高考数学第一轮复习教案第五章平面向量高中数学

1、2022 届高三数学一轮复习精品教案平面对量一、本章学问结构：二、重点学问回忆1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量, 有二个要素：大小、方向. 2.向量的表示方法：用有向线段表示；用字母a 、 b 等表示；平面对量的坐标表示：分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底；任作一个向量 a ,由平面对量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a xi yj , x , y 叫做向量 a 的（直角）坐标,记作 a , x y ,其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,特别地, i 1,0 , j 0,1 , 0 0,0；

2、a x 2y 2；如 A x 1y 1 ,B x 2y 2 ,就AB x 2 x 1 , y 2 y 1,AB x 2 x 1 2 y 2 y 1 23. 零向量、单位向量：长度为 0 的向量叫零向量,记为 0 ； 长度为 1 个单位长度a的向量,叫单位向量 . （注：就是单位向量）| a |4. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定 0 与任一向量平行 .向量 a 、 b 、 c 平行,记作 a b c . 共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量 . 5. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量 . 6.向量的加法、减法：求两个向量和的运算,叫做向量的加法； 向

3、量加法的三角形法就和平行四边形法就；向量的减法向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差；即： a b = a + b ；差向量的意义：OA= a , OB = b , 就 BA = a b平面对量的坐标运算：如 a x y 1 1 ,b x 2 , y 2 ,就 a b x 1 x 2 , y 1 y 2 ,a b x 1 x 2 , y 1 y 2 ,a x , y ；向量加法的交换律： a + b =b + a ；向量加法的结合律： a + b + c = a + b + c 7实数与向量的积：实数 与向量a 的积是一个向量,记作： a（1）| a |=| |a |；（ 2）

4、 0 时 a 与 a 方向相同； 0 时 a 与 a 方向相反； =0 时 a = 0 ；（ 3）运算定律 a = a, + a= a + a, a+ b = a + b8 向量共线定理 向量 b与非零向量 a 共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数 ,使 b = a ；9平面对量基本定理：假如 1e ,e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 1, 2使 a= 1 1e + 2 e ；1不共线向量 1e 、e 2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底；2基底不惟一,关键是不共线；3由定理可将任一向量 a 在给出基底 1e 、e 的条件下

5、进行分解；4基底给定时,分解形式惟一 . 1, 2是被 a ,1e ,e 唯独确定的数量；10. 向量 a 和 b 的数量积： a b =| a |b |cos,其中0, 为 a 和 b 的夹角； |b |cos称为 b 在 a 的方向上的投影；ab的几何意义是：b的长度| b |在 a 的方向上的投影的乘积,是一个实数（可正、可负、也可是零）,而不是向量；如 a=（x ,1y ）, b =（x2,y ）, 就abx 1x 2y 1y 2c；运算律： ab=ba, ab=a b= （ab）, （a+b）c=a c+b a 和 b 的夹角公式： cos=a abx12x1x2y1y2y2by2

6、1x2 22aaa2| a | 2=x2+y2,或 |a |=x2y2a2| ab | a | | b |；11两向量平行、垂直的充要条件设 a=（1x ,y ） , b =（x ,y ）abab=0 ,abab =1x2x +y 1y =0；a /b（ a 0 ）充要条件是：有且只有一个非零实数 ,使 b = a ；a/bx 1y2x2y 10向量的平行与垂直的坐标运算留意区分,在解题时简洁混淆；12.点 P 分有向线段P 1P 2所成的比的：P 1PPP 2,P 内分线段P 1P 2时,0 ; P外分线段P 1P 2时,0. 定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式：xx1x21、x

7、x 12x2、x 1x2x 3,y 1y2y31yy 1y2yy 1y23321三、考点剖析考点一 ：向量的概念、向量的基本定理【内容解读】明白向量的实际背景,把握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念,懂得向量的几何表示,把握平面对量的基本定理；留意对向量概念的懂得,向量是可以自由移动的,平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小,它们的模可比较大小；假如 e 和 e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量 a 有且只有一对实数 1、2,使 a =1 1 e +2 e . 留意：如 e 和 e 是同一平面内的两个不共线向量,【命题规律】 有关向量概念

8、和向量的基本定理的命题,主要以挑选题或填空题为主,考查的难度属中档类型；例 1、（ 2022 上海）直角坐标系ixOy 中, i, 分别是与 x,y轴正方向同向的单位向）量在直角三角形ABC 中,如AB2j,AC3 ikj,就 k 的可能值个数是 （ 1 2 3 4 解： 如图,将 A 放在坐标原点,就B 点坐标为 2,1,C 点坐标为 3,k,所以 C点在直线 x=3 上,由图知,只可能A 、B 为直角, C 不行能为直角所以k 的可能值个数是2,选 B 点评 ：此题主要考查向量的坐标表示,采纳数形结合法,奇妙求解,表达平面对量中的数形结合思想；例 2、（2022 陕西）如图,平面内有三个向

9、量OA 、 OB 、OC ,其中与 OA 与OB 的夹角为 120 , OA 与 OC 的夹角为 30 ,且|OA |OB |1,| OC | 23,如 OC OA + OB （ , R）, 就 + 的值为 . 解：过 C 作 OA与 OC 的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形, 由角 BOC=90 角 AOC=30 , OC =23得平行四边形的边长为2 和 4,2+4=6 点评 ：此题考查平面对量的基本定理,向量 OC 用向量 OA 与向量 OB 作为基底表示出来后,求相应的系数,也考查了平行四边形法就；考点二 ：向量的运算【内容解读】 向量的运算要求把握向量的加减法运算,会用平行四

10、边形法就、三角形法就进行向量的加减运算；把握实数与向量的积运算,懂得两个向量共线的含义,会判定两个向量的平行关系； 把握向量的数量积的运算,体会平面对量的数量积与向量投影的关系,并懂得其几何意义, 把握数量积的坐标表达式,会进行平面对量积的运算,能运用数量积表示两个向量的夹角,会用向量积判定两个平面对量的垂直关系；【命题规律】命题形式主要以挑选、填空题型显现,难度不大,考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算,有时也会与其它内容相结合；例 3、2022 湖北文、理 设 a=1,-2,b=-3,4,c=3,2,就a+2bc=（）A. 15,12 B.0 C. 3 D.11 解：a+

11、2b1, 2 2 3,4 5,6 , a+2bc 5,6 3,2 3 ,选 C 点评 ：此题考查向量与实数的积,留意积的结果仍是一个向量,向量的加法运算,结果也是一个向量,仍考查了向量的数量积,结果是一个数字；例 4、2022 广东文 已知平面对量a ,12 ,b,2m ,且 a b,就2 a3 b=（）A （ -2, -4）B. （-3,-6）C. （-4,-8）D. （ -5,-10）解：由 a b ,得 m 4,所以,2 a3 b（ 2, 4）（ 6, 12）（ 4, 8）,应选（ C）；点评 ：两个向量平行,其实是一个向量是另一个向量的 的公式,简洁与向量垂直的坐标运算混淆；倍,也是共

12、线向量, 留意运算例 5、2022 海南、宁夏文 已知平面对量 a =（ 1, 3）, b =（4, 2）,a b与 a垂直,就 是（）A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 解：由于 a b 4, 3 2 , a 1, 3 , a b a4 3 3 2 0 ,即 10 10 0 1,选点评 ：此题考查简洁的向量运算及向量垂直的坐标运算,留意不要显现运算出错,由于这是一道基础题,要争取满分；例 6、2022 广东理 在平行四边形ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与CD 交于点 F. 如ACa, BD, b,就 AF（）12 3bA 1 4a1

13、bB.2 3a1bC. 1 2aD. 1 3ab2341 2b解:AO1a,ADAOOD1a22AE1AOAD11a1b1a1a1b, 2222224由 A 、E、 F 三点共线 ,知AFAE,1而满意此条件的挑选支只有B,应选 B. 点评 ：用三角形法就或平行四边形法就进行向量的加减法运算是向量运算的一个难点,表达数形结合的数学思想；5a例 7、（2022 江苏 ）已知向量 a 和 b 的夹角为0 120 , |a| 1,|b| 3,就 |5 a2 3b|49,解：5 ab25 ab22 25 a10 a b2 b =2 25 1110 1 32b7 点评 ：向量的模、向量的数量积的运算是常

14、常考查的内容,难度不大,只要细心,运算不要显现错误即可；考点三 ：定比分点【内容解读】 把握线段的定比分点和中点坐标公式,成比时,可借助图形来帮忙懂得；并能娴熟应用, 求点分有向线段所【命题规律】重点考查定义和公式,主要以挑选题或填空题型显现,难度一般；由于向量应用的广泛性,常常也会与三角函数,解析几何一并考查,如显现在解答题中,难度以中档题为主,有时也以难度略高的题目；例 8、2022 湖南理 设 D、E、F 分别是ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且DC 2 BD , CE 2 EA , AF 2 FB 就 AD BE CF 与 BC A. 反向平行 B.同向平行 C.相互垂直 D

15、.既不平行也不垂直解：由定比分点的向量式得BE1 3BC2BA,3ADBECF: AD AC 2 AB 1AC 2AB同理,有：1 2 3 3CF 1CA 2CB , 以上三式相加得3 31BC , 所以选 A. 3点评 ：利用定比分点的向量式,及向量的运算,是解决此题的要点 . 考点四 ：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考常常显现的问题,考查了向量的学问,三角函数的学问,达到了高考中试题的掩盖面的要求；【命题规律】 命题以三角函数作为坐标,以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合,也有向量与三角函数图象平移结合的问题,属中档偏易题；例 9、 （ 2022

16、深圳福田等）已知向量 a 3 sin , cos , b cos , cos ,函数f x 2 a b 11求 f x 的最小正周期 ; 2当 x , 时 , 如 f x 1, 求 x 的值6 2解：1 f x 2 3sin x cos x 2cos 2x 1 3sin 2 x cos2 x 2sin2 x . 6所以, T. 2 由 f x 1, 得 sin 2 x 1,6 2x , ,2 x , 7 2 x 5x6 2 6 2 6 6 6 3点评 ：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点,但通常难度不大,一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件,并结合简洁的向量运算,而考查的主体

17、部分就是三角函数的恒等变换,以及解三角形等学问点 . 例 10、（2022 山东文）在ABC 中,角 A, ,C 的对边分别为 a, , ,tan C 3 7（1）求 cosC ；（2）如CBCA5,且ab9,求 c 1 8ab202解：（ 1）tanC3 7,sinC3 7cosC又sin2C2 cosC1解得cosCtanC0,C 是锐角cosC18（2）由CBCA5,abcosC5,22又ab9a22abb281a2b241c2a2b22 abcosC36c6点评 ：此题向量与解三角形的内容相结合,考查向量的数量积,余弦定理等内容；例 11、（2022 湖北） 将 y 2cos x 的图

18、象按向量 a ,2 平移,就平移后所3 6 4得图象的解析式为（）y 2cos x 2 y 2cos x 23 4 3 4y 2cos x 2 y 2cos x 23 12 3 12 解：由向量平移的定义, 在平移前、后的图像上任意取一对对应点 P x y,P x y , 就 a,2 P P x x , y y x x , y y 2,代入到已知解析式中可4 4得选点评 ：此题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本学问,以平移公式切入,为中档题；留意不要将向量与对应点的次序搞反,或死记硬背以为是先向右平移4个单位,再向下平移 2 个单位,误选考点五 ：平面对量与函数问题的交汇【内容解读】 平面

19、对量与函数交汇的问题,主要是向量与二次函数结合的问题为主,要留意自变量的取值范畴；【命题规律】命题多以解答题为主,属中档题；例 12、（2022 广东六校联考）已知向量a cos3 x,sin 23 x,b 2cosx ,sin2x,2且 x0,2 （1）求ab（2）设函数fxab+ab,求函数fx 的最值及相应的x 的值；sinx2解：（ I） 由已知条件：0 x2, 得：abcos3 xcosx,sin3xsinxcos3xcosx 22sin3x222222222cos 2x2sinx（ 2）fx2sinxcos3xcosxsin3xsinx2sinxcos2x22222sin2x2si

20、nx12sinx12322由于：0 x2,所以：0sinx1所以,只有当：x1时,fmaxx 322x0,或x1 时,fminx 1点评 ：此题考查向量、三角函数、二次函数的学问,经过配方后,变成开口向下的二次函数图象,要留意 sinx 的取值范畴,否就简洁搞错；考点六 ：平面对量在平面几何中的应用【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示在引入向量的坐标表示后,使向量之间的运算代数化,这样就可以将“ 形” 和“ 数” 紧密地结合在一起因此,很多平面几何问题中较难解决的问题,都可以转化为大家熟识的代数运算的论证也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中,给予几何图形有关点与平面对量详细的坐标,这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决【命题规律】命题多以解答题为主,属中等偏难的试题；例 13、如图在 RtABC 中,已知 BC=a,如长为 2a 的线C a C y Q x 段 PQ 以 A 为中点,问 PQ 与 BC 的夹角取何值时, BP CQ的值最大？并求出这个