(压轴题)高中数学必修五第三章《不等式》检测(答案解析)

1、 x , yx x x , yx x 一、选题1设正数 m， ， v222 mn 则 的大值是（ ） AB13C122已知小为（ ）AB 7C3已知实数 满条件 x ，则 x y的最大值是（ ） A BC 4设实数 ， 满约束条件 x 则 的小值是（ ）A B C1 D5若正实数 b、满足 ab ac ， a 的最小值为（ ）A B C 226已知正项等比数列a9 a7，若存在两项 a 、 ， a a 2，则 16 n的最小值为（ ）ABC 7设 ， 满约束条件 ， z y的最小值为（ ）y A-1 B2 C D8若直线l：ax b 2 x y 0截得的弦长为4，则 1 b的最小值为（ ）AB

2、 C 2 9当 ， 满不等式组 y y 时，目标函数t 2 y最小值是（ ）x A-4 B-3 C Dx x , yx , ， x x x , yx , ， x 10于任意实数 a，若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）A 1 bB22C3a b a11数f ( a R )的图像在点 处的切线斜率的最小值是（ ） A B 3C D12 ，b，则下列不等式恒成立的是（ ）A b2Cc | |二、填题13 ， ，且 a b ，不等式 1 2 a 恒成立，则 的围为_.14关于 的等式 ax x 0 的解集为 _ 2 x 3 则 的是15知实数 x， 满 x x y ，则 x 的最大值为x 16知 ，

3、b 为实数，且 ab+2，则 的小值_已知 满足约束条件 x x y ，则目标函数 的最大值为_.y 18知实数 满不等式组 y x x y y，则 的值范围为_ xb2 a 19知 ， p 与 的小关系是a b20函数f ( x) 32mx 是 R 上增函数，则实数 取值范围是_.三、解题21知函数flog12g .2（）关于 的不等式 的解集为 时，求g ( x)x 的最小值；（）对任意x 2，不等式 f x ) ) 恒成立，求实数 a 的取x , x , yx x x , x , yx x 2 值范围22铁皮做一个体积为 5 3 ，为 的方体无盖铁，这个铁盒底面的长与宽 各为多少 cm

4、时，用料最省？231）知 求4x 的最大值；（）知 是正实数，且x ，求1 3x 的最小值（）实数 满足2 2 y ，求y 2 的取值范围24王于年初用 50 万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种用需支出 6 万，从第 二年起，每年都比上一年增加支出 2 万元，假定该车每年的运输收入均为 25 万小王在 该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第 x 年年底出 售，其销售价格(25万元国规定大货车的报废年限为 10 年(1)大车运输到第几年年底，该车运输累计入超过总支出？(2)在几年年底将大货车出售，能使小王获的年平均利润最大利累计收入销售 收入总支)25知函数f R

5、，且f，对任意实数 x ，f 成立. 的解析式；（）函数（） ，解关于 的等式f 3 2 .26新冠肺炎疫情影响，吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入 万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前 ( N )年的材料费、维修费、人工工资等共为（ nf ( n )设备前 n 年总盈利为万元.n）万元，每年的销售收入 5 万元设使用该（）出f ( n )关于 n 的数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（）用若干后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设 备以 10 万的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以 50 万元的价

6、格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理.【参考答案】*试卷处理标记，请不要除一选题1解析： m( ) 则 2n ( ) m( ) 则 2n ( ) 【分析】化简( v 2，再结合基本不等式，即可求.【详解】由题意，正数 m，u 2， v 2 2 mn ， 2 mn 1 ( ) v m 2 4 m 2 2 mn 4 mn m1 1 4 1 1 m m 4 4 m n 4 4 2 n n ， n 当且仅当 n 1时，即 时等号成所以 的最大值是为 . 3故选：.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件一正、二定、三相”：（）一”：就是各项必须为正数；（）二”：就是要求和的最小值，必

7、须把构成和的二项之积转化定值；要求积的最大 值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（）三等：用本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这 个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地.2B解析：【分析】由对数运算可得出，利用基本不等式可求得 的最小值【详解】因为，即log ，所以，且有 b ，由基本不等式可得，所以，a ，所以( 2) ，且 ， ，当且仅当 时等号成立因此， 的最小值为 7 .故选：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（）一二定三”一”就是各项必须为正数；（）二”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成值；要求积的

8、最大 值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（）三等是用本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这 个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地.3C解析：【分析】画出满足条件的目标区域，将目标函数化为斜截式y ，由直线方程可知，要使最大，则直线y 的截距要最大，结合可行域可知当直线y 过点 A 时距最大，因此，解出 A 点标，代入目标函数，即可得到最大值. 【详解】画出满足约束条件 x x y 的目标区域，如图所: x y 由 x y,得y ，要使 最，则直线y 的截距要最大，由图可知当线y 过点 A 时距最大， 联立 ,解 A(1,2) ，所以 x y的最大值为： ，

9、故选：【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤“一、二移、三：（）出可行（一定要注意是实线还是虚线）；（）到目标数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或 最后通过的顶点就是最优解）；（）最优解标代入目标函数求出最.4C解析：【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求 【详解】 作出约束条件 x y 所表示的平面区域如图所示：移动直线x y ，可知当其过点 A 时得最小值， 解方程组 x ，求得 ， y y A(1,0)，代入求得 ，所以 的小值是1，故选：【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （）据题中给

10、的约束条件画出可行域；（）据目标数的意义找到最优解；（）方程组得最优解的坐标；（）入求得小值，得到结.5D解析：【解析】分析：根据基本不等式的性质求出 2a+b+c 的最小值即可详解：由题得：因为 a+ac+ab+bc=2， （）a+c=2，又 ab， 均正实数， （）（）( a )( )=2 ，当且仅当 a+b=a+c 时，即 b=c 取号故选 D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题 6Am nm n解析：【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据 16可求出的最小值 na a m n 2可得出 m ，利用基本不等式即【详解】正项等比数列中，9 2 7，所以 q

11、 .因为a a n q m n 1 1 12，所以 m .因为1 16 16 16m n 16m ( m )( ) ( 17) ( m m n 5 m n 5 ，当且仅当 ，即 4 m n时取等号，因为 、 *，以 m ， 4 ，所以 16 n的最小值为 5.故选：【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础7B解析：【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优 解的坐标代入目标函数得答案【详解】 y 解：由约束条件 作出可行域如图，y 化目标函数z y为y ，由图可知，当直线y 过点 A ，直线在 y 轴的截距最小， z

12、 有小值 y 联立 1 3 ，解得 A( ， ) 2 1 的最小值为 2 2故选： 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题 8B解析：【分析】求出圆的圆心与半径，可得圆心在直线 0)上，推出 ，利用基本不等式转化求解 【详解】 取最小值解：圆x 2 y ，即 x 2 ，表示以M (1,2)为圆心，以 2 为半径的圆，由题意可得圆心在直线 b 上，故 b ，即 b， 2 a b 2 2 2 a 2 a 2b，当且仅当2 ，即 a b 2b时，等号成立，故选：【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力， 属于中档题9B解析：

13、【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得 y在点( 处取得最小值tmin ，本题选择 B 选.点睛：求线性目标函数 byab0)的最值，当 b 时直线过可行域且在 y 轴上截 距最大时， 值大，在 y 轴距最小时， 值最小；当 b 时直线过可行域且在 y 轴 上截距最大时， 值最小，在 y 轴截距最小时z 值大.10解析：【解析】根据题意，依次分析选项：对于 A，a ，b 时， ，故 A 错；对于 B，当 ， ， a 2 ，故 B 错误；对于 ，不等式的性质可得 正；对于， ， 时， b a，故 D 错；故选 C.11解析：【分析】先求导数根导数几何意义得切线斜再

14、据基本不等式求最值. 【详解】f 1 k ,当且仅当 b时取等号，因此切线斜率的最小值是 2， D.【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转. 在利用基本不等式求最值时，要特别注“拆拼、凑等巧使其满足基本不等式中 “正(即件要求中字母为正)、定(不式的另一边必须为定、等等号取得的条 的条件才能应用，否则会出现错.12解析：【分析】首先利用特值法排除 A、 两，利用不等式的性质可确 C 项是正确的，再举出反例判 断 D 项错误的，从而得到答.【详解】当 a， 时满足 a，但1 1a b，2b2排除 A、；因为 0，b c 2 c 2 2 ，故 是确的；

15、当 时，a| b| 不成立，排除 D，故选：【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小， 利用特值法排除不正确的选项，坚持做到小题小做的思想，属于简单题.二、填题13【分析】由可得然后利用基本不等式可求出而不等式恒成立等价于小于等 于最小值从而可求出的范围【详解】解：因为所以当且仅当即时取等号因为不 等式恒成立所以小于等于最小值所以故答案为：【点睛】易错点睛：利用基解析 m 2 【分析】由 a b 可得 1 1 1 a a b b a ，然后利用基本不等式可求出 1 1 1 ，不等式 b 2 恒成立，等价于 m 小于等于 1b a 最小值，从而可求出

16、m 的围【详解】解：因为 a ，所以 1 1 1 1 b 2 a b b a a b 3 1 2 a 2 ，当且仅当 bb a ，即 a 时，取等号，因为不等式 1 2 恒成立，所以 小等于 1 a 最小值，所以 ，故答案为：m 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（）一二定三”一”就是各项必须为正数；（）二”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成值；要求积的最大 值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（）三等是用本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这 个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方14【解析】由题意知 2

17、和 3 是方程的两个根即答案为 7点睛】本题考查 一元二次不等式的解法与应用问题解题的关键是根据一元二次不等式与对应方 程之间的关系求出的值解析 7【解析】由题意知a0且 2 和 3 是程 ax 0 的个根，3 ，b3 b , .即答案为 7.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，解题的关键是根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，求出a的值15 【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形顶点是(01)() （）目 标函数可得到当目标函数过点 A(01)有最大值-2 故得到答案为：-2 点睛：利用线 性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内解析：【详解】根据题意得到如图可行域是

18、封闭的三角形，顶点是0,1) (1 3,2 )（，） 目标函数 x y，y x , 可得到当目标函数过点 ，有最大值，故得到答案为：-2.点睛：利用线性规划求最值的步骤在平面直角坐标系内作出可行域考目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ 型）、斜率型（y x 型）和距离型（ 型）确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 16【分析】利用基本不等式转化为再利用换元法设转化为关于的一元二次不 等式求的最小值【详解】当时等号成立设解得：或即的最小值为故答案为： 【点睛】本题考查基本不等式一元二次不等式重点考查转化

19、与变形计算能力属 解析： 10 【分析】利用基本不等式转化为 4 再利用换元法设 ab 0 ，化为关 的一元二次不等式，求 的小值.【详解】ta b ， 4 ab 当 4 ab ab ，4 时等号成立，设 ab 0 ， t ，tt 0 ，得： 6 或 t ， t ， t ，即 ab 2 6 6，, 2, 2ab的最小值为 故答案为：10 【点睛】本题考查基本不等式，一元二次不等式，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题. 17【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详 解】如图所示：画出可行域和目标函数则则表示直线在轴的截距的相反数根据 图像知当直线过点时即时有最大值为故

20、答案为：【点睛】本题考查了线性规划 解析 2【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数， ，则 y x ，则表示直线在 轴截距的相反数，根据图像知当直线过点 x ， 时有最大值为 .故答案为： 2 .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关.18【分析】作出可行域表示与00）连线的斜率合图形求出斜率的最小值 最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示 与（00）连线的斜率因为所以故【点睛本题主要考查了简单的线性规解析： 【分析】作出可行域，yx表示 与（，）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即

21、可求解 【详解】 如图，不等式组 y x x 表示的平面区域（包括边界），所以 表 与（，）线的斜率，因为A ，所以k，故 , .【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档 题19【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小【详解】因为与所以 时取等号所以故答案为：【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较作差法的 应用是求解问题的关键解析：p q【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小 【详解】因为 ， b ， b a 2 与 ，a 所以 b b2 (b2 )(b (b ) 2 (b a b ab 0 取等号，所以 p 故答案为： p 【点睛】

22、本题主要考查了不等式大小的比较，作差法的应用是求解问题的关键20【分析】由题意知在上恒成立从而结合一元二次不等式恒成立问题可列出 关于的不等式进而可求其取值范围【详解】解：由题意知知在上恒成立则只需 解得故答案为:【点睛】本题考查了不等式恒成立问题考查了运用导数探究解析： , 【分析】 由题意知f 3 x 在 R 上恒成立，从而结合元二次不等式恒成立问题，可列出关于 的等式，而可求其取值范. 【详解】解：由题意知，知f 3 x2 x m 在 R 上成立，则只需 ，解得m .故答案: .【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了运用导数探究函数的单调一地，由增函数可得 导数不小于零，由减函数可得

23、导数不大于.于一元二次不等式在 R 上成立问，如若 在 R 上恒成立，可得 ； 在 R 上a .恒成立，可得 三、解题211） 2 2）112 【分析】（）据二次等式的解集得 a ，根据基本不等式求解即可；（）据题意问题转化为 xax F ，（ ），分类讨论即可求.【详解】（）关于 的不等式g ) 的解集为 g x 2 2 又 ， x 2 ，取“ ”时 x 即g g 2 的最小值为 2 ，“ ”时 x （）x 时， x2 ，f 根题意得：ax 记F ，（ ）当 时，F minF 由 a a ， 2当 时， min aF 4由 a 24 7 2 7， 7当 时，F minF 由 ， 综上所述，的

24、取值范围是112 7【点睛】本题的第二问中关键是采用动轴定区间的方法进行求解，即讨论对称轴在定区间的左右两 侧以及对称轴在定区间上的变化情况，从而确定该函数的最.22盒底面的长与宽均为 5cm时，用料最.【分析】法一：因为体积为 5 3 高 ，所以底面积是定值 25设长为 ，宽为 列出表面积结合基本不等式即可；法二：列出表面积后，利用求导函数的方法求最.【详解】25x，解法 ：铁盒底面的长为 ，宽为25x，则.表面积S 25 x 25 100 x 25 . 4 x 25 65 .当且仅当 25，即 时，表面积有最小值 65.所以这个铁盒底面的长与宽均为 答：这个铁盒底面的长与宽均为cmcm时，

25、用料最省. 时，用料最省.解法 ：铁盒底面的长为 ，宽为25x，表面积为ycm，则. x , x , 25 x xy100 x 100 x 2.令 y4 x 2 100 x得， .当x ，函数 y4x2x为减函数；当x ，函数 y4x2 x为增函数；所以当 时， 有小值 65.答：这个铁盒底面的长与宽均为cm时，用料最省.231） （2 ；（）.【分析】（）于 x x ，再根据基本不等式求解即可；（）据题意，再利用基本不等式1的用法求解即可；（）y2 2代入y2 ，再配方求解即可得答案【详解】解：（）为 x ，以 ， 3 ，所以 43 ，当且仅当 x 2 ， 时号立，所以4x 的最大值为 （）

26、于 是正实数，且x ，所以 3 1 3 x x y 4 y x y x y ，当且仅当y 3xx ，即y 3x 3 时等号成.x y2 x y2 故1 3x 的最小值为 .（）于实数 满2 22，故y2 x2 x 2所以y x x x ，当 时，y 2 x 取得最小值为 故y2 的取值范围为.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，注意自变量的取值范围，考查化归转化思想，运算能 力，是中档.24(2)5.【解析】试题分析：（）出第 年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于 0，可得到结论； （）用利润累计收销售收入总出，可得平均利润，利用本不等式，可得结 论试题（）大货车输到第 年底，该车运输累计收入与总支出的差为 万， 则由,可得，故从第 3 年该运输累计收入超过