高二数学《空间向量及其运算》教案1

1、空间向量及其运算（ 1）教学目标：1、空间向量；2、相等的向量；3、空间向量的加减与数乘运算及运算律；教学重点： 空间向量的加减与数乘运算及运算律教学难点： 应用向量解决立体几何问题教学用具：多媒体,三角板,直尺 教学方法： 争论法教学过程：. 复习引入师在必修四其次章平面对量中,我们学习了有关平面对量的一些知 识,什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？生既有大小又有方向的量叫向量向量的表示方法有：、用有向线段表示；、用字母 a、b 等表示；、用有向线段的起点与终点字母：AB 师数学上所说的向量是自由向量,也就是说在保持向量的方向、大小的 前提下可以将向量进行平移, 由此我们可以得出向量相等的概念

2、,请同学们回忆 一下生长度相等且方向相同的向量叫相等向量 . 师学习了向量的有关概念以后, 我们学习了向量的加减以及数乘向量运 算： 向 量 的加法：向量的减法：实数与向量的积：实数 与向量 a 的积是一个向量,记作 1| a| | | a| 2 当 0 时,a 与 a 同向；当 0 时, a 与 a 反向；当 0 时, a0. a,其长度和方向规定如下：师关于向量的以上几种运算,请同学们回忆一下,有哪些运算律呢？生向量加法和数乘向量满意以下运算律 加法交换律： abba 加法结合律： ab ca（ bc）数乘安排律： ab ab师今日我们将在必修四其次章平面对量的基础上,类比地引入空间向量

3、的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种 运算的运算率,并进行一些简洁的应用师犹如平面对量的概念, 我们把 空间中具有大小和方向的量叫做向量 例 如空间的一个平移就是一个向量 那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又 是怎样表示的呢？并且同向且等长的有生与平面对量一样, 空间向量也用有向线段表示,向线段表示同一向量或相等的向量师由以上学问可知, 向量在空间中是可以平移的 空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示因此我们说 的空间任意两个向量是共面师空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？生空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面对量的运算一样

4、：OBOAAB=a+b,ABOBOA（指向被减向量）,OPaR 师空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律生空间向量加法与数乘向量有如下运算律：、加法交换律： a + b = b + a；、加法结合律： a + b + c =a + b + c；（课件验证）、数乘安排律： a + b= a + b师空间向量加法的运算律要留意以下几点：首尾相接的如干向量之和, 等于由起始向量的起点指向末尾 向量的终点的向量即：A 1A 2A 2A 3A 3A 4A n1A nA 1A n因此,求空间如干向量之和时,可通过平移使它们转化为首尾相接 的向量首尾相接的如干向量如构成一个封闭图形,就

5、它们的和为零向 量即：A 1A 2A 2A 3A 3A 4A n1A nA nA 10两个向量相加的平行四边形法就在空间仍旧成立因此,求始点相同的两个向量之和时,可以考虑用平行四边 形法就例已知平行六面体ABCDA BCD（如图）,化简以下向量表达式,并标出化简结果的向量：ABBC；ABADAA ；ABAD1 CC 2BC的轨迹所形成的几何体,1ABADAA 3说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到 A叫做 平行六面体记作 ABCD ABCD平行六面体的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱说明：由第 2 小题可知,始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等 于以这三个向量为

6、棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量,这是平面对量加法的平行四边形法就向空间的推广. 巩固练习 课本 P86 练习. 教学反思 平面对量仅限于争论平面图形在它所在的平面内的平移,而空间向量争论的 是空间的平移, 它们的共同点都是指 “ 将图形上全部点沿相同的方向移动相同的 长度” ,空间的平移包含平面的平移关于向量算式的化简,要留意解题格式、步骤和方法. 课后作业空间向量及其运算（ 2）教学目标： 1懂得共线向量定理和共面对量定理及它们的推论；2把握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式教学重点： 共线、共面定理及其应用教学难点： 共线、共面定理及其应用教学过程：

7、（一）复习：空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1共线（平行）向量：假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合,就这些向量叫做共线向量或平行向量；读作：ar平行于 b r,记作：a r / b r2共线向量定理：对空间任意两个向量 a b b r r r0, ra r / b r的充要条件是存在实数,使 a r b r（唯独）推论 ：假如 l 为经过已知点 A,且平行于已知向量 ar的直线,那么对任一点 O ,uuur uuur uuur点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t ,满意等式 OP OA t AB ,其中向量ar 叫做直线l的方向向量；在 l 上取AB uuura

8、 r ,就 式可化为 OP uuurOA uuurt AB uuur或OP uuur1 t OA uuurtOB uuur lP aB当 t 1 时,点 P 是线段 AB 的中点,此时 OP uuur 1 uuurOA OB uuur A2 2和都叫空间直线的向量参数方程,是线段 AB 的中点公式3向量与平面平行：已知平面 和向量 ar,作 OA uuura r ,假如直线 OA平行于 或在 内,那么我r们说向量 ar平行于平面,记作：ar /a通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面对量r说明：空间任意的两向量都是共面的a4共面对量定理：假如两个向量 a b r r 不共线, pr与向量 a

9、 b r r共面的充要条件是存在实数 x y 使rp xa ryb r推论 ：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur,x y ,使 MP xMA yMB 或对空间任一点 O ,有 OP OM xMA yMB 上面式叫做平面 MAB 的向量表达式（三）例题分析：例 1 已 知 A B C 三 点 不 共 线 , 对 平 面 外 任 一 点 , 满 足 条 件OP uuur 1OA uuur 2OB uuur 2OC uuur,5 5 5试判定：点 P 与 A B C 是否肯定共面？uuur uuur

10、uuur uuur解：由题意： 5 OP OA 2 OB 2 OC,uuur uuur uuur uuur uuur uuur OP OA 2 OB OP 2 OC OP ,uuur uuur uuur uuur uuur uuurAP 2 PB 2 PC,即 PA 2 PB 2 PC,所以,点 P 与 A B C 共面说明：在用共面对量定理及其推论的充要条件进行向量共面判定的时候,第一要挑选恰当的充要条件形式,然后对比形式将已知条件进行转化运算例 2已知 Y ABCD,从平面 AC 外一点 O 引向量uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuurOE kOA

11、OF KOB OG kOC OH kOD,（1）求证：四点 E F G H 共面；（2）平面 AC / 平面 EG uuur uuur uuur解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形,AC AB AD,uuur uuur uuur EG OG OE,uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurk OC k OA k OC OA k AC k AB AD uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuurk OB OA OD OA OF OE OH OEuuur uuurEF EHE F G H 共面；uuur uuur uuur uuur

12、 uuur uuur uuur uuur（2）EF OF OE k OB OA k AB,又 EG k AC,EF / AB EG / AC所以,平面 AC / 平面 EG 五、课堂练习：课本第 86 页练习六、课堂小结： 1共线向量定理和共面对量定理及其推论；七、作业：2空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式空间向量的数乘运算（1）教学要求： 明白共线或平行向量的概念, 把握表示方法； 懂得共线向量定理及其推论；把握空间直线的向量参数方程；中有关的简洁问题教学重点： 点在已知平面内的充要条件会运用上述学问解决立体几何教学难点： 对点在已知平面内的充要条件的懂得与运用教学过程：一、复习

13、引入 1. 回忆平面对量向量学问：平行向量或共线向量？怎样判定向量 b 与非零向量 a 是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量 由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上,所以平行向量也叫做 共线向量 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 ,使 b a . 称平 面对量共线定理,二、新课讲授 1. 定义：与平面对量一样, 假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或 重合,就这些向量叫做 共线向量 或平行向量 a 平行于 b 记作 a / b 2关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：共线向量定理： 空间任意两个向量 实数 ,使 a b . a 、 b

14、 （ b 0）, a / b 的充要条件是存在懂得：上述定理包含两个方面： 性质定理： 如 a b（ a 0）,就有 b a ,其中 是唯独确定的实数； 判肯定理：如存在唯独实数,使 b a（ a 0）,就有 a b （如用此结论判定 a 、b 所在直线平行,仍需 a （或 b ）上有一点不在 b （或 a ）上） . 对于确定的 和 a , b a 表示空间与 a 平行或共线,长度为 | a | ,当0 时与 a 同向,当 0 时与 a 反向的全部向量 . 3. 推论： 假如 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任uuur uuur意一点 O,点 P 在直线 l

15、上的充要条件是存在实数 t 满意等式 OP OA t a 其中向量 a 叫做直线l的方向向量 . 推论证明如下： l / a ,对于 l 上任意一点 P,存在唯独的实数 t ,使得uuurAP t a * uuur uuur uuur又对于空间任意一点 O,有 AP OP OA,uuur uuur uuur uuur OP OA t a ,OP OA t a uuur uuur uuur uuur如在 l 上取 AB a ,就有OP OA t AB* uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur又 AB OB OAOP OA t OB OA 1 t

16、OA tOB当 t 1时,OP uuur 1 OA uuurOB uuur2 2懂得： 表达式和都叫做 空间直线的向量参数表示式,式是线段的 中点公式 事实上,表达式 * 和* 既是表达式和的基础,也是直线参数方程的表达形式 表达式和三角形法就得出的,可以据此记忆这两个公式 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判A C D B 定O 空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面对量完全相同,是平面对量相关学问的推广4. 出示例 1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形 . （分析：如何用向量方法来证明？）5. 出示例 2：如图 O是空间任意一点, C、D是线段

17、 AB的三等分点,分别用uuur OA、uuur OBuuur 表示 OCuuur、 OD. 三、巩固练习：四、作业：空间向量的数乘运算（2）教学要求： 明白向量与平面平行、 共面对量的意义, 把握向量与平面平行的表示 方法；懂得共面对量定理及其推论； 把握点在已知平面内的充要条件；会用上述学问解决立几中有关的简洁问题教学重点： 点在已知平面内的充要条件教学难点： 对点在已知平面内的充要条件的懂得与运用教学过程：一、复习引入 1. 空间向量的有关学问共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以 及空间直线的向量表示式、中点公式2. 必修平面对量,平面对量的一个重要定理平面对量基本定理：假如 e

18、1、e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么对这一平面内的任意一个向量 a,有且只有一对实数 1、 2,使 a 1e1 2e2. 其中不共线向量 e1、e2叫做表示 这一平面内全部向量的一组 基底 二、新课讲授1. 定义： 假如表示空间向量a 的有向线段所在直线与已知平面平行或在平面 内,就称向量 a 平行于平面 ,记作 a/ 向量与平面平行, 向量所在的直线可以在平面内, 而直线与平面平行时两者是 没有公共点的2. 定义： 平行于同一平面的向量叫做共面对量在同一平面内的,但可以平移到同一平面内共面对量不肯定是3. 争论：空间中任意三个向量肯定是共面对量吗？请举例说明结论：空间中的任意三个向量

19、不肯定是共面对量例如：对于空uuur 间四边形 ABCD, ABuuuur、 ACuuuur、 AD这三个向量就不是共面对量4. 争论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面对量呢？5. 得出 共面对量定理 ：假如两个向量 a、b 不共线,就向量 p 与向 量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 x,y,使得 p= xa+yb 证明：必要性：由已知,两个向量 a、b 不共线 向量 p 与向量 a、b 共面 由平面对量基本定理得：存在一对有序实数对x,y,使得 p= xa+yb充分性：如图, xa,yb 分别与 a、b 共线, xa,yb 都在 a、b 确定的平面 内又xa+yb 是以 xa、yb

20、为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向 量,并且此平行四边形在 a、b 确定的平面内, p = xa+yb 在 a、b 确定的平面内,即向量p 与向量 a、b 共面说明：当 p、a、b 都是非零向量时,共面对量定理实际上也是 p、a、b 所在的三条直线共面的充要条件, 但用于判定时, 仍需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内6. 共面对量定理的推论是：空间一点 P在平面 MAB内的充要条件是存在有序实数 对uuuur x , y , 使 得 MPuuuur xMAuuuur yMB, 或 对 于 空 间 任 意 一 定 点O, 有uuur OPuuuur OMuuuur xM

21、Auuuur yMB 由分 析 ： 推 论 中 的x 、 y是 唯 一 的 一 对 有 序 实 数 ；uuuur OPuuuuur OMuuuur xMAuuuuur yMB得 ：uuuur OPuuuuur OMuuuur x OAuuuuur OMuuuur y OBuuuuur OM,uuuur OP1xuuuuur y OMuuuur xOAuuuur yOB公式都是 P、M、A、B 四点共面的充要条件7. 例题：课本 P95例 1 ,解略 小结：向量方法证明四点共面三、巩固练习课本P96练习 3 题. 四、小结：（略）五、 作业：空间向量的数量积运算教学目的 ：把握空间向量夹角和模的

22、概念及表示方法；把握两个向量数量积的概念、性质和运算方法及运算律；把握两个向量数量积的主要用途,会 用它解决立体几何中的一些简洁问题 . 教学重点： 两个向量的数量积的运算方法及其应用教学难点： 向量运算在几何证明与运算中的应用教学过程：一、复习引入 1. 复习平面对量数量积定义：2. 平面对量中有两个平面对量的数量积,二、新课讲授与其类似, 空间两个向量也有数量积 . 1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量 a 与 b,uuur uuur在空间中任取一点 O,作 OAa, OBb,就 AOB叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 a, b说明：规定： 0a,b当 a、b时, a与 b 同

23、向；当 a、b 时,a 与 b 反向；当a、b2时,称 a 与 b 垂直,记 ab 两个向量的夹角唯独确定且a, b b, a 留意：在两向量的夹角定义中,两向量必需是同起点的a, b a, b 2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a 与 b,| a| b|cos a、b叫做 向量a、b 的数量积 ,记作 ab,即 ab| a| b|cos a, b. 说明：零向量与任一向量的数量积为 0,即 0a；符号“ ” 在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“ ” 代替 . uuur几何意义：已知向量 ABa 和轴 l ,e 是 l 上和 l 同方向的单位向量作点 A在uuuuur uuurl

24、 上的射影 A ,点 B 在 l 上的射影 B ,就 A B 叫做 向量 AB 在轴 l 上或在 euuur方向上的正射影 ,简称射影 可以证明：A B ABcosa, e a e说明：一个向量在轴上的投影的概念,就是a e 的几何意义3. 空间数量积的性质： 依据定义,空间向量的数量积和平面对量的数量积一样,具有以下性质：ae acosa, e；ab a b当 a 与 b 同向时,a ba b； 当 a 与 b 反向时,ab a b. 特殊地, aa a2或 aa a a . cosa, ba ba b; a b a b. 4. 空间向量数量积的运算律：与平面对量的数量积一样,空间向量的数量

25、积有如下运算律： a b a b a b 数乘结合律 ；a bb a 交换律 ；a bc a bac 安排律 a 2 a2, ab2a 2说明： a b c a（b ）；有如下常用性质：a2 bb5. 教学例题：课本 P98例 2、例 3（略）三、巩固练习作业：空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标： 把握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；在简洁问题中,会挑选适当的基底来表示任一空间向量；教学重点： 空间向量基本定理教学难点： 懂得空间向量基本定理教学过程：一、复习引入 平面对量基本定理的内容及其懂得假如e 1, e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对,使 ar1e 12e2

26、于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1,2二、新课导入1、空间向量的基本定理CBPP假如三个向量e 1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量pr,存在一个唯独的有C序实数组x ,y,z,使px e 1ye 2z e 3AOB由此定理, 如三向量e 1,e 2,e3不共面,那么空间的任一向量都可由e 1,e 2, A e3线性表示,我们把 e 1,e 2,e3叫做空间的一个 基底 ,e 1,e 2,e3叫做 基向量；空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底假如空间一个基底的三个基向量两两相互垂直,那么这个基底叫做正交基底,特殊地, 当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,正交基

27、底,通常用i,j,k表示；称这个基底为单位推论 ：设O A B C 是不共面的四点,就对空间任一点P ,都存在唯独的三个有序实数uuur x y z,使 OPuuur xOAuuur yOBuuur zOC三、例题讲解例 1 如图,在正方体 OADB CA D B 中,点 E 是 AB 与 OD 的交点 ,M 是 OD/ / / /B/ D/ 与 CE 的交点,试分别用向量 OA , OB , OC 表示 OD 和 OMA/ C 解：OD OA OB OC /M uuur uuur uuur uuur B x y z,使 OP xOA yOB zOC E D O A OM 1 OA 1 OB

28、1 OC3 3 3例 2 如图,已知空间四边形 OABC ,其对角线 OB AC ,M N 分别是对边 OA BCuuur uuur uuur uuur的中点,点 G 在线段 MN 上,且 MG 2 GN ,用基底向量 OA OB OC 表示向量 OGuuur uuuur uuuur解： OG OM MGOM uuuur 2 uuuurMN O311 2 OAOA uuuruuur 2 32 1 uuurON OB uuur OM uuuurOC uuur 1 uuurOA MC2 3 2 2 G1 OA uuur 1 OB uuurOC uuur 1 uuurOA A N2 3 31 uuu

29、rOA 1 OB uuur 1 OC uuurB6 3 3OG 1 OA 1 OB 1 OC6 3 33、课堂练习课本练习 94 页练习 1,2,3 学问小结 : 本节课要求同学把握空间向量基本定理,懂得基底的概念；作业空间向量运算的坐标表示教学目的： 通过与平面对量类比学习并把握空间向量加、减、数乘、数量积运算 的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示；能初步应用这 些学问解决简洁的立体几何问题；教学重点： 空间向量的坐标运算规律 教学难点： 懂得空间向量的坐标运算规律及规律的应用 教学过程：一、复习引入1平面对量的坐标运算：r r设 a a a 2 , b b b 2 , A x y 1, B x 2,y 2,就a2）r ar ba 1b a 2b 2,r aa 1,a 2R r r a ba b 1 1a b 2,r ar r / b br 0r ar b即a 1b a2b ,a 1b 1b 2uuur ABuuur OBuuur OAx 2x y 2y 1|r a|2 a 12 a 2,dAB|uuur AB|x 2x 12y 2y 12（长方形的对角线长）r rcos r ra b| a r a b| b r| a 1 2 a b 1 1a