此，

18、方程组普通解为，第59页第59页ESC课堂练习2、解线性方程组，解由于第60页第60页ESC课堂练习阶梯形矩阵第三行“，”所表示方程为：，由该方程可知，无论，取何值，都不能满足这个方程因此，原方程组无解第61页第61页ESC课堂练习4、解线性方程组，第62页第62页ESC课堂练习第63页第63页ESC课堂练习，因此，方程组普通解为其中，是自由未知量第64页第64页ESC课堂练习5、判别下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解？(1)，；第65页第65页ESC课堂练习(2)，；(3)，第66页第66页ESC课堂练习解(1)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即第67页第67页ESC课堂练习.由于，两者不等，因此方程组无解第68页第68页ESC课堂练习(2)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即第69页第69页ESC课堂练习由于 ，因此方程组有无穷多解(3)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即第70页第70页ESC课堂练习由于，因此方程组有唯一解第71页第71页ESC课堂练习6、判别下列齐次方程组是否有非零解？，第72页第72页ESC课堂练习解用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵，即第73页第73页ESC课堂练习由于 ，因此齐次方程组只有零解第74页第74页ESC课堂练习7、问，取何值时，下列方程组无解？有唯一解？