大学数学(高数微积分)第二章行列式第七节课件(课堂讲解)

1、主要内容非齐次线性方程组克拉默法则第七节 克拉默 (Cramer) 法则齐次线性方程组克拉默法则现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知数的个数相等的情形.以后会看到，这是一个重要的情形.至于更一般的情形留到下一章讨论.下面我们将得出与二元和三元线性方程组相仿的公式.一、非齐次线性方程组克拉默法则定理 5 (克拉默法则) 如果线性方程组的系数矩阵的行列式d = | A | 0,那么线性方程组 (1) 有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为其中 dj 是把矩阵 A 中第 j 列换成方程组的常数项b1, b2, , bn 所成的矩阵的行列式，即证明1. 把方程组首先来

2、证明把 (3) 代入第 i 个方程，左端为因为简写为的确是 (1) 的解.所以根据第六节的有这与第 i 个方程的右端一致.也就是说方程组确为的解.2. 设 (c1, c2, , cn) 是方程组于是有 n 个恒等式为了证明我们取系数矩阵中第 k 列元素的代数余子式 A1k, A2k, , Ank , 用它们分别乘以中 n 个恒等式，有的一个解，这还是 n 个恒等式.把它们加起来，即得等式右端等于在行列式 d 按第 k 列的展开式中把 aik分别换成 bi (i = 1, 2, , n)，因此，它等于把行列式d 中第 k 列换成 b1, b2, , bn 所得的行列式，也就是 dk .再来看左端

3、由上节中的公式当 j = k,当 j k,所以于是等式就变成dck = dk , k = 1, 2, , n .也就是这就是说，如果(c1, c2, , cn) 是方程组的一个解，它必为即解唯一.证毕例 1 任意输入一个未知数个数与方程个数相等的线性方程组，判断其是否能由克拉默法则求解若能，求其解.应该注意，定理 5 所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论.常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然，齐次线性方程组总是有解的，因为(0, 0, , 0) 就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组

4、，我们关心的问题是，它除去零解以外还有没有其他解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理 6 如果齐次线性方程组的系数矩阵的行列式 | A | 0，那么它只有零解.换句话说，如果它有非零解，则必有| A | = 0.二、齐次线性方程组克拉默法则 例 2 讨论 为何值时, 线性方程组有唯一解, 并求出其解.定理 6 的证明，略. 解 方程组的系数矩阵的行列式 由此可知,当 时, d 0, 这时方程组有唯一解.单击这里求解单击这里求解单击这里求解所以单击这里求解克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后的许多问题的讨论中是

5、重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个 n 个未知量 n 个方程的线性方程组就要计算 n + 1 个 n 级行列式，这个计算量是很大的.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想

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