线性代数矩阵的初等变换与线性方程组市公开课获奖课件

1、第 三 章矩阵初等变换与线性方程组第1页第1页 第一节 矩阵初等变换第2页第2页 本章先讨论矩阵初等变换，建立矩阵秩概念,并提出求秩有效办法再利用矩阵秩反过来研究齐次线性方程组有非零解充足必要条件和非齐次线性方程组有解充足必要条件，并简介用初等变换解线性方程组办法初等变换秩 初等 方阵关键概念主要工具求解线性方程组第3页第3页引例一、消元法解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组过程第4页第4页 2 3 2 2 + 53(i) 互换方程顺序 (ii) 以数k (0)乘某个方程 一个方程加上另一个方程 k 倍均可逆2同 解同解变换阶梯形 0 = 0自由未知量第5页第5页小结：1上述解

2、方程组办法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换（1）互换方程顺序；（2）以不等于数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程k倍（与互相替换）（以替换）（以替换）3上述三种变换都是可逆也就是说第6页第6页由于三种变换都是可逆，因此变换前方程组与变换后方程组是同解故这三种变换是同解变换 由于在上述变换过程中，仅仅只对方程组系数和常数进行运算，未知量并未参与运算因此对方程组变换完全能够转换为对方程组系数矩阵 (方程组（1）增广矩阵B ）变换即：第7页第7页若记 2 3 22 2 + 53(行)梯形阵jiiijk抽象到了矩阵！第8页第8页定义下面三种变换称为矩阵初等行变换:二

3、、矩阵初等变换1、初等行变换和初等变换第9页第9页定义 矩阵初等列变换与初等行变换统称为初等变换 初等变换逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同 同理可定义矩阵初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)逆变换逆变换逆变换利用初等变换能够将任一矩阵化为梯形阵唯一 ? 不 ! 作用第10页第10页等价关系性质：含有上述三条性质关系称为等价比如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价2、矩阵等价第11页第11页用矩阵初等行变换 解方程组（1）：第12页第12页第13页第13页那么等价最后形状是什么呢？第14页第14页特点：（1）、可划出一条阶梯线，线下方全为零；（2）、每个台阶 只 有一行，台阶

4、数即是非零行行数，阶梯线竖线后面第一个元素为非零元，即非零行第一个非零元3、矩阵行阶梯形、行最简形、原则形第15页第15页注意：行最简形矩阵是由方程组唯一拟定，行阶梯形矩阵行数也是由方程组唯一拟定 行最简形矩阵再通过初等列变换，可化成原则形.1 5其它元素都为零列，且这些非零元所在零行第一个非零元为即非还称为行最简形矩阵，行阶梯形矩阵B第16页第16页特点： 所有与矩阵 等价矩阵构成一个集合，称为一个等价类，原则形 是这个等价类中最简朴矩阵. 任一个矩阵都有原则形唯一！第17页第17页比如，第18页第18页三、小结1.初等行(列)变换初等变换逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同3.矩阵等价含有

5、性质2.初等变换结论 矩阵 A 与 B 等价 A与 B 有相同原则形第19页第19页 第二节 初等矩阵第20页第20页 等价三类行梯形阵 非零行 数 r 行最简形相应方程组？原则型 可逆唯一解同解方程组r 唯一自由未知量nr 个多出方程 经行变换均可化为梯形阵最简形？与解无关复习初等变换第21页第21页定义 由单位矩阵 通过一次初等变换得到方阵称为初等矩阵.三种初等变换相应着三种初等方阵. 矩阵初等变换是矩阵一个基本运算，应用广泛.一、初等矩阵概念第22页第22页这个初等矩阵有什么作用呢？我们看一个实际例子。第23页第23页单位阵互换1、2两行设看有什么改变？第24页第24页作用！作用！第25

6、页第25页第26页第26页第27页第27页第28页第28页第29页第29页 定理1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相称于在 左边乘以相应 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相称于在 右边乘以相应 阶初等矩阵.二、初等矩阵应用初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵可知初等逆矩阵也是初等矩阵！即：第30页第30页第31页第31页 定理2 设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵证即第32页第32页利用初等变换求逆阵办法：第33页第33页 解例第34页第34页第35页第35页能够验证?例2 求矩阵原则形并用初等矩阵表示初等变换。A 可逆第36页第36页逆阵应用求解矩阵方程即 将 A 变成 E

7、 初等变换就是将 B 变为 X 初等变换第37页第37页三、小结1. 单位矩阵 初等矩阵.一次初等变换2. 利用初等变换求逆阵环节是:逆阵求法用伴随阵求用定义求用初等变换求第38页第38页第三节 矩阵秩第39页第39页一、矩阵秩概念(矩阵秩)第40页第40页秩是矩阵一个主要数字特性显然: R (O)=0; r . r .只要A不是零阵, 就有 R(A)0. 并且:第41页第41页例1解例 2解第42页第42页例3解计算A3阶子式，第43页第43页另解显然，非零行行数为2，此办法简朴！第44页第44页问题：通过行变换矩阵秩变吗？证二、矩阵秩求法我们只要看三种行初等变换下矩阵秩变吗？., 梯形等行

8、变换把他变为行阶总可通过有限次初由于对于任何矩阵nmA()(). ,1 BRARBA=则若定理第45页第45页第46页第46页第47页第47页 经一次初等行变换矩阵秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵秩仍不变证毕第48页第48页初等变换求矩阵秩办法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行行数就是矩阵秩.例4解第49页第49页由阶梯形矩阵有三个非零行可知第50页第50页例5解分析：第51页第51页第52页第52页第53页第53页解例6设第54页第54页定义3 若方阵A秩与其阶数相等，满秩非奇异 降秩奇异 A为满秩阵 A原则形为同阶单位阵 .即满秩阵行列式？ 则称A为满秩矩阵

9、； 不然称 A 为降秩矩阵.三、满秩矩阵关于秩一些性质总结，同窗们请看书本P70。.第55页第55页三、小结(2)初等变换法1. 矩阵秩概念2. 求矩阵秩办法(1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行行数就是矩阵秩).(即寻找矩阵中非零子式最高阶数);第56页第56页第四节 线性方程组解第57页第57页一、线性方程组有解鉴定条件问题：证必要性.(),nDnAnAR阶非零子式中应有一个则在设=(),依据克拉默定理个方程只有零解所相应nDn从而第58页第58页这与原方程组有非零解相矛盾，().nAR即充足性.(),nrAR=设.个自由未知量从而知其有rn-任取一个自

10、由未知量为，其余自由未知量为，即可得方程组一个非零解 .第59页第59页证必要性,有解设方程组bAx=()(),BRAR设则B行阶梯形矩阵中最后一个非零行相应矛盾方程，这与方程组有解相矛盾.()().BRAR=因此第60页第60页并令 个自由未知量全取0，rn-即可得方程组一个解充足性.()(),BRAR=设()()(),nrrBRAR=设证毕其余 个作为自由未知量, 把这 行第一个非零元所相应未知量作为非自由未知量,第61页第61页小结有唯一解bAx=()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解.bAx=齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；第62页第62页例1 求解齐次线性方程组解二、线性方程组解法第63页第63页即得与原方程组同解方程组第64页第64页由此即得第65页第65页例 求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解第66页第66页例 求解非齐次方程组通解解 对增广矩阵B进行初等变换第67页第67页故方程组有解，且有因此方程组通解为第68页第68页例 解证对增广矩阵B