《土木工程-力学》第十三章 应力状态和强度理论

1、第十三章 应力状态和强度理论1FQ横截面上不同点的应力各不相同。131 概 述 2单向应力状态同一点不同方向面上的应力各不相同。3 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小的正六面体单元体来研究。 xyxxyxyyxyxyxxzyxzzyzyxyzyzx空间应力状态平面应力状态4 任何应力状态，总能找到三对互相垂直的面，在这些面上只有正应力，而切应力等于零，这样的面称为应力主平面(简称主平面)，主平面上的正应力称为主应力。 12132三向应力状态双向应力状态单向应力状态复杂应力状态简单应力状态5简单应力状态下材料的强度条件：

2、复杂应力状态下材料的强度条件： 单轴拉压状态 纯剪切应力状态工作应力；许用应力，通过直接试验的方法确定。 不可能总是通过直接试验的方法来确定材料的极限应力。通过应力状态分析来探求材料破坏的规律，确定引起材料破坏的决定因素，从而建立相应的强度条件，即强度理论。 6132 平面应力状态的应力分析解析法 一、斜截面应力 图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求垂直于平面xy的任意斜截面ef上的应力。7 图(b)中所示任意斜截面ef 的外法线n与x轴的夹角（方位角）为a ，故截面ef简称a截面。其中a角规定自x轴逆时针转至外法线n为正。 斜截面上的正应力sa 以拉应力为正，切应力ta

3、以使其所作用的体元有顺时针转动趋势者为正(图(c)。8 由图(c)知，如果斜截面ef的面积为dA，则体元左侧面eb的面积为dAcosa，而底面bf的面积为dAsina。图(d)示出了作用于体元ebf 诸面上的力。体元的平衡方程为：9根据切应力互等定理有：(13-1) (13-2) 利用三角关系整理后可得到a 斜截面上应力sa、ta的计算公式为：(13-4) 将其代入平衡方程可得：(13-3) 10例题131 图a为一平面应力状态单元体，试求与x轴成30角的斜截面上的应力。则由公式得到该斜截面上的应力：单位：MPa203030 xy(a)3030(b)xn30301020y303030解：由图可

4、知：1112二、主应力和主平面将式(13 3)对取导数：令此导数等于零，可求得达到极值时的值，以0表示此值，即(135) (a)(b)13 由式(135)可求出0相差90的两个根，亦即有相互垂直的两个面，其中一个面上作用的正应力是极大值，以max表示，另一个面上的是极小值，以min表示。(135) 14(136) 将式(135)代入以上两式，再回代到式(133)经整理后即可得到求max和min的公式如下：利用三角关系：15 由式(135)求得两个0值后，确定哪个是max作用面的方位角(以0max表示)，哪个是min作用面的方位角(以0min表示)，则可按下述规则进行判定：(137)(1) 若

5、x y ，则有 |0max|45(2) 若 x y ，则有 |0max|45(3) 若 x = y ，则有 (138) 求得0max后，0min可按下式计算：16将式(b)与式(134)比较，可知： 这表明在正应力达到极值的面上，切应力必等于零，即该截面为主平面，相应的正应力即为主应力。 主应力常用1、 2、 3 表示，并按1 2 3排序。应注意在平面应力状态下，应力为零的平面也是主平面，其主应力等于零，应将它与max和min 比较，确定出1、 2、 3 。 17(139) 即对于同一个点所截取的不同方位的单元体，其相互垂直面上的正应力之和是一个不变量，称之为第一弹性应力不变量。可利用此关系来

6、校核计算结果。另外，由式(136) 可知：18 用类似的方法，可以讨论切应力的极值和它们所在的平面。将式(134)对取导数：令此导数等于零，可求得达到极值时的值，以 表示此值，即(1310) 由式(1310)解出sin2和cos2，代入式(134)可求得切应力的最大和最小值：19(1311) 对比式(136)可知：(1312) 这表明20与2相差90，即切应力极值所在平面与主平面的夹角为45。(1313) 另外，对比式(135)和式(1310)可知：20例题132 图示为某构件某一点的应力状态，试确定该点的主应力的大小及方位。 单位：MPa20303035.813解：由图可知：将其代入式21则

7、主应力为：因为所以22例题133 对图(a)所示单元体，试用解析法求：（1）主应力值；（2）主平面的方位（用单元体图表示）；（3）最大切应力值。单位：MPa200300200图(a)解：由图可知：23单位：MPa200300200图(a)（1）将其代入式24128.153图(b)由式（137）进行判断，由于 ，即主应力1与x轴的夹角为28.15（如图(b)所示）。（3）最大切应力为：（2）由25133 应 力 圆将式(133)与式(134)改写成如下形式： 将以上二式各自平方后再相加可得：(c)(a)(b)一、应力圆26 这是一个以正应力、切应力为坐标的圆的方程，此圆称为应力圆或莫尔(O.Mo

8、hr)圆。其圆心坐标为 ，半径为 。OC图 134 圆上任意一点的纵、横坐标分别代表单元体相应截面上的切应力和正应力。27二、应力圆的绘制及应用OC(b) 图a所示单元体的应力圆可按如下方法作出：由单元体x截面上的应力sx,tx按某一比例尺定出点D1，由单元体y截面上的应力sy,ty(取ty = -tx)定出点D2，然后连以直线，以它与s 轴的交点C为圆心，以 或 为半径可作出应力圆(图b)。(a)28 利用应力圆求a 斜截面(图a)上的应力sa，ta时，只需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的点D1所对应的半径 按方位角a的转向转动2a角，得到半径 ，那么圆周上E点的座标便代表了单元体a斜截面

9、上的应力。现证明如下(参照图b)：29E点横座标30E点纵座标31 当单元体内截面A和B的夹角为a 时，应力圆上相应点a和b所夹的圆心角则为2 a ，且二角之转向相同。因此，单元体上两个相互垂直的截面在应力圆上的对应点所夹圆心角为180，即它们必位于同一直径的两端。图 136ABOC2ab32例题134 试用图解法求解图示应力状态单元体的主应力。 (a)200300200单位：kPa0 100kPaOCCD(b)1283x62(c)解：首先选定坐标系的比例尺，由坐标(200,-300)和(-200,300)分别确定C和C点(图b）。然后以CC为直径画圆，即得相应的应力圆。从应力圆量得主应力及方

10、位角，并画出主应力的应力状态如图。 33134 三向应力状态的最大应力dabc12xzy3213 表示与主应力3平行的斜截面上应力的点，必位于由1与2所确定的应力圆上。同理，与主应力2 (或1)平行的各截面的应力，则可由1与3(或2与3)所画应力圆确定。 一、三向应力圆O132K34图 138O132K图 13912xzyB3CA 在坐标平面内，表示与三个主应力均不平行的任意斜截面ABC（图139）上应力的点K必位于图138所示以主应力作出的三个应力圆所围成的阴影区域内。 35二、最大应力 (1319) (1317) (1318) 而最大切应力则为： 由应力圆可知，一点处的最大与最小正应力分别

11、为最大与最小主应力，即36例题135 图a所示应力状态，应力x = 80 MPa，x = 35 MPa， y = 20 MPa， z =-40 MPa，试画三向应力圆，并求主应力、最大切应力。 (a)xyxxyzyz(c)CEODAB(b)yxx37解： 1. 画三向应力圆 对于图示应力状态，已知z为主应力，其它两个主应力则可由x ，x与y确定(图b) 。在 坐标平面内(图c)，由坐标(80,35)与(20, -35)分别确定A和B点，然后，以AB为直径画圆并与 轴相交于C和D，其横坐标分别为：取E(-40, 0)对应于主平面z，于是，分别以ED及EC为直径画圆，即得三向应力圆。38而最大正应

12、力与最大切应力则分别为：2. 主应力与最大应力由上述分析可知，主应力为：39135 空间应力状态的广义胡克定律 对于各向同性材料，它在各个方向上应力与应变之间的关系相同。因此，对于各向同性材料： (1)在正应力作用下，沿正应力方向及与之垂直的方向产生线应变，而在包含正应力作用面在内的三个相互垂直的平面内不会发生切应变； (2)在切应力作用下只会在切应力构成的平面内产生切应变，而在与之垂直的平面内不会产生切应变；也不会在切应力方向和与它们垂直的方向产生线应变。40一、双向应力状态的广义胡克定律11(b)22(c)1122(a) 当材料处于双向应力状态(图a)时，为计算沿两个主应力方向的应变1和2

13、 ，可按叠加原理将原应力状态分解为图b和图c两种单向应力状态的叠加。 41而垂直于1或2方向的线应变分别为： 当材料处于图b或图c所示单向应力状态时，沿主应力1或2方向的线应变分别为： (a) (b) 式中为泊松比。42 (13-20) 上式即双向应力状态下的广义胡克定律。当材料处于图a所示双向应力状态时，沿两个主应力方向的应变1和2分别为：43yxyx图 1311而对于图1311所示平面应力状态，广义胡克定律表达式为 ： (13-21) 式中xy是在xy平面内由切应力x或y所引起的切应变，G是切变模量。 44二、空间应力状态的广义胡克定律当空间应力状态以主应力表示时，广义胡克定律为：式中，e

14、1，e2，e3分别为沿主应力s1，s2，s3方向的线应变。45一般空间应力状态下的广义胡克定律为：46例题136 有一边长a=200mm的立方体混凝土试块，无空隙地放在刚性凹座里(图a) 。上表面受压力F300kN作用。已知混凝土的泊松比1/6。试求凹座壁上所受的压力FN 。 FNxFNzFa图(a)FNx解：混凝土块在z方向受压力F作用后，将在x、y方向发生伸长。但由于x、y方向受到座壁的阻碍，两个方向的变形为零，即根据对称性可知，试块在x、y方向所受到的座壁反力FNx和FNy应相等，即47FNxFNyFNy图(b)FNx由三向应力的胡克定律，有：由上式可解出：由于试块较小，可近似认为应力分

15、布均匀，则48将有关数据代入，可得49单元体受力变形时其体积的改变率称为体应变q。 123213 设单元体变形前三个边长分别为dx、dy、dz，在受力变形后其边长分别为dx(1+e1)、dy(1+e2)、dz(1+e3)，故体应变为：三、体应变的概念50将上式展开并略去高阶微量e1e2、e2e3、e3e1、e1e2e3，再利用各向同性材料的广义胡克定律可得： 在一般空间应力状态下，由于单元体每一个平面内的切应力引起的纯剪切相当于该平面内的二向等值拉压，它们引起的体应变为零，故体应变只与三个线应变之和有关，即：51例137 一体积为10 mm10 mm10 mm的正方形钢块放人宽度也为10 mm

16、的钢槽中如图a所示。在钢块顶部表面作用一合力F8kN的均布压力，试求钢块的三个主应力及体应变。已知材料的泊松比0.33，材料的弹性模量E = 200 GPa，且不计钢槽的变形。 解：由分析可知，正方形钢块处于双向应力状态（图b）。在 y方向的应力为压应力，即(a)F(b)yxxy52在x方向，应变为零，则由广义胡克定律而z = 0，代入上式，得因此，正方形钢块的三个主应力为由体积应变计算公式(1326)，可得53136 主应力迹线的概念 一、m-m截面上的主应力 （a）（b）（c）abcdemmmmmmxq54梁内任一点处的主应力及其方位角： 在梁内任一点处的非零主应力中，其中必有一个为拉应力

17、，另一个为压应力。 55二、主应力迹线 根据梁内各点的主应力方向，可绘制两组曲线。在一组曲线上，各点的切向即该点的主拉应力方向；而在另一组曲线上，各点的切向则为该点的主压应力方向。上述曲线族称为梁的主应力迹线。 在钢筋混凝土梁中，主要承力钢筋应大致沿主拉应力迹线配置，使钢筋承担拉应力，从而提高梁的承载能力。 FxF/2F/256137 强度理论概述 材料在简单应力状态下的强度可通过试验加以测定。但是材料在复杂应力状态下的强度，则不可能总是由试验来测定。因而需要通过对材料破坏现象的观察和分析寻求材料强度破坏的规律。人们根据长期的实践和大量的试验结果，对材料失效的原因提出了各种不同的假说，通常将这

18、些假说称为强度理论。材料强度破坏的两种类型： 1.没有明显塑性变形的脆性断裂； 2.产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。57一、最大拉应力理论（第一强度理论） 最大拉应力是引起材料断裂的主要因素。无论材料处于何种应力状态，只要最大拉应力1达到材料在单向拉伸试验中发生脆性断裂时的强度极限u，材料即发生断裂。即材料断裂破坏的条件为：相应的强度条件为：其中，s为对应于脆性断裂的许用拉应力，ssu/n，其中n为安全因数。58二、最大拉应变理论（第二强度理论） 最大拉应变是引起材料断裂的主要因素。无论材料处于何种应力状态，只要最大拉应变1达到材料在单向拉伸试验中发生脆性断裂时的极限拉应变值u，材料

19、即发生断裂。即材料断裂破坏的条件为：复杂应力状态下的最大拉应变为：而材料在单向拉伸断裂时的最大拉应变为：59考虑安全因数后，第二强度理论的强度条件为：则材料断裂破坏的条件可改写为 当脆性材料处于双向拉伸压缩应力状态，且应力值不超过拉应力值时，该理论与试验结果基本符合。但对于脆性材料双向受拉或受压的情况，该理论与试验结果却完全不符。 60三、最大切应力理论（第三强度理论） 最大切应力是引起材料屈服的主要因素。无论材料处于何种应力状态，只要最大切应力max达到材料在单向拉伸屈服时的最大切应力s ，材料即发生屈服破坏。即材料屈服破坏的条件为：复杂应力状态下的最大切应力为：61而材料单向拉伸屈服时的最

20、大切应力则为 ：考虑安全因数后，第三强度理论的强度条件为：则材料屈服破坏的条件可改写为 这一理论与试验符合较好，比较满意地解释了塑性材料出现屈服的现象，因此在工程中得到广泛应用。但对于三向等值拉伸情况，按该理论分析，材料将永远不会发生破坏，这与实际情况不符。 62 构件因其形状和体积发生改变而在其内部积蓄的能量，称为变形能。通常将构件单位体积内所积蓄的变形能，称为比能。比能可分为形状改变比能和体积改变比能两部分 。 该理论认为形状改变比能是引起材料屈服的主要因素。无论材料处于何种应力状态，只要形状改变比能vd达到材料在单向拉伸屈服时的形状改变比能极限值vdu，材料即发生屈服破坏。即材料屈服破坏

21、的条件为：四、形状改变比能理论理论（第四强度理论） 63而材料单向拉伸屈服时的形状改变比能极限值为 ：考虑安全因数后，第四强度理论的强度条件为：则材料屈服破坏的条件可改写为三向应力状态下的形状改变比能为：64 需要指出的是，破坏形式不但与材料有关，还与应力状态等因素有关。例如由低碳钢制成的等直杆处于单向拉伸时，会发生显著的塑性流动；但当它处于三向拉应力状态时，会发生脆性断裂。低碳钢制圆截面杆在中间切一条环形槽，当该杆受单向拉伸时，直到拉断时，也不会发生明显的塑性变形，最后在切槽根部截面最小处发生断裂，其断口平齐，与铸铁拉断时的断口相仿，属脆性断裂。这是因为在截面急剧改变处有应力集中，属三向拉应力状态。相应的切应力较小，不易发生塑性流动之故。又如大理石在单向压缩时，其破坏形式为脆性断裂