2023年全国初中数学竞赛试题及答案2

1、中国教育学会中学数学教学专业委员会2023年全国初中数学竞赛试题题 号一二三总 分156101112 1314得 分评卷人复查人答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答；2解答书写时不要超过装订线；3草稿纸不上交一、选择题共5小题，每题7分，共35分每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分1设非零实数，满足那么的值为 ABCD2关于的不等式组恰有个整数解，那么的取值范围是 ABCD3如图，在RtABC中，O是斜边AB的中点，CDAB，垂足为D，DEOC，垂足为E假设AD，DB，CD的长度都是有理数，那么线段

2、OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为 AODBOECDEDAC4如图，ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，DCFE是平行四边形，那么图中阴影局部的面积为 A3B4C6D85对于任意实数x，y，z，定义运算“*为：，且，那么的值为 ABCD二、填空题共5小题，每题7分，共35分6设，是的小数局部，是的小数局部，那么的值为7一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6掷这个正方体三次，那么其朝上的面的数和为3的倍数的概率是8正整数a，b，c满足，那么的最大值为9实数a，b，c，d满足：一元二次方程的两根为a，b，一元二次方程的两根为c

3、，d，那么所有满足条件的数组为10的值为三、解答题共4题，每题20分，共80分11如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OBOC3OA直线与轴交于点D求DBCCBE12设的外心、垂心分别为，假设共圆，对于所有的，求所有可能的度数13如图，设点D在ABC外接圆上，且为的中点，点X在上，E是的中点，过ABC的内心I作直线R平行于DE，分别与BC，AX交于点R，T，设直线DR与ET交于点S证明：点S在ABC的外接圆上14如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为4

4、15的魔术数求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数，满足对任意一个正整数m，在中都至少有一个为m的魔术数中国教育学会中学数学教学专业委员会2023年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1A解：由得，故于是，所以2C解：根据题设知不等式组有解，解得，由于不等式组恰有个整数解，这个整数解只能为，因此，解得3D解：因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OAOBOC是有理数于是，ODOAAD是有理数由RtDOERtCOD，知，都是有理数，而AC不一定是有理数4C解：因为DCFE是平行四边形，所以DE/CF，且EF/DC连接CE，因为DE/CF，即DE/BF，所以SDEB=SDEC，因此原来

5、阴影局部的面积等于ACE的面积连接AF，因为EF/CD，即EF/AC，所以SACE=SACF因为，所以SABC=4SACF故阴影局部的面积为65C解：设，那么，于是二、填空题62解：由于，故，所以7解：掷三次正方体，朝上的面的数和为3的倍数的是3，6，9，12，15，18，且3111，6114123222，9126135144225234333，1215624625533634544418666记掷三次正方体面朝上的数分别为，那么使为3的倍数的，中，3个数都不相等的有8组，恰有两个相等的有6组，3个数都相等的有6组故所求概率为8解：由，消去c，并整理得由a为正整数及6

6、6，可得1a3假设，那么，无正整数解；假设，那么，无正整数解；假设，那么，于是可解得，= 1 * romani假设，那么，从而可得；= 2 * romanii假设，那么，从而可得综上知的最大值为9，为任意实数解：由韦达定理得由上式，可知假设，那么，进而假设，那么，有为任意实数经检验，数组与为任意实数满足条件10解：设，那么上式对，2，99求和，得原式三、解答题11解：将分别代入，知，D(0，1)，C(0，)，所以B(3，0)，A(，0)直线过点B将点C(0，)的坐标代入，得5分抛物线的顶点为(1，)于是由勾股定理得BC，CE，BE因为BC2CE2BE2，所以，BCE为直角三角形，10分因此ta

7、n=又tanDBO=，那么DBO所以，20分12解：分三种情况讨论= 1 * romani假设为锐角三角形因为，所以由，可得，于是5分= 2 * romanii假设为钝角三角形当时，因为，所以由，可得，于是；当时，不妨假设，因为，所以由，可得，于是15分= 3 * romaniii假设为直角三角形当时，因为为边的中点，不可能共圆，所以不可能等于；当时，不妨假设，此时点B与H重合，于是总有共圆，因此可以是满足的所有角综上可得，所有可能取到的度数为所有锐角及20分13证明：如图，设DR与ABC的外接圆交于点，AX与交于点，连接由D为的中点知，A，I，D三点共线，且，所以， 即5分由E为的中点知，所以， 即由，知又因为，所以，那么有10分由为的内心，连接CI，由知由式 = 1 * GB3 ， = 5 * GB3 ，得，即由式 = 2 * GB3 ，得由式 = 6 * GB3 ， = 7 * GB3 得，15分于是又，故点与重合，即点在直线上从而，点与重合，即点S在的外接圆上20分14解：假设n6，取1，2，7，根据抽屉原理知，必有中的一个正整数M是7的公共的魔术数，即7|()，7|()那么有7|()