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文档简介
1、(8)空间向量与立体几何高考数学一轮复习空间向量与立体几何创新+素养限时练1.取两个相互平行且全等的正n边形,将其中一个旋转一定角度,连接这两个多边形的顶点,使得侧面均为等边三角形,我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当时,得到如图所示棱长均为2的“六角反棱柱”,则该“六角反棱柱”外接球的表面积等于( )A.B.C.D.2.在正方体中,三棱锥的内切球的表面积为,则正方体外接球的体积为( )A.B.C.D.3.如图,在棱长为2的正方体中,分别是的中点过的平面与平面EFG平行,以平面截该正方体得到的截面为底面,为顶点的棱锥记为棱锥,则棱锥的外接球的表面积为( )A.B.C.D.4.如图,在所有棱长
2、均相等的直三棱柱中(侧棱与底面垂直的三棱柱),E是的中点,则下列结论中错误的选项是( )A.平面B.异面直线AE与所成角的正切值为 C.平面D.三棱锥的体积是三棱柱体积的5.已知正方体的棱长为2,E,F分别为AD,DC的中点,则下面结论错误的是( )A.EF与所成的角为45B.C.平面截正方体所得的截面面积为D.三棱锥的体积为6. (多选)如图,在正方体中,点在线段上运动,则( )A.直线平面B.三棱锥的体积为定值C.异面直线与所成角的取值范围是D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为7. (多选)已知三点均在球O的表面上,且球心O到平面的距离等于球半径的,则下列结论正确的是( )A.球O的表面
3、积为B.球O的内接正方体的棱长为1C.球O的外切正方体的棱长为D.球O的内接正四面体的棱长为28.在四面体中,若二面角的大小为150,则四面体的外接球的半径为_.9.在直三棱柱中,则异面直线与所成的角为_.10.在四棱锥中,且.(I)证明:平面平面;()若直线与平面所成的角的正弦值为,求二面角的余弦值.答案以及解析1.答案:B解析:本题以新定义立体图形为背景考查多面体外接球表面积的计算.如图,设上、下正六边形的中心分别为,连接,则其中点O即为所求外接球的球心.连接,取棱AB的中点M,作于点N,连接,则.而,则,则.连接,设所求外接球的半径为R,则有,该“六角反棱柱”外接球的表面积.故选B.2.
4、答案:B解析:设正方体的棱长为a,则.因为三棱锥的内切球的表面积为,所以该三棱锥的内切球的半径为1.设三棱锥的内切球的球心为O,到平面的距离为h,则,即,所以.又,所以,即.又正方体的外接球的直径长为正方体的体对角线长,所以正方体外接球的半径为,其体积为,故选B.3.答案:B解析:如图(1)所示,分别取中点P,Q,S,R.依次连接M,P,Q,N,R,S得到正六边形,易知该六边形所在的平面与平面EFG平行,所以该六边形就是截面设该棱锥的外接球球心为O,半径为,如图(2)所示,连接MN,SQ,PR相交于点K,连接,则球心O在线段上,易知,得到,所以,则外接球的表面积为.4.答案:B解析:如图,连接
5、,由题意可知是等边三角形,E是的中点,所以.在直三棱柱中,所以平面,故选项A正确;在三棱柱中,异面直线AE与所成角即为与AE所成角.设直三棱柱的棱长为a,则,所以在中,故选项B错误;在三棱柱中,由线面平行的判定定理可知平面,故选项C正确:由棱锥和棱柱的体积公式可知选项D正确,故选B.5.答案:C解析:对于选项A,即为EF与所成的角,且,故选项A正确;对于选项B,故选项B正确;对于选项C,平面截正方体所得的截面为梯形,且,则梯形的高,截面面积,故选项C错误;对于选项D,连接BD交EF于点H,可知平面,故选项D正确,故选C.6.答案:ABD解析:对于选项A,连接,易知,且平面,则,所以平面,故;同
6、理,连接,易证得.故平面,故A正确.对于选项B,因为点在线段上运动,所以,面积为定值,又到平面的距离即为到平面的距离,也为定值,故三棱锥的体积为定值,B正确.对于选项C,当点与线段的端点重合时,与所成角取得最小值,为,故C错误.对于选项D,因为直线平面,所以若直线与平面所成角的正弦值最大,则直线与直线所成角的余弦值最大,此时位于的中点处,即所成角为,设正方体棱长为1,在中,故D正确.故选ABD.7.答案:AD解析:设球O的半径为r,的外接圆圆心为,半径为R.易得.因为球心O到平面的距离等于球O半径的,所以,得.所以球O的表面积,选项A正确;球O的内接正方体的棱长a满足,显然选项B不正确;球O的外切正方体的棱长b满足,显然选项C不正确;球O的内接正四面体的棱长c满足,选项D正确.8.答案:解析:过等边三角形的中心作平面的垂线,取的中点E,过点E作平面的垂线.设,则点G为四面体的外接球的球心.因为是边长为2的等边三角形,所以.因为二面角的大小为150,所以.所以在中,.所以四面体的外接球的半径为.9.答案:解析:将直三棱柱补成长方体,连接.即为异面直线与所成的角,平面,平面.,.在中,.又,.10.答案:(I)见解析()解析:(I)证明:设,因为,则,则,所以,即.又,所以平面.又平面,所以.又,所以平面,即平面.又平面,所以平面平面.()由题意,以A为坐标原点,所在直线分别为轴建立
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