(压轴题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(有答案解析)

1、 一、选题1在ABC中，内角 A B 所对的边分别是 bc，已知 ， B 3sin C ， ABC 的积为 A B ，则 a ）C D2一艘客船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 在它的北偏东 30 ，之后它以每小时 3海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午0: 里，则灯塔 S在 处（ ）A北偏东 C偏南 到达 B 处，此时测得船与灯塔 SB偏东 75 或东偏南 上方位都不对相距 海3 中角 B 所对的边分别为 b c若 a 3, A ，则边c （ ）A B C D4在锐角ABC中，内角 A ， 所对的边分别为 a ， ， a 12c2，则 A 取值范围是（ ） A C 2, 5若ABC的内角

2、 A， 的对边分别为 ，b，c， b，c eq oac(,，) 的面积 SACcos A则 a（ ）B6在三棱锥A BCD中，已知所有棱长均为 ， 是 的中点，则异面直线与BD 所角的余弦值为（ ）AB16C13337如图所示，隔河可以看到对岸两目 A，但不能到达，现在岸边取相距 4km 的 ， 两点，测得 ， 45 ， 45(A， 在一平面 内则两目标 A， 间距离为 )km.A8 3B C 8设 ， b ， 分别为 ABC 内角 A ， B ， C 对边已知 C ， C 5c sin A，则c（ ）AB C 3 349在中，角 A ， ，所对的边分别为 a ， c ， sin cos co

3、s B ，的形状是（ ）A锐角三角形 C角三角形B角三角形 确定10ABC中，角 A ， B 所对的边分别为 ， b ， c ，BC 边上的高为 ，则c bb c的最大值是（ ）AB C 3 11 中， 60AC ， ，则 ABC 的面积为A 4 B 4C 2 12图，测量河对岸的塔 AB ，选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D现得 45， 30 m ，在点 C 测得塔顶 的仰角为 30 ，则塔高 AB ( )A 2mB 20 Cmm二、填空13图，点 是半径为 1 的半圆 O 的径延长线上的一点， OA 3 ， 为半圆上任意一点，以 AB 为边作等边 ，则四边形 OACB 的面

4、积的最大值_.14船正离开岛 A 沿偏西的方向以每小时 海的速度航行，乙船在岛 处南偏西 的 B 处，且 AB 的离为 海，若乙船要用 2 小时追上甲船，则乙船速度大小为每小时_海里.15知 的角 A， 的边别为 a，若 2 a ，且ABC的面积为 4 则 3a22的最小值为16 中角 A， 的边分别为 a，满足 a ， ， A 30 的三角形解的个数是_.在 中 AB ， ，则 AB 的值范围_.18平面四边形 ABCD 中， A B 0 （，），则 cos 的为_），已知 AB 的取值范围是19中， ，且最大边与最小边是方程 3 x x 0 的个实根，则的外接圆半径 外_.20三角形 中D

5、 为 BC 边上一点，且BD CD， ，tan 三、解题 的最大值为21ABC中，已知角 A ， ，C的对边分别为 a ， ， c ，b ，3 cos （）角 B 的小；（） BAC 的分线 AD 交 BC 于 D eq oac(,，) eq oac(, ) 的积为 3 ，求线段 BD 长度22 ABC 中角A C所对的边分别是 b c，且 B （）角 B （） 是BC的中点， AD 4 3 ， AB ，求ABC的面积23知 b c是 ABC 的内角A C的对边，且5cos C cos2 （）角 A 的小；.（） ABC 的积 S 32 c ，求 sin sin 的值24知半圆 O 的直径 为

6、 ， A 为径延长线上一点，且 O . 为半圆周上任意一点，以 AB 为边，作等边 ，角 等于何值时，四边形 OACB 的面积最大最 大面积为多?25ABC中，A, B 的对边分别为 b c且 cos B cos C cos A .（） B 的；（）2sinA cos( 的范围26ABC 中，a、c 分别是 A、 、 C 的边长，已知 2 ac ， a22=acbc A 的小及 c的值【参考答案】*试卷处理标记，请不要除一选题1C解析：【分析】首先利用正弦定理表示为2b ，再结合余弦定理求 和 sin ，利用ABC bc A 求 的.【详解】 3sin C，由正弦定理可知2 ， 1 a ，可得

7、 a, b ， A b2 2 2 2bc 4， A 1 ，ABC 3 1 A a 4 4 ，解得： .故选：2B解析：【分析】根据题意作出示意图，利用正弦定理求出 ，求得 ，即可得解 【详解】如下图所示：客船半小时的行程为 32 （海里），因为 海里）， BAS 30 ，由正弦定理可得 2 16 ，所以， 16sin 2 2，ASB 45 或1 .当 ASB 时 ABS ，此时，灯塔 S在 处北偏东 75 ；当 ASB 时 ，此时，灯塔 在 B 处的东偏南 75 .综上所述，灯塔 S在 处北偏东 75 或偏南 75 .故选：【点睛】方法点睛：在求解测量角度问题时，方法如下：（）于和航有关的问题

8、，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中 在一个三角形中利用条件求解；（）据示意，把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在 其他三角形中求解相关量3C解析：【解析】试题分析： 222 2 cos60 c2 ，解得 或 （舍去）考点：余弦定理，正弦定理 4B解析：【分析】根据题中条件，由三角形的余弦定理、正弦定理和两角和的正弦公式，化简可得tan 3tan ，再由两角和的正切公式，以及锐角三角形的定义，可得tan ，tan C 【详解】，解不等式可得所求范围因为a22122，由余弦定理可得， cos A ，则cbc ，可得 cos A ，由正弦定理可得： co

9、s A ，可得sin( sin cos B cos ，化为 A cos ，在锐角 中， cos ， cos B ，则 3tan B，又 C tan( B ) tan B 1 tan A tan 1tan tan A 311 2 A 3，由tan A ，tan ，可得 tan A ，解得 tan ，故选：【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及两角和的三角函数公式，考查方程思 想和化简运算能力，属于中档题5A解析：【分析】由三角形的面积公式和已知条件得出 sin 12cos ，由同角三角函数间的关系求得 cos2 5，运用余弦定理可求得边 a【详解】因为 b， ，S521 cos

10、A bcsin A sin A，所以 cos . 2 2所以 sinA2A5 2A cos又4 ，所以sin A所以 ，故解得 cos A2 5.所以 abccos A22 2 51，所以 故选：【点睛】本题综合考查运用三角形面积公式和余弦定理求解三角形，属于中档. 6A解析：【分析】取 的点 F 连接CF、 ，是得到异面直线与 BD 所的角为 CEF，然后计算出的三条边长，并利用余弦定理计算出 ，即可得出答案【详解】如下图所示，取 AD 中点 F ，连接CF、 EF ，由于 E 、 F 分为 、 的点，则 / ，且 EF BD ，所以，异面直线 CE 与 BD 所成角为 或其补角，三棱锥 A

11、 是边长为 2 的四面体，则 、 ACD 均是边长为 的等边三角 形，E 为 AB 的点，则 AB，且 AC AE ，同理可得 CF 3 ，在中，由余弦定理得 CEF CE2EF CF CE 3 ，因此，异面直线与 BD 所成角的余弦值为，故选 A【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下： （）作：平直线，找出异面直线所成的角；（）证：对面直线所成的角进行说明；（）计算：择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角 7B解析：【分析】由已知可求 30， ，由正弦定理可求 的，在BCD中，CBD 【详解】，由正弦定理可求 的，进而由余弦定理

12、可求 AB 的由已知，ACD中， ，ACD ，由正弦定理， sin sin，所以 CDsinACD sin ，在中， ，由正弦定理， sin sin，所以BD CD BCD 4 6sinCBD ，在 中，由余弦定理， AB 2 BD ADBDADB ，解得：所以 A与 的距离 .故选 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思 想，属于中档题8C解析：【分析】先根据正弦定理对 b C A边角互化得b a，再结合余弦定理整理得 .【详解】解：因为 c sin A，所以 bc ， 所以由余弦定理得：2 2 a 2a 2，整理化简得： 故选：【点睛】本题考

13、查边角互化，余弦定理解散三角形，考查运算能力，是基础. 9B解析：【分析】 根据正弦定理得到 sin 2 B sin B cos cos B ，简得到 算得到答案【详解】 cos ，计 sin2B cos B ，以 sin A 2B B A B ，所以sin A sin B ，即 cos .因为 以 A 2，故 ABC 是直角三角形故选： 【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应 10解析：【分析】首先利用面积公式可得： a bc sin A ，利余弦定理 b A，两者结合可得 b2 2c b2 2 sin cos ， b c bc，即可得c b c2 ，利用

14、辅助角公式即可求.【详解】 1 由已知可得： bc A a a ， 2 6所以 a bc sin A ，因为 cos 2bc，所以 b222 2 3bc sin bc cos A所以 b b2 c bc2 3 sin A A ，所以c b c的最大值是 4故选：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式、余弦定理、以及辅助角公式，属于中档.11解析：【分析】利用三角形中的正弦定理求出角 B，用角形内角和求出角 C，利用三角形的面积公 式求出三角形的面积，求得结.【详解】因为中， ， ， 3 ，由正弦定理得：BC sin A ，所以 3 4 ，所以sin B ，所以 30，所以SABC 3 30 ，故

15、选 【点睛】该题所考查的是有关三角形面积的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题中所给的条件，应用正弦定理求得 B ，从而求得 90 30，之后应用三角形面积公式求得结.12解析：【分析】由正弦定理确定 的，再 【详解】BCD BDC 45 CBD 120BC 求 由正弦定理得： sin120BCsin 45AB sin 45 BC tan 3故选 D【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出 BC ，于基础题二、填题13【分析】设表示出的面积及的面积进而表示出四边形的面积并化简所得面 积的解析式为正弦函数形式再根据三角函数的有界性进行求解【详解】四边形 的面积的面积的面积设则

16、的面积的面积四边形的面积故当即时四边形的面积 解析 【分析】设AOB ，表示出ABC的面积及的面积，进而表示出四边形 OACB 的积，并化简所得面积的解析式为正弦函数形式，再根据三角函数的有界性进行求解 【详解】四边形 OACB 面积 的面积 的面积，设 AOB ， 2 2 OB 3 cos则1 的面积 AB AB 3 2 4 2的面积 OA 3 sin ，3 四边形 OACB 的积 cos 2 1 3( sin cos2 2 3 3sin(故当 60 150时，四边形 的积最大值为 3 2 3 ，故答案为： 3 【点睛】方法点睛：应用余弦定理一定要熟记两种形式：1 a2 2 2 bc ；（）

17、cos 2bc，同时还要熟练掌握运用两种形式的条另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.14【分析】由题意画出示意图三角形（假设在处追上）然后设乙船速度为由 此表示出的长度求出的长度在借助于余弦定理求出的长则速度可求【详解】 解：由题意设乙船的速度为且在处乙船与甲船相遇做出图形如右：所以由题意 解析： 3【分析】由题意画出示意图三角形 ABC （设在 C 处上），然后设乙船速度为 x ，由此表示出BC的长度，求出的长度，在借助于余弦定理求出BC的长，则速度可求【详解】解：由题意，设乙船的速度为 ，且在处乙船与甲船相遇，做出图形如右：

18、所以 由题意知 AC 2 ， x ， BAC 120在 中由余弦定理得 AB AB CAB即 4x 2cos120 ，所以 2 ， x 3 海里 / 小时）故答案为： 【点睛】本题考查解三角形的应用举例问题，根据题意建立合适的解三角形模型，运用正余弦定理 构造方程求解，属于中档题1580【析】由已知结合正弦定理以及三角形内角和性质有根据面积公式有 再应用余弦定理可得结合目标式有利用基本不等式即可求最小值；【详解】由 及正弦定理可得 即又故故因为的面积为所以即故由余弦定理可得 当且 解析：【分析】由已知结合正弦定理，以及三角形内角和性质有 ，根据面积公式有 ，再应用余弦定理可得 c 2 a ，合

19、目标式有 3a2242 2 ，利用基本不等式即可求最小值； 【详解】由 2c cos 及正弦定理可得 2sin 2sin A sin ，2sin C cos B ，即 B C B ，又sin ，故 2，故 因为的面积为 4 所以ab ，即 4 3 故 2 ，由余弦定理可得 2 2 2 ，a 4ab 80 ，且仅当 a 2时等号成立，故 3a 的最小值为 故答案为：2 22 2【点睛】本题考查了正余弦定理，应用了三角形内角和性质、三角形面积公式以及基本不等式求最 值；16【分析】直接利用正弦定理得到答案【详解】根据正弦定理得到：故故满 足条件的三角形共有个故答案为：【点睛】本题考查了利用正弦定理

20、判断三角 形的个数问题意在考查学生的应用能力解析：【分析】直接利用正弦定理得到答.【详解】根据正弦定理得到： 9 ， ，1 sin B sin A.故满足条件的三角形共有 个故答案为： .【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题，意在考查学生的应用能.17【分析】首先根据正弦定理得化简得到再求其范围即可【详解】由正弦定 理得：所以所以因为所以即故的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查 正弦定理的应用同时考查三角函数的值域问题属于中档题解析：6,2【分析】首先根据正弦定理得BC 4sin A，化简得到 ，再求其范围即可【详解】由正弦定理得：AB ，以 A sin .所以AB AB

21、cos cos cos 8sin cos 1 8sin A A cos A 4sin 2 A 2 因为 0 A ，以 30 330 ，即sin ， 4sin .故 AB 的值范围 6,2 .故答案为：6,2(1,2) (1,2)(1,2) (1,2)【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，同时考查三角函数的值域问题，属于中档.18【分析】延长交与点过 C 作交与 F 点可得由 AB 的取值范围是可得设在 与中分别运用正弦定理可得关于的方程联立可得答案【详解】解：如图延长交 与点过点 C 作交与 F 点可得由 AB 的取值范围是可得设在中由正弦定理可得解析：【分析】延长 BA ,CD交与 E点，过点

22、 C 作 AD交与 点可得 BFABBE ,由 AB 的取值范围是 ，可得BF BE ,设 ， 与 中分别运用正弦定理可得关于 的程，联立可得答. 【详解】解：如图， ，延长 BA ,CD交与 E点，过点 C 作 AD交与 点可得 BFAB ,由 AB 的取值范围是 ，可得BF BE ,设BC ，在中，由正弦定理可得： BEsin ,即： 2sin( sin x，可得 ，2cos 同理，在BCF中，由正弦定理可得： BFsin BFC BCF,即：1 ，可得2 x cos，故可得：4cos2，可得cos 2 ，又，故 cos ,故答案为： .【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，考查学生数

23、学建模的能力与运算能力，属于中档. 19【分析】综合韦达定理与余弦定理可算 a 接着由正弦定理可得本题答案 【详解】由题意得所以得因为即得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定 理及韦达定理的综合应用解析：7 33【分析】综合韦达定理与余弦定理可算得 a接着由正弦定理可得本题答案 【详解】由题意得， bc ，所以a2 2 bc cos A b ) 2 bc cos A 64 32 493 3，得a ，因为sin A R 3 ，即 ， .故答案为：7 3【点睛】本题主要考查正余弦定理及韦达定理的综合应.20【分析】设则在 ABD 和 ACD 中由正弦定理化简可得由两角差的正弦公 式化简可得根据正

24、弦函数的值域即可求解的最大值【详解】如图由已知设则在 ABC 中由正弦定理可得:在 ACD 中由正弦定理可得:所以化简解析：【分析】设BD x则 , CD x,在 和 ACD 中由弦定理化简可得3 x B B 2 sin sin( )tan 2 B sin ,由两角差的正弦公式化可得,根据正弦函数的值域即可求解 tan B 的大值【详解】2 B B 0,2 B B 0,如图由知设BD ,则 , CD x,3x eq oac(, )ABC 中,正弦定理可: 2 sin x, eq oac(, ) 中由弦定理可得b BAC ) sin .3 x x B B 所以 2 sin BAC ) BAC c

25、os cos BAC 化简可:tan BAC B,可:tan 3sin 2 2.可得 tan BAC B 的大为.【点睛】本题考查正弦定理在解三角形和化简中的应,借助公共边把两个三角形联系起来是解答 本题的关键属中档题三、解题211）B ；（） BD 【分析】（）已知条，结合正弦定理边角关系、辅助角公式得 ，根据三角形内角的性质，即可求角 （）题设，用正弦定理得AD ，结合三角形面积公式有 3 即可求线段 BD 的长度 【详解】（） b B ， B cos 即 B cos B ，得 ， 2 ， B 4 ，可知 B 3 2，解得 6（） BAD 是 的分线，有 CAD ， eq oac(, )

26、中，由正弦定理得 sin ，以 sin eq oac(, )ACD 的面积为 所以 sin ，12BD ， BD 2 3 【点睛】关键点点睛：（）合应用弦定理边角互化，辅助角公式，三角形内角的性质求角； （）用正弦理及三角形面积公式求边.221） 3；（） 3 【分析】（）用诱导式和二倍角公式化简已知等式可求得 B ，由B 可得结果；（） ABD 中用余弦定理造方程可求得 BD，根据 S ，利用三角形面积公式可求得结果 【详解】（） ， ，由 得： B ，即 ，解得：cos ，B ， B .（） ABD 中由余弦定理： AD22BD2 AB cos B ，即2 解得： ；D为BC中点， ABC ABD AB sin B 3 . 2231） ；（）12.【分析】（）已知化可得 2 5cos ，出 12即可求出角 A 的大小；（）用面积式可求得 ，利用余弦定理可求得 ，进而求出 ABC 外接圆直径，得出所求 【详解】（）5cos B sin ， ) 2cos2A ， 2cosA 5cos A 解得 12或cos A （舍去）0 A ，所以 .（）3 S sin2 3