空间向量与空间角练习题

1、空间向量与空间角练习题空间向量与空间角练习题14/14空间向量与空间角练习题课时作业(二十)学业水平层次一、选择题1若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150，则l1与l2所成的角为()A30B150C30或150D以上均不对【分析】l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为0，2.应选A.【答案】A2已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为()522522A.66B66522522C.22D22【分析】AB(2，2，1)，CD(2，3，3)，5522ABCDcosAB，CD|66

2、，|322ABCD522直线AB、CD所成角的余弦值为66.【答案】A3正方形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，若PAAB，则平面PAB与平面PCD的夹角为()A30B45C60D90【分析】如下图，成立空间直角坐标系，设PAAB1.则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)于是AD(0,1,0)取PD中点为E，1则E0，2，2，11AE0，2，2，易知AD是平面PAB的法向量，AE是平面PCD的法向量，cos2AD，AE2，平面PAB与平面PCD的夹角为45.【答案】B4(2014陕西师大附中高二检测)如图3-2-29，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCDA1B1

3、C1D1为长方体，AA1AB2AD，点E、F分别为C1D1、A1B的中点，则二面角B1-A1B-E的余弦值为()图3-2-293333A3B2C.3D.2【分析】设1，则1(1,0,2)，(1,2,0)，由于、分别ADABEF为C1D1、A1B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以A1E(1,1,0)，A1B(0,2，2)，设m(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则xy0，yx，A1Em0，所以取x1，则2y2z0，所以yz，ABm0，1yz1，所以平面ABE的一个法向量为m(1,1,1)，又DA平面1ABB，所以DA(1,0,0)是平面ABB的一个法向量，所以cosm，DA1

4、11113mDAAB-E为锐二面角，所以二面角33，又二面角B-11|m|DA|B-AB-E的余弦值为33，应选C.11【答案】C二、填空题5棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是_【分析】依题意，成立如下图的坐标系，则A(1,0,0)，11M1，2，1，C(0,1,0)，N1，1，2，11AM2CN2122cosAM，CN555，222故异面直线AM与CN所成角的余弦值为5.2【答案】56(2014临沂高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2,0)、B(2,1，6)，则向量AB与平面xOz的法向量的夹

5、角的正弦值为_【分析】设平面xOz的法向量为n(0，t,0)(t0)，AB(1,3，3tnAB6)，所以cosn，AB4|t|，由于n，AB0，|n|AB|3t27，所以sinn，AB14|t|4.7【答案】47已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_【分析】如图，成立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2(x，y，z)所以(1,0,0)，E1，1，1，F0，1，2，A33所以0，1，1，1，0，1，AE3EF312y3z0

6、，即则1n2EF0，x3z0.2取x1，则y1，z3.故n(1，1,3)n1n2311所以cosn1，n2|n1|n2|11.所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角知足cos31122211，sin11，所以tan3.【答案】23三、解答题如图3-2-30所示，在四周体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CACBCDBD2，ABAD2.图3-2-30求证：AO平面BCD；求异面直线AB与CD所成角的余弦值【解】(1)证明：连接OC，由题意知BODO，ABAD，AOBD.又BODO，BCCD，COBD.在AOC中，由已知可得AO1，CO3，222又AC2，AOCOAC，AOC90，

7、即AOOC.BDOCO，AO平面BCD.以O为坐标原点成立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，3，0)，A(0,0,1)，13，E，2，023，0)，BA(1,0,1)，CD(1，CD2cosBA，CD4.|BA|CD|2异面直线AB与CD所成角的余弦值为4.9四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上求证：平面AEC平面PDB；当PD2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小【解】如图，以D为原点成立空间直角坐标系Dxyz，设ABa，PDh，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，

8、h)，AC(a，a,0)，DP(0,0，h)，DB(a，a,0)，ACDP0，ACDB0，ACDP，ACDB，又DPDBD，AC平面PDB，又AC?平面AEC，平面AEC平面PDB.(2)当PD2AB且E为PB的中点时，P(0,0，2a)，E1，1，2，2a2a2aa设ACBDO，O2，2，0，连接OE，由(1)知AC平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所成的角，1，1，22EA，EO，2a2a2a002a2EAEOcosAEO2，|EA|EO|AEO45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.能力提高层次1已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E是侧棱BB1的

9、中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为()A60B90C45D以上都不对【分析】以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，成立空间直角坐标系，如图由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，所以A1E(0,1，1)，D1E(1,1，1)，EA(0，1，1)设平面A1ED1的一个法向量为n(x，y，z)，yz0，nA1E0，则?xyz0.nD1E0令z1，得y1，x0，所以n(0,1,1)，2nEAcosn，EA1.22|n|EA|所以n，EA180.所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90.【答案】B2在空间中，已知平

10、面过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a0)，假如平面与平面xOy的夹角为45，则a_.【分析】平面xOy的法向量为n(0,0,1)，设平面的法向3x4y0，量为u(x，y，z)，则3xaz0，aa即3x4yaz，取z1，则u3，4，1.而cosn，u12a2a22，916112又a0，a5.12【答案】5三棱柱ABC-A1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()图3-2-3155A.5B.3253C.5D.5【分析】不如设CACC12CB2，则AB1(2,2,1)，C1B(0，2,1)，AB1C1B所以cosAB1，C1B|AB1|C1B

11、|2022115955.115由于直线BC与直线AB夹角为锐角，所以所求角的余弦值为5.【答案】A如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点图3-2-32求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值【解】(1)以A为坐标原点，成立如下图的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以A1B(2,0，4)，C1D(1，1，4).18310A1BC1D由于cosAB，CD10，11201811|AB|CD|310所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为10.设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，由于AD(1,1,0)，