2023年广东省普通高中数学学业水平合格性考试真题卷含答案

2023年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试真题卷(时间：90分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M＝{0，1，2}，N＝{－1，0，1}，则M∪N＝()A．{0，1} B．{0，1，2}C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1}2．下列函数中，在定义域内是增函数的是()A．f(x)＝－x B．f(x)＝x2C．f(x)＝3x D．f(x)＝eq\f(1,x)3．已知x>0，y>0，且xy＝36，则x＋y的最小值是()A．10 B．12C．13 D．154．不等式(x－5)(x＋2)>0的解集是()A．{x|x<－2或x>5} B．{x|x<－5或x>2}C．{x|－2<x<5} D．{x|－5<x<2}5．已知向量a＝(2，0)，b＝(－1，2)，则a＋b＝()A．(1，2) B．(3，－2)C．(2，1) D．(－3，2)6．下列函数中，是对数函数的是()7．已知角α的顶点与坐标点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过P(1，eq\r(3))，则tanα的值为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\r(3)8．某人连续投篮两次，则他至少投中一次的对立事件是()A．至多中一次 B．两次都投中C．只投中一次 D．两次都没投中9．要使f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,6)))是正弦函数，则正弦图像()A．向左平移eq\f(1,6)个单位 B．向右平移eq\f(1,6)个单位C．向左平移eq\f(π,6)个单位 D．向右平移eq\f(π,6)个单位10．已知α，β是两个不同平面，A：α∥β，B：α与β没有公共点，则A是B的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0,2x，x≤0))，若a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))，则f(a)的值为()A．－2 B．－1C．eq\f(1,10) D．eq\f(1,2)12．a2＋b2＝c2，则a、b和c三个数称之为勾股数，3，4，12，13任取两个，能和5组成勾股数的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．13．已知复数z＝－1＋(m－2)i，要让z为实数，则m为________．14．f(x)＝cos2x的最小正周期为________．15．棱长为2的正方体的内切球的直径为________．16．已知向量a和b的夹角为90°，|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，则a·b＝________．17．已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，选派该校学生参加志愿者活动，采用分层抽样的方法选取27人，则高二抽取的人数为________．18．函数f(x)是偶函数，x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________．三、解答题：本大题共4个小题，第19～21题各10分，第22题12分，共42分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2，c＝eq\f(2\r(3),3)，B＝60°.(1)求C；(2)求a.20．甲和乙射箭，两人比赛的分数结果如下：甲868659乙6778104求甲和乙分数的平均数和方差，说明甲和乙发挥的情况．21．某企业十年内投资一个项目，2022年投资200万元，之后每一年的投资数额比前一年增长10%.(1)求该企业2024年在该项目的投资金额；(2)该企业在哪一年的投资金额将达到400万元？22．如图，圆的直径为4，直线PA垂直圆所在的平面，C是圆上的任意一点．(1)证明BC⊥面PAC.(2)若PA＝2eq\r(2)，AC＝2，求PB与面PAC的夹角．参考答案1．C由题得，求并集，得M∪N＝{－1，0，1，2}，故选C.2．C由题得，在定义域内是增函数，选项A为一次函数，为减函数，不符合题意；选项B为二次函数，开口向下，在(0，＋∞)为增函数，在(－∞，0)为减函数，不符合题意；选项C是指数函数，为增函数，符合题意；选项D是反比例函数，不符合题意，故选C.3．B由均值定理得，x＋y≥2eq\r(xy)＝2eq\r(36)＝2×6＝12，故选B.4．A令x－5＝0，所以x＝5，令x＋2＝0，所以x＝－2，大于号取两边，得{x|x<－2或x>5}，故选A.5．A由题得，a＋b＝(2，0)＋(－1，2)＝(2＋(－1)，0＋2)＝(1，2)，故选A.6．A由题得，对数函数恒过定点(1，0)，故选A.7．D由题得，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3)，故选D.8．D至少投中一次，可能是一次或者两次，则他的对立事件是两次都没有投中，故选D.9．A由题得，左加右减，正弦函数y＝sinx向左平移eq\f(1,6)个单位，可得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,6)))，故选A.10．C因为α，β是两个不同的平面，所以“α∥β”，可得到α，β没有公共点，反之也成立，所以是充要条件，故选C.11．D由题得，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))＝lgeq\f(1,10)＝lg10－1＝－1，所以a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))＝－1，则f(a)＝f(－1)＝2－1＝eq\f(1,2).故选D.12．B由题得，3，4，12，13四个数抽取2个数，总的事件有Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(4×3,2×1)＝6(件)，与5能组成勾股数的有(3，4)，(12，13)共2组，所以概率为P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故选B.13．解析：由题得，Z为实数，即虚部为零，得m－2＝0，所以m＝2.答案：214．解析：由题得，函数最小正周期为T＝eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(2π,2)＝π.答案：π15．解析：正方体内切球的直径等于其棱长，所以棱长为2的正方体的内切球的直径为2.答案：216．解析：由题得，a·b＝a·bcos90°＝2×eq\r(3)×0＝0.答案：017．解析：设高二抽取人数为x，得eq\f(450,400＋450＋500)＝eq\f(x,27)，解得x＝9.答案：918．解析：由题得，x≥0时，f(1)＝1×(1＋1)＝2，因为该函数是偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝2.答案：219．解：(1)由题得，由正弦定理得，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，代入得，eq\f(2,\f(\r(3),2))＝eq\f(\f(2\r(3),3),sinC)，解得sinC＝eq\f(1,2)，因为0<C<π，所以C＝30°.(2)由余弦定理cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)得，eq\f(1,2)＝eq\f(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2)－22,2a×\f(2\r(3),3))，解得a＝eq\f(4\r(3),3).20．解：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(8＋6＋8＋6＋5＋9,6)＝eq\f(42,6)＝7，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(6＋7＋7＋8＋10＋4,6)＝eq\f(42,6)＝7，Seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(8－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2]＝eq\f(1,6)(1＋1＋1＋1＋4＋4)＝eq\f(12,6)＝2，Seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(10－7)2＋(4－7)2]＝eq\f(1,6)(1＋0＋0＋1＋9＋9)＝eq\f(20,6)＝eq\f(10,3)<2，因为Seq\o\al(2,甲)<Seq\o\al(2,乙)，所以甲发挥的更稳定．21．解：(1)设n为2022年后的第n年(n≥1)，xn为2022年后第n年的投资额．之后每一年的投资额比前一年增加10%.xn＝200(1＋10%)n，当n＝2，x2＝200(1＋10%)2＝242万，所以该企业2024年在该项目的投资金额是242万元．(2)当xn＝400时，200(1＋10%)n＝400，所以1.1n＝2，所以n＝log1.12，解得n＝7.4，所以2022＋7.4＝2029.4，所以在2030年的投资金额将达到400万元．22．(1)证明：因为AB是圆的直径，C是圆上一点，所以AC⊥BC，因为PA⊥面ABC，且BC⊂面ABC，所以PA⊥BC，由BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，AC⊂面PAC，PA⊂面PAC，所以BC⊥面PAC.(2)解：因为BC⊥面PAC，则PB与面PAC的夹角为∠BPC，在Rt△P