备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业五十七　双曲线的定义、标准方程及其几何性质

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。五十七双曲线的定义、标准方程及其几何性质(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)(2024·青岛模拟)若点M在双曲线x216-y24=1上,双曲线的焦点为F1,F2,且|MF1|=3|MF2|,则|MFA.2 B.4 C.8 D.12【解析】选B.双曲线中a2=16,得a=4,则2a=8,由双曲线的定义可得|MF1|-|MF2|=2a=8,因为|MF1|=3|MF2|,所以3|MF2|-|MF2|=8,解得|MF2|=4.2.(5分)已知双曲线C:x2a2-yA.2 B.3 C.2 D.5【解析】选D.易知双曲线的渐近线方程为y=±bax由渐近线经过点(1,2),可得ba故离心率为e=ca=c2a2=【加练备选】(2024·宁波模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F1,F2分别为左、右焦点,点P在双曲线上,PF1⊥PF2,P到左焦点F1的距离是PA.2 B.102 C.2 D.【解析】选B.设双曲线C的半焦距为c>0,由题意可知:|PF1|=3|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a,可得|PF1|=3|PF2|=3a,因为PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2所以双曲线的离心率是e=ca=c2a3.(5分)(2024·门头沟模拟)双曲线y2a2-x2b为()A.y=±2x B.y=±3xC.y=±33x D.y=±2【解析】选C.由已知可得ca=2,则c=2a,故b=c2-a所以,双曲线的渐近线方程为y=±abx=±34.(5分)“m>1”是“方程x2m-y2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为方程x2m-所以m(m-1)>0,解得m<0或m>1,因为由m>1可推出m<0或m>1,但是由m<0或m>1,不能推出m>1,所以“m>1”是“方程x2m-y5.(5分)(多选题)(2024·深圳模拟)若方程x23-t+y2A.若1<t<3,则C为椭圆B.若C为椭圆,且焦点在y轴上,则2<t<3C.曲线C可能是圆D.若C为双曲线,则t<1【解析】选BC.方程x23-tA.当1<t<3,取t=2时,方程为x2+y2=1,表示圆,A错误;B.若C为椭圆,且焦点在y轴上,则t-1>3-t>0,即2<t<3,所以B正确;C.t=2时,方程为x2+y2=1,表示圆,所以C正确;D.若C为双曲线,可得(3-t)(t-1)<0,解得t>3或t<1,所以D错误.6.(5分)(多选题)(2024·泉州模拟)已知F1,F2分别是双曲线C:x24-y2=1的左、右焦点,点M是该双曲线的一条渐近线上的一点,并且以线段F1F2为直径的圆经过点M,则(A.△MF1F2的面积为5B.点M的横坐标为2或-2C.C的渐近线方程为y=±14D.以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=3【解析】选AB.由双曲线方程知a=2,b=1,所以双曲线C的渐近线方程为y=±12x又c=a2+b2=5,所以以F1F2为直径的圆方程为x2由y=±12xx所以点M的横坐标为2或-2,故B正确;又|yM|=1,所以S△MF1F2=12·|F1F27.(5分)(2024·齐齐哈尔模拟)与椭圆x212+y23=1有公共焦点,且离心率为【解析】由椭圆方程x212+y23=1,可得焦点坐标分别为(3,0),(-3,0),设双曲线的半焦距为因为双曲线的离心率为32,则e=ca=3a故a=2,所以b=c2-a所以双曲线的标准方程为:x24-y答案:x24-8.(5分)(2024·长春模拟)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,【解析】右顶点为(a,0),一条渐近线方程为y=bax,即bx-ay由题意|ab|b即ac=12,所以e=c答案:29.(10分)(2024·昆明模拟)求适合下列条件的双曲线标准方程.(1)虚轴长为12,离心率为54【解析】(1)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1或y2a由题知2b=12,ca=54,c2=a2+b所以b=6,c=10,a=8,所以标准方程为x264-y236=1或y(2)顶点间距离为6,渐近线方程为y=±32x【解析】(2)当焦点在x轴上时,由ba=32且a=3,所以b=所以所求双曲线标准方程为x29-当焦点在y轴上时,由ab=32且a=3,所以b所以所求双曲线方程为y29-x所以标准方程为x29-y2814=1或(3)求与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线方程.【解析】(3)设与双曲线x22-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为x22-y2=k(k≠0),将点(2,-2)代入得k=222-(-2)2=-2,所以双曲线方程为:x22-【能力提升练】10.(5分)(2024·南昌模拟)已知圆C:x2+y2-6x+8=0,若双曲线y2-x2m2=1(m>0)的一条渐近线与圆C相切,则mA.18 B.24 C.22 D【解析】选C.C:x2+y2-6x+8=0变形为(x-3)2+y2=1,故圆心为(3,0),半径为1,y2-x2m2=1(m>0)的渐近线方程为y=±xm,不妨取y=xm,由点到直线距离公式可得3m【加练备选】(2024·成都模拟)已知F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且|F1F2|=2b2a,点P为双曲线右支上一点,I为△PF1F2内心,若S△A.52 B.12 C.5-12 【解题策略】作IA⊥F1F2,IB⊥PF2,IC⊥F1P,可得IA=IB=IC=r,可以将S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2,转换为PF1=PF2【解析】选C.如图所示:由题意知I为△PF1F2的内心,作IA⊥F1F2,IB⊥PF2,IC⊥F1P,△PF1F2内切圆半径为r,所以IA=IB=IC=r,又因为S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2,即12r·PF1=12r·PF2+λ·12r由双曲线定义可知PF1-PF2=2a=λ·(2c),因此有λ=ac又因为|F1F2|=2b2a,且|F1F2|=2c以及c2=a2+联立并化简得a2+ac-c2=0,即ac2+解得λ=ac=-1+52或λ=-1-11.(5分)过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线,垂足为A.若∠AFO=2∠A.52 B.233 C.2 D【解析】选B.在Rt△AFO中,因为∠AFO=2∠AOF,所以∠AOF=30°,则tan30°=ba=3所以e=ca=1+(ba)

12.(5分)(多选题)(2024·福州模拟)已知曲线C:x24+y2A.若m>2,则C是椭圆B.若-2<m<2,则C是双曲线C.当C是椭圆时,若|m|越大,则C越接近于圆D.当C是双曲线时,若|m|越小,则C的张口越大【解析】选BD.对于A,m=2满足m>2,代入曲线C中,得x24+y24=1,即x2对于B,当-2<m<2时,-4≤2m2-4<0,所以4(2m2-4)<0,故C是双曲线,故B正确;对于C,当|m|=3时,方程为x24+y22=1,为焦点在x轴上,长轴长为4,短轴长为22,焦距为22的椭圆,离心率为22,当|m|=6时,方程为x24+y28=1,为焦点在y轴上,长轴长为42,短轴长为4,焦距为4的椭圆,离心率为2对于D,当曲线C:x24+y22整理成x24-y24-2m2=1,则a=2,若|m|越小,则c=8-213.(5分)双曲线具有光学性质,从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,从F2发出的光线经过图中的A,B两点反射后,分别经过点C和D,且cos∠BAC=-513,ABA.173 B.375 C.102 【解析】选B.由题意知延长CA,DB,则必过点F1,如图:由双曲线的定义知|A又因为cos∠BAC=-513,所以cos∠F1AB=5因为AB·BD=0,所以AB⊥BD,设|AF1|=13m,m>0,则|AB|=5m,|BF1|=12m,因此|A从而由|AF2|+|BF2|=|AB|得13m-2a+12m-2a=5m,所以a=5m,则|BF1|=125a,|BF2|=25a,|F1F2|=2又因为|BF1|2+|BF2|2=即37a2=25c2,即e=37514.(5分)(2024·郴州模拟)已知双曲线x2m-y2n=1(m>0,n>0)和椭圆x24+y2【解析】x24+y23=1的焦点坐标为(±1,0),故m+故4m+1n=(4m+1n)(m+n)=4+4n当且仅当4nm=mn,即m=23,n=13时,等号成立,故答案:915.(10分)(2024·合肥模拟)已知双曲线C:x24-y(1)求与双曲线C有共同的渐近线,且实轴长为6的双曲线的标准方程;【解析】(1)由题可设所求双曲线的方程为x24-y23=λ(λ