专题1：截长补短造全等

1、专题01截长补短模型构造全等三角形1.如图，在 ABC 中，AD 平分 ABAC , ZB = 2ZADB , AB = 5 , CD 二 6，求 AC 的长【详解】在AC上截取AE=AB【详解】在AC上截取AE=AB，连接DE,EAD 平分口BAC，DDBAD=DDAC，在口ABD 和DAED 中，” AE = AB ZBAD = ZDAC，DDABDDDAED (SAS)，AD = ADB=DAED，DADB =DADE， AB=AE，又口B=2DADBAED=2DADB，BDE=2ADB，AED=mC+DEDC=2DADB, BDE=DC+DDEC=2DADB,DEC =DEDC, mC

2、D=CE, AB = 5，CD = 6，AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11.2 如图，DABC 中，E 在 BC 上, D 在 BA 上，过E 作 EFDAB 于 F, B=D1+D2, AB =4CD, BF= 3，则AD的长为.【答案】3【答案】3【详解】在FA上取一点厂，使得F7=BF,连接，在CB上取一点K,使得CK=ET,连接 DK. DEB=ET, B=DETB, ETB=D1+DAET, DB=D1+D2, AET=D2,AE=CD, ET=CK, DDAETDDDCK(SAS), DDK=AT, DATE=nDKC,8DDETB=DDKB, DDB=DDKB, D

3、DB=DK, UBD=AT, UAD=BT, DBT=2BF=,38 8 uAD= 3，故答案为：33如图，AB CD , BE平分ZABC , CE平分ZBCD，点e在ad上，求证:BC = AB + CD.证明：在BC上取点F,使BF=BA,连接EF, DBE. CE分别是口ABC 和DBCD的平分线,AB = FB1=口2, 口3=口4,在DABE 和DFBE 中, Z1 = Z2 ,、BE = BE ABEDDFBE(SAS), DDA=D5, DABDCD, A+DD=180, DD5+DD=180,5+口6=180。，口口6=口。，在DCDE 和DCFE 中,Z6 = ZD Z3

4、= Z4 ,CE = CE CDEMCFE(AAS), DCF=CD. DBC=BF+CF, DBC=AB+CD.4如图，ABDCD, BE平分口ABC, CE平分口BCD,若E在AD上.求证： BEDCE； (2)BC=AB+CD.【解答】证明：如图所示:OBE、CE 分另 是口 ABC 和 DBCD 的平分线，口口1=口2, 口3=口 4,又口 ABDCD,1+口2+口3+口4=180, 口口2+口3=90, BEC=90, OBEOCE.在BC上取点F,使BF=BA,连接EF.在 OABE 和OFBE 中，上 1 =艺2, ABEOOFBE (SAS), 口口/=口5. OABOCD,B

5、E=BEA+OD=180, 5+OD=180, 口口5+口6=180, DD6=DD,V6=ZD在 OCDE 和 OCFE 中，厶二 Z4, CDEOOCFE (AAS),二 CECF=CD. OBC=BF+CF, OBC=AB+CD,5 如图所示，在五边形 ABCDE 中，AB=AE, BC+DE=CD, ABC+DAED=180，求证：DA解：连接/C,延长DE到F,使EF=BC,连接AF,DBC+DE=CD, EF+DE=DF, UCD=FD, ABC+QAED=180。，DAEF+DAED=180,AB=AEnnABC=DAEF，在口ABC 和DAEF 中，,怔C二ZAEF, DOAB

6、CDOAEF (SAS),lbc=efAC=AFDAC=AF，在 DACD 和DAFD 中，“CP二FD, DDACDDDAFD (SSS),AE=AD ADC=ADF,I卩 AD 平分DCDE.6.如图，DABCD中，E是BC边的中点，连接AE, F为CD边上一点，且满足DFA=2DBAE.(1)若DD=105, DDAF=35.求DFAE 的度数；(2)求证：AF=CD+CF.【解答】(1)解：DulOS。，DDAF=35, DFA=180 - DD - DDAF=40 (三角形内角和定理）.四边形ABCD是平行四边形,DABDCD, AB=CD （平行四边形对边平行且相等）.DEA=DE

7、AB=40 （两直线平行，内错角相等）；DFA=2DBAE （已知），FAB=2BAE （等量代换）.即口FAE+DBAE=2DBAE. FAE=DBAE； 2FAE=40, FAE=20；（2）证明：在AF上截取AG=AB,连接EG, CG. FAE=BAE, AE=AE, AEGDDAEB.EG=BE, B=AGE；又E 为 BC 中点，DCE=BE.EG=EC, EGC=DECG； ABCD, B+DBCD=180.又AGE+DEGF=180。，AGE=B, BCF=DEGF；又EGC=DECG, FGC=DFCG, mFG=FC；又口AG=AB, AB=CD,AF=AG+GF=AB+F

8、C=CD+FC.7 如图，在四边形ABCD 中，AB=AD, BAD=60。，BCD=120。，连接AC, BD 交于点 E.若BC=CD=2, M为线段AC上一点，且AM： CM=1： 2,连接BM,求点C到BM的距离.(2)证明：BC+CD=AC.解：（1） OAB=AD, BAD=60。， QABD 是等边三角形，ABD=DADB=60.BC=CD, QQABCQQADC,QBAC=QDAC=30, QACB=QACD=60. QQAEB=QBEC=90, QABC=90。,CE= BC=1, BE=3, AC=2BC=4. QAM： CM=1： 2,4gbAM= , CM= , QEM

9、=，在RtQBEM中由勾股定理得11-JBM= : g泸+奇）2 =三严过点C作CFDBM于点F. ,CF=.即点C到BM的距离总21313C 证明：延长BC到点F,使CF=CB,连接DF,C AB=AD, ABD=60。，ABD 是等边三角形，ADB=60。，AD=BD，BC=CD，CF=CD.BCD=120, DCF=180。- BCD=60。，DCF 是等边三角形，CDF=DADB=60。，DC=DF,ADC=BDF，又口AD=BD，ACDBDF，DAC=BF=BC+CF，即 AC=BC+CD.8如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP,过点B作BEDDP交DP的延长线于点E

10、,连接AE,过点A作AFAE交DP于点F,连接BF.若 AE=2,求 EF 的长；(2)求证：PF=EP+EB.ADBADB解：（1） 四边形ABCD是正方形，且BEDDP, AFDAE,AB=AD, DBAD=DEAF=DBEF=90, 1+DFAB=D2+DFAB=90, 1=口2. 口口3+口5=口4+口6，且口5=口6, 口口3=口4.rZ2=Zl在AEB 和AFD 中, 怔二AD , AEBAFD,:Z4=Z3AE=AF=2, 在 RtDEAF 中，由勾股定理，得EF=J 2+2 22过点 A 作 AMDEF 于 M,且口EAF=90, AE=AF,EAF为等腰直角三角形.AM=MF

11、=EM. AME=DBEF=90.点P是AB的中点，mAP=BP在DAMP和DBEP中，rZAME=ZBEP三 56, AMP BEP, BE=AM, EP=MP, MF=BE,:AP=BPPF=PM+FM=EP+BE.9 如图，在口ABC 中，ABAC = 60。, ZACB = 40。, P、Q 分别在 BC、CA 上，并且 AP、BQ分别是BBAC、ABC的角平分线.求证：(1) BQ 二 CQ ；(2) BQ + AQ = AB + BP .1证明：DBQ是ZABC的角平分线，口 ZQBC二ZABC口 ZABC+Z ACB +Z BAC = 180，且 ZBAC = 60。, ZACB

12、 = 40。1口 ZABC = 80 , 口 ZQBC = 一x 80 = 40 , 口 ZQBC = ZC , 口 BQ = CQ证明：延长AB至M,使得BM = BP，连结MP. 口 ZM = ZBPMABC 中 ZBAC = 60 , ZC = 40 , 口 ZABC = 80 , DBQ 平分 ZABC口 ZQBC = 40 = ZC , BQ = CQ , 口 ZABC = ZM +ZBPMZM =ZBPM = 40 = ZC , AP 平分 ZBAC, ZMAP = ZCAP 在AMP 和 ACP 中,ZM = ZCZMAP = ZCAP , AMPDDACP, AM = AC ,

13、AP = APAM = AB + BM = AB + BP , AC = AQ + QC = AQ + BQAB + BP = AQ + BQ10在四边形ABDE中，C是BD边的中点.（1）如图（1）,若AC平分DBAE, DACE=90,则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关 系为AE=AB+DE ；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分DBAE, EC 平分OAED,若口ACE=120，则线段 AB、BD、DE、 AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），BD=8, AB=2, DE=8,若ACE=135。，则线段AE长度的最大值是 10+4辽 .（直接写出答

14、案）.图C2)圉图图C2)圉图证明：在AE上取点F,使AF=AB,连结CF,在AE上取点G,使EG=ED,连结CG.图图 C 是 BD 边的中点，DCB=CD= BD. DAC 平分UBAE, BAC=DF4C.在UACB和UACF中,AB=AFZBAC=ZFAC UUACBUUACF (SAS), UCF=CB, BCA=UFCA.tAC=AC同理可证：CD=CG, DCE=UGCE.DCB=CD, CG=CFDDACE=120o,BCA+DDCE=180o - 120o=60. FCA+GCE=60o. FCG=60o.fgc是等边三角形.口尸。=尸*寺厂.ae=af+eg+fg. ae=ab+de+ bd. 2作B关于AC的对称点F, D关于EC的对称点G,连接AF, FC, CG, EG, FG.EC 是BD 边的中点，CB=CD