专题22 函数的单调性与最值

1、第二专题 函数其性 函数单调性与最值【试求】1.借函图象会符号言达函的调性最值、小。 2.理函的单性最大、小值作和实意【识理】1.函的调性单函的定义增数减数定一地设函 f()的义为 I：果于定义域I 内某区 D 上任意两个自 变的 x ，1 2当 x f )，么 1 2 1 2就函 f)区间 D 上减数图描自向看图是升的自向看图是降的单区的定义如函 y()在间 D 上是增数减函，么就函 y()在一区间具(严的单调，区 间 D 叫函 ()的调间2.函的值前设数 ()的义为 I，果在实 M 满条结对任 xI，都有 f()； 存 I，使 f M0 M 最值对任意 ，有 f()M 存 x I使 fx

2、)0 M 为最值1a a 【点醒】1.(1)闭区上的连续数一存最大和小值当数在区上单时值一在点处 开间的单峰函数一存最大(或小)12.函 y()()0)在公定义内 y()，y 的调性相反f（）3.“对勾函”y 的增区间(， a)( ，)；调区间是 a，(0 (a0)x【误析】1.判下结论误在括号打或“(1)对函 f()xD，对意 ，x ， 有(x x )f ( )0，函 f)在间 D 是1 1 2 1 函. )1的调减区是(，).( (2)函 yx(3)对函 yf()， f(1)f(1)fm(1)f(m)0，以 所 f(mf(1). 全国卷函 fln(x2的单调递区间()，2)，【案 【析 由

3、 22x80得 或 x2.B.(1)D.(4，3设 t2， yln t 为函41 1 要函 f()的调增区，求函 t228 的单调增间数 tx 的调递区(4，数 f()的调增区间为4，).【点焦】考一 确定数单调区间【 】 (1)(2019 家质检)若数 log 23a在间2，上是函数则 的值范围为1( )2，2， ，4)B.(，4【案 【析 令 tx2ax，则 ，1a 2，易 tax3a 在 上调递，a，在 2 上单递增.y (2ax)在间(，)上减数，1tx 3a 在(2，上增数，且在，) 0 a ，且 42a0，4.21判并明函数 f()2 (其 1a0，2 41 2 1 1 1 21x

4、 x1 21 45a ( x )2 1a ( x )2 1又为 1a所 2(x x )0，即 fx )(x ，2 2 1故 ，3)时f()在，2上调增【律法】求函数的调区，先求义，在义内求调间，例 单区不能 用合不等表，且象连续单区间和，连接2.(1)函数调性的判方法：定义；图象；利用知数的调；数(2)函 yfg)的调性根据外层数 ft)和内层函数 t(的单调判断，遵“增减的则【练 1】 一题解)试论数 f() 【案见解【析法一 设x 1，1 2(在(，1)上单调. f()a x 111 a 1 ，1 1 1f1(2)a 1 a 21 ，于 0，x ， 10， fx fx )函 f在1，上单调

5、减1 当 ，(x )f(x )01 即 f )(x )，数 ()在(1，1)单调增1 法 )(ax( (1)a(ax (2 (2当 a 时fx)0，数 f)在，1)上调递增. 考二 求函的值6【 2】 (1)已知数 ()log xa， ，2上最值与最小之和为 log 6， 的a a7minminminmin为()1214 (2)已函 fx)2 3x， x则 f(，()的小是.lg（21），x，【案 (1)C (2)0 23【析 (1)f)a 在1，上是调函， a所 f(1)f(2)log ，a则 a 1a a log 2，a a即(aa3)，又 a0，以 a(2)flg(3)2lg 10，f(

6、3)，2当 时，fx)x 3 ，当且当 2时取号，时 fx) 3 ，f(x ( )b B.)acbc【案 【析 由于函 f)的象左平 个位后得到图象于 y 轴称，故函 y()图象于 线 1 对，所 a1 5 2 f .当 x x 1 时f )fx )(x 恒立等价函 fx)在，)上调递，以 bc 2 1 2 2 角 2 求解数等式【 2】 全国)设数 fx)2x0， 1，x则足 ff的 x 的取范围()9 或 1 2 或 1 2 ，1 B.(0，C.(，【案 【析 当 x ，数 f()2 是函数则 f()f(0)1.作 ()的致象如图所，结合图知，要使(1)(2，当且仅当解 x1 x0，即 x

7、，20， 2， 20，角 3 求参的或取范（2）x，x1，3解 2（2a）1，3，2故数 的值范围是 .【律法】1.利单性求数取值范)的路：据其调性直接建参数满的方(组)不等式组或先得 到图的升，结合象对于分函，要意接点取.2.(1)比较数值的大，应自量转到一个调间内然利用数单调解102 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2)求函不等式，实质是函单调性的用，由条脱f”.1log【练 3】 (1)(2017 天卷)已奇数 fx在 R 上增函，若 af 则 a，b，c 的大关( )，(log ，cf0.8 ， cba(2)若数 fx)x2 与 ()baclog 4.1220.8，且 () R

8、上增函，以 bc.a(2)因 f()22axx 在1，上为函数，所由其图象 a，g() ，g)a （x1）2，要 (在，2上减函， gx)0 在，上成立，故，此 a，上可知 0a1.【思感悟1.利定证明判函数调的步：(1)取；(2)作差；定号判断2.确函单调有种常方：定法导数、合函法图象，也可利单调函数和差确定 单性3.求数值的用法：调法、象、换法利用本等【错范】1.区两概念“数单区间和函数在某区上单，前指函数具单调性“最”的区， 者前“最大区的子集.11maxmax2.函在个不的间上调相同一要分写，”或和连，要用例，数 f)在区(1，上减数，(0 ，上减函数，在(1，(0，1)却不定减函，函

9、数 f() 1 .x【层练】【础固题】(议用： 分钟一选题11.函 f)x 在x12，3 上最值是()3283D.2【案 A【析 易 fx)在12，3 上减函数，()1 f2) .2 广州模拟下函 fx)中满 ， ，)且 x ，x )f( )f( )0的(1 2 1 2 1 2 ) f()2x 1fx) xf()f()ln(1)【案 C【析 由(x )(x )(x )0 且 f函数单调递增间(a)，1，1)1，1【案 C【析 令 ()2，题意 x，可得1，函的定域3x1.根据 f12 ，可 00， 2a，即2a210， a，即 1.a，ab，一题解)(2019 天河区模对任实数 a，b，义 m

10、ina， g() ，函 hx)f()，gx)的最大值是.【案 1【析 法 在一标中，函 ()，(x)图，bab设数 fx)，142 2 1 1 x 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 x 2 2 1 2 1 2 1 1 2 依意()的象图示的线.易点 A，1)为象的高， 因 h)的大为 1.法 依意(log xx， x，x2.当 时，() x 是函，当 时h()3x 是函，因 h)在 时得大值 h 三解题9.已函 f)1 ，0). a (1)求：()在(，)上增函数；1 ，2 ，(2)若 fx)在 2 上的值域是 2 【案见解， a 的值.【析(1)明 设 x 0， 0，x x

11、 02 1 2 1 1 1 1 1 f )( ) a x ，f )fx )()在(，上增函x x 1 1(2)解 () 在 ，21，2 上值是 2 ，1，2又(1) f()在 上是调增数1f 21 2 ，f(2)，得 a 2 10.函 fx)log (1xlog (x3)(0aa a(1)求程 ()0 的.15(2)若数 ()的小为1， a 的值16. . 解 由1x，得3 ，fx)的义为3，则 fx)log (x3)，x(3，1)， a令 fx)0，23，解 x 或 1 ， 检，满足方成立.故f()的 解 为 3. (2)由(1)得 fx 4，x(，1)，a由 0(1)0；x当 a0 时g(

12、)x 在间(，上为函数，此，x g(1)；a a当 0，x x2此 g) g1a；综，()在间，上调递243，x13. 知 f().x2，xf(2x在，上恒成立，实数 的值范围是【案 (，2)【析 二次数 243 的称轴是 x，以函数，0上调递减，2433，1同可函数 y 23 在(，上单递减，所23ax)得 xaax，即 在a，a上成，所以 2(1)a，所以实数 的值围是，214.已函数 fx) 2x(1)求 f；探 f()的调，并证明的结；(2)(3)若 ()奇函，求满足 f(ax)f(2)的 的范 【案见解2【析(1)f(0) 1.201(2)fx)在 上单调增证明如：fx)的义为 ，任取 ， R 且 ，1 2192 则 f )(x )a 1 2x1 x212(2x12x)