高等代数-习题集

1、高等代数（上） 课程习题集 一、填空题 1 1.如x31整除f x ,就f1= ；A的秩2.假如方阵 A的行列式A0,就 A 的行向量组线性（）关；3.设 A 为 3 级方阵,A 为 A的相伴矩阵,且 *A1 3,就A *A1（）；4.如 A 为方阵,就 A 可逆的充要条件是（）；5.已知A12,B11,且AB3 CAB,就矩阵C（）；11216.每一列元素之和为零的n 阶行列式 D的值等于（）；6k17.设行列式7000,就 k（）94130408.行列式2152的元素a 43的代数余子式的值为（）47005322122k9.设矩阵A212,1,如 A与线性相关,就（）304110. 设 A

2、 为 3 阶矩阵,A1,就2A1=（）511.已知：1,2,s是 n 元齐次线性方程组Ax0的基础解系,就系数矩阵R A（）12. 多项式fx,gx互素的充要条件是（）13. 多项式fx没有重因式的充要条件是（）第 1 页 共 17 页14. 如排列 j 1 j 2 nj 的逆序数为 k ,就排列 j n j n 1 j 1 的逆序数为（）x 1 x 2 x 3 015. 当 a（）时,线性方程组 x 1 2 x 2 ax 3 0 有零解；2x 1 4 x 2 a x 3 016.设A为 n n 矩阵,线性方程组 AX B 对任何 B 都有解的充要（）17. 设 X A 0,已知 A 1, C

3、 1 存在,求 X 1 等于（）0 C18. 假如齐次线性方程组 AX 0 有非零解,就 A 的列向量组线性（）关19. p x 为不行约多项式,f x 为任意多项式,如 p x , f x 1,就（）20. 设 A 为 4 级方阵,A 3,就 2 A（）21. 设 1 , 2 , , m 是一组 n 维向量,假如 m. n,就这组向量线性（）关1 2 2 k22. 设矩阵 A 2 1 2,1,如 A 与 线性相关,就 k=（）；3 0 4 123. 每一列元素之和为零的 n 阶行列式 D的值等于（）24. 设 A 为 n 阶方阵,如 A 2- A -7 I = 0 ,求 A 3 I 1=（）

4、2 4 225. 假如 x 1 | Ax Bx 1,就 A（）, B（）；1 2 526. 如行列式 1 3 2 0,就 x（）；2 5 x27. 向量 线性无关的充要条件是（）1 2 1 128. 已知 A,B,且 AB 3 C A B ,就矩阵 C（）；1 1 2 13 0 4 02 1 5 229. 行列式 的元素 a 43 的代数余子式的值为（）4 7 0 05 3 2 2第 2 页 共 17 页30. 当 a时,线性方程组x 1x 2x 300有非零解x 12 x 2ax 3x 14 x 22 a x 30二、运算题31.已知fxx43x36x2axb,gx x21.,a,b为何值时

5、,gx能整除1fx；axa32.运算以下 n 级行列式：axa3,已知2,3是它的三个解向量且xaa33. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1213,2324354求该方程组的通解；34. 求矩阵 A 的逆矩阵：A12300,求向量组的秩和一个最大无关组,并用最3400004312001211,35. 设向量组11,31226240大无关组将其余量线性表示；36. 证明多项式fx x4kx33x27x10在有理数域上不行约；AA可逆,并求IA137. 设 A 为 n 阶方阵,如= 0 ,证明 I第 3 页 共 17 页1nnA1n,求矩阵 Xn2nn38. 运算 n 阶行列式 D=nn3

6、nnnnn130039. 设矩阵 A=2500,求00722X00103A30140. 设A110,且满意AX014x 2x 3441. 当为何值时方程组x 1x 1x 2x 32x 1x 22x 34无解,有唯独解,有无穷多解；42. 设向量组 ：12,21, 31,40011210011101求向量组的秩和一个最大无关组,并用最大无关组将其余向量线性表示；43. 运算行列式a2a1 2a2 2 a3 2b2b12b2 2 b3 2c2c12c2 2c3 2d2d1 2d2 2d3 244. 求以下齐次线性方程组的一个基础解系：2x 14x 25x 333x 44003 x16x24x 32

7、x404x 18x 217x11 x第 4 页 共 17 页0 3 345. 设 A 1 1 0 且 AB A B ,求 B ；1 2 346. 求以下多项式的有理根：x 3 6 x 2 15 x 1447. 当 为何值时,线性方程组x 1 x 2 2 x 3 1x 1 x 2 x 3 25 x 1 5 x 2 4 x 3 1无解,有唯独解或有无穷多解；48.运算n阶行列式D nxy0L000 xyL00MMMLMM000 xyy00L0 x49. 求矩阵 A 的逆矩阵：14001求 ABA2300004300121350. 已知A2140,B012 1,13113421,2,3是它的三个解向

8、量且4012205b的通解51. 设A1342, b6, 求Ax110243,已知52. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为第 5 页 共 17 页12,231324354求该方程组的通解；n111k A （k 是正整数）；1n1153. 运算 n 阶行列式 D=11n1111n54. 已知P11, 10,且P1AP,求 A 及23020101155. 设 X=AX+B,其中 A=111,B=20,求 X；1015356. 求以下齐次线性方程组的基础解系, 并写出其通解 : x 12x 2x3x403x 16x 2x 33 x 405x 110 x2x 35x 40132257.设向量组1

9、0, 22,31,43,2015求矩阵的列向量组的秩和一个最大无关组,并用最大无关组将其余的列向量线性表示；三、证明题 1 （略） 答案 第 6 页 共 17 页一、填空题 1 1. 0 0 0 02.相3.8 94.A5.1 06. 0 7. 4 8. 42 1 9. 1 110.40u x f x v x g x 111.ns12. 存在多项式u x , v x 使得13.f x ,f 114.1n n1 k215.a1 216. 秩（ A）= 秩（ A,B）17.XA1010C18. 相19.p x |f x 4820.第 7 页 共 17 页21. 相22. -123. 024.A2I

10、B225.A1 ,26. 3 27.a028.100029.4230.1 2二、运算题31. 法一 g x 除 f x 的余式为 r x a 3 x b 7 （5 分）；g x 整除 f x 的条件是 r x 0,即 a 3 , b 7（5 分）；（法二）g x 的根为 1,故 g x 整除 f x 的条件是 f 1 0, f 1 0,（6 分）即a b 4 0, a b 10 0解得 a 3, b 7；（ 4 分）x a L a 1 a L a 1 a L aa x L a 1 x L a 0 x a L 032. x n 1 x n 1 M M O M M M O M M M O Ma a

11、 L x 1 a L x 0 0 L x an 1 x n 1 x a （10 分）33. 此 方 程 组 的 导 出 组 的 基 础 解 系 含 有 4 3 1 个 解 向 量 （ 2 分 ）, 而第 8 页 共 17 页321234是导出组的一个非零解,故就是此方程组的一个基础解系（656分）；所以,方程组的通解为 k 1（ k 为任意常数） （2 分）1 2 4 3 B O34. 解：设 B,C,就 A-2 分 3 4 1 2 O C1 2 1 2 3A 1 B O1-2 分 又 B 13 1,C 1 5 5-4 分 O C 1 42 25 52 1 0 03 10 02 2故 A 10

12、 0 2 3-2 分 5 51 40 05 51 1 1 1 1 11 3 1 0 1 135. 解：1 , 2 , 3-（4 分）2 2 6 0 0 02 4 0 0 0 0故 R 1 , 2 , 3 2- （2 分）1 , 2 是一个极大无关组,且 3 2 1 2（4 分）4 3 236. g x f x 1 x 1 x 1 3 x 1 7 x 1 104 3 2x 3 x 6 x 6（3 分）取素数 p 3,由 Eisenstein 判别法可知 g x 在有理数域上不行约,从而 f x 在有理数域上也不行约； （2 分）第 9 页 共 17 页37. 证明：Ik AIA IAA2LAk1

13、-（3 分）又A =0,故有 kIIAIAA2LAk1；所以 IA可逆,IA1IAA 2LAk1- （2分）38.1n00L 00n020L 00D ir irn10003nL 00- 5 分 L1, ,nLLLL000L10nnnLnnn10L 000 n 2 0 L 0 0ir 1n 1 0 0 n 3 L 0 0 i 1, L , n 1 1L L L L L-3 分0 0 0 L 1 0n n n L n n 1 n n .- 2 分 1 3 0 02 5 0 0 A 1 039. 设 A= =- 2 分 0 0 7 2 0 A 20 0 10 31 3 1 5 3A 1,A 1- 3

14、 分 2 5 2 1A 2 7 2,A 2 1 3 2,- 3 分 10 3 10 7第 10 页 共 17 页53004A-1=A 1101=2100-2 分00320A 20010740.XA2E1A（ 3 分）211301221110（4 分）111014522432（3 分）22341. 对方程组的增广矩阵B 作初等行变换,使之成为行阶梯形1141 1B112 0 228.- 4 分当11 240 0144-2 分2-1 时,RA2RB3,原方程组无解；当1 且4 时,RARB3 , 原方程组有唯独解；- 2 分 当4 时,RARB23 , 原方程组有无穷多解- - 2 分42. 构造

15、矩阵故A,1,2,3,4321101101-3 分 0112011210010012R123411010000-（3 分）第 11 页 共 17 页1 , 2 , 3 是一个极大无关组,-（2 分）且 4 1 2 3-（2 分）43. 解： 将第 2,3,4 列都绽开 , 并统统减去第 1 列, 得a 2 2 a 1 4 a 4 6 a 92b 2 b 1 4 b 4 6 b 9D 2c 2 c 1 4 c 4 6 c 92d 2 d 1 4 d 4 6 d 9-（5 分）再将第 3 列减去 2 倍的第 2 列, 第 4 列减去 3 倍的第 2 列, 得a 2 2 a 1 2 62b 2 b

16、1 2 6D 2 0c 2 c 1 2 62d 2 d 1 2 6（5 分）1 2 0 22 4 5 3 744. 3 6 4 2 0 0 1 5（4 分）,方程组的解为74 8 17 11 0 0 0 0 x 1 2 x 2 2 x 4 , x 3 5 x 4（2 分）7 7基础解系为：1 , , , , 2 2, , 5, （4 分）7 745. .解：由 AB A B,得B A E A -3 分 2 3 3 0 3 3 1 0 0 0 3 3 A 2 E A 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 2 3-（5分）1 2 1 1 2 3 0 0 1 1 1 00 3 31故 B 1 2

17、3-2 分 1 1 046. f x 的有理根只能是 1 , 2 , 7 , 14；（5 分）用综合除法验证只有 2 是根；（5 分）第 12 页 共 17 页47. 对方程组的增广矩阵 B 作初等行变换,使之成为行阶梯1 2 1 1 1 2- 4 分 B 1 1 2 0 1 2 3当-4 时,5 5RA 42 1RB 0 03, 原方程组无解；5 4 9- 2 分54当 1 且-时, RA RB 3 , 原方程组有唯独解；- 2 分5当 1 时,RA RB 2 3,原方程组有无穷多解 .-2 分x y 0 L 0 0 x y L 0 0 y 0 L 0 00 x y L 0 048. .解：

18、D n M M M M M x M M M M 1 n 1y x y L 0 00 0 L x y M M M M0 0 0 L x y0 0 L 0 x 0 0 L x yy 0 0 L 0 xn n 1 nx 1 y （10 分）1 4 4 3 B O49. .解：设 B,C,就 A-2 分 2 3 1 2 O C1 3 4 2 3A 1 B O1-2 分 又 B 1 5 5,C 1 5 5-4 分 O C 2 1 1 45 5 5 53 4 0 05 52 10 0A 1 5 5-2 分 0 0 2 35 51 40 05 5第 13 页 共 17 页50. 解：（法一）AB214013

19、1012678（6 分）11341312056所以AB64022075（4 分）（法二）ABBA8610421620（10 分）1113130754312212128604051024351.Ab13426 01221-（3 分）1102400000原方程组同解于x 132x34 x4（x 3, x 4为自由未知量）- （2 分）x212x32 x4Ax0的基础解系：2, 2422；- （2 分）110013Axb特解：1-（1 分）0052.Axb通解：k11k22k1k2R - （2 分）此 方 程 组 的 导 出 组 的 基 础 解 系 含 有 431 个 解 向 量 （ 2分 ）, 而

20、321234是导出组的一个非零解,故就是此方程组的一个基础解系（656分）；所以,方程组的通解为第 14 页 共 17 页k1（ k 为任意常数） （2 分）53. 解：D ic 1c i111L1- 3 分2, , 1 n 1 L 12 n 1 1 1 n L 1- 2 分L L L L L1 1 1 L n1 1 1 L 1r r 1 0 n 1 0 L 02 10 0 n 1 L 0- 3 分 i ,2 , n L L L L L0 0 0 L n 12 n 1 n 1 . n 1- 2 分1 154. 由 P AP,A P P- 1 分 又 P 1 1,得 P 1 3 1- 2 分2 3 2