南阳市重点中学2022年数学高二下期末统考试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1函数在区间 上的图象如图所示， ，则下列结论正确的是（ ）A在区间上，先减后增且B在区间上，先减后增且C在区间上，递减且D在区间上，递减且2若离散型随机变量的分布如下：则的方差（ ）

2、010.6A0.6B0.4C0.24D13曲线的参数方程是 (是参数, ),它的普通方程是( )ABCD4对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作，若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为（ ）ABCD5如图，设D是边长为l的正方形区域，E是D内函数与所构成(阴影部分)的区域，在D中任取一点，则该点在E中的概率是（ ）A B C D6已知集合，则从到的映射满足，则这样的映射共有（ ）A3个B4个C5个D6个7一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A球B三棱锥C正方体D圆柱8已知集合，全集，则等于（ ）ABCD

3、9有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A21种 B315种 C153种 D143种10若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A的虚部为BC的共轭复数为D为纯虚数11已知，则中（ ）A至少有一个不小于1B至少有一个不大于1C都不大于1D都不小于112下面有五个命题： 函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是； 终边在y轴上的角的集合是|=kABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知平面向量，若，则_.14若将函数表示为其中，为实数，则_15某高中有高一学生320人，高二学生400人，高三学生36

4、0人.现采用分层抽样调查学生的视力情况.已知从高一学生中抽取了8人，则三个年级一共抽取了_人。16观察下面一组等式：，根据上面等式猜测，则 _三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等()求的值和这两项的二项式系数；()在的展开式中，求含项的系数（结果用数字表示）18（12分）己知抛物线：过点（1）求抛物线的方程：（2）设为抛物线的焦点，直线：与抛物线交于，两点，求的面积.19（12分）已知等比数列的各项均为正数，且，数列的前项和为.（）求；（）求数列的前项和20（12分）已知函数f(x)aln x (aR)(1)当

5、a1时，求f(x)在x1，)内的最小值；(2)若f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(3)求证ln(n1) (nN*)21（12分）设函数.()求函数单调递增区间；()当时，求函数的最大值和最小值.22（10分）函数，实数为常数.（I）求的最大值；（II）讨论方程的实数根的个数.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由定积分，微积分基本定理可得：f（t）dt表示曲线f（t）与t轴以及直线t0和tx所围区域面积，当x增大时，面积增大，减小，g（x）减小，故g（x）递减且g（x）0，得解【详解】由题意g（x

6、）f（t）dt，因为x（0，4），所以t（0，4），故f（t）0，故f（t）dt的相反数表示曲线f（t）与t轴以及直线t0和tx所围区域面积，当x增大时，面积增大，减小，g（x）减小，故g（x）递减且g（x）0，故选：D【点睛】本题考查了定积分，微积分基本定理，属中档题2、C【解析】分析：由于已知分布列即可求出m的取值，进而使用期望公式先求出数学期望，再代入方差公式求出方差详解：由题意可得：m+0.6=1，所以m=0.4，所以E（x）=00.4+10.6=0.6，所以D（x）=（00.6）20.4+（10.6）20.6=0.1故选：C点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布和数学期望、方差等基础

7、知识，熟记期望、方差的公式是解题的关键3、B【解析】将曲线的参数方程利用代入法消去参数，即可得到它的普通方程.【详解】由,得,故,又,故,因此所求的普通方程为，故选B.【点睛】本题考查参数方程和普通方程的转化，属于简单题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法.4、D【解析】根据可画出满足题意的点所构成的平面区域；分别求解区域各个构成部分的面积，加和得到结果.【详解】由定义可知，若曲线为边长为的等边三角形，则满足题意的点构成如下图所示的阴影区域其中， ， 又 又阴影区域面积为：即点集所表示的图形的面积为：本

8、题正确选项：【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是能够根据定义，找到距离等边三角形三边和顶点的最小距离小于等于的点所构成的区域，易错点是忽略三角形内部的点，造成区域缺失的情况.5、A【解析】试题分析：正方形面积为1，阴影部分的面积为，所以由几何概型概率的计算公式得，点在E中的概率是，选A.考点：定积分的应用，几何概型.6、B【解析】分析：根据映射的定义，结合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案详解：若f（3）=3，则f（1）=3或f（1）=4；f（2）=3或f（2）=4；故这样的映射的个数是22=4个，故选：B点睛：本题考查的知识点是映

9、射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题7、D【解析】试题分析：球的三视图都是圆，如果是同一点出发的三条侧棱两两垂直，并且长度相等的三棱锥（一条侧棱与底面垂直时）的三视图是全等的等腰直角三角形，正方体的三视图可以都是正方形，但圆柱的三视图中有两个视图是矩形，有一个是圆，所以圆柱不满足条件，故选D.考点：三视图8、D【解析】先解出集合、，再利用补集和交集的定义可得出.【详解】因为，即或，所以，则，应选答案D.【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，同时也涉及了二次不等式与对数不等式的解法，考查运算求解能力，属于中等题.9、D【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有97=63种，选一

10、本数学书一本英语书有57=35种，选一本语文书一本英语书有95=45种，共有63+45+35=143种选法.故选D.10、D【解析】将复数整理为的形式，分别判断四个选项即可得到结果.【详解】的虚部为，错误；，错误；，错误；，为纯虚数，正确本题正确选项：【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题.11、B【解析】用反证法证明，假设同时大于，推出矛盾得出结果【详解】假设，三式相乘得，由，所以，同理，则与矛盾，即假设不成立，所以不能同时大于，所以至少有一个不大于，故选【点睛】本题考查的是用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，在此基础上推出矛盾，是解题的关键，

11、同时还运用了基本不等式，本题较为综合12、B【解析】先进行化简，再利用求周期的公式即可判断出是否正确；对k分奇数、偶数讨论即可；令h（x）=xsinx，利用导数研究其单调性即可；利用三角函数的平移变换化简求解即可【详解】函数y=sin4xcos4x=（sin2x+cos2x）（sin2xcos2x）=cos2x，最小正周期T=22=，函数y=sin4xcos4x的最小正周期是，故当k=2n（n为偶数）时，a=2n2=n，表示的是终边在x轴上的角，故令h（x）=xsinx，则h（x）=1cosx0，函数h（x）在实数集R上单调递增，故函数y=sinx与y=x最多只能一个交点，因此不正确；把函数y

12、=3sin（2x+3）的图象向右平移6得到y=3sin（2x3综上可知：只有正确故选B【点睛】本题综合考查了三角函数的周期性、单调性、三角函数取值及终边相同的角，利用诱导公式进行化简和利用导数判断单调性是解题的关键二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解析】由向量平行关系求出，利用向量模的公式即可得到答案【详解】因为，所以，解得，则，故【点睛】本题考查向量平行以及向量模的计算公式，属于基础题14、10【解析】法一：由等式两边对应项系数相等即：法二：对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即15、27【解析】分析：根据分层抽样的概念得按比例抽样:.详解：因为分

13、层抽样，所以三个年级一共抽取.点睛：在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即niNinN.16、【解析】由已知可得，因此，从而点睛：归纳推理是通过观察个别情况发现某些相同本质，从已知相同本质中推出一个明确表述的一般性命题，本题是数的归纳，它包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系有关的知识，如等差数列、等比数列等三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）；（）285【解析】()由题意知：得到，代入计算得到

14、答案.()分别计算每个展开式含项的系数，再把系数相加得到答案.【详解】解：（），； （）方法一：含项的系数为 . 方法二： 含的系数为.【点睛】本题考查了展开式的二项式系数，特定项系数，意在考查学生的计算能力.18、（1）；（2）12.【解析】（1）将点的坐标代入抛物线方程中即可；（2）联立方程组先求出，点坐标，进而利用两点间距离公式求出，然后利用点到直线距离公式求出的高，最后代入三角形面积公式求解即可.【详解】（1）点在抛物线上，将代入方程中，有，解得，抛物线的方程为.（2）如图所示，由抛物线方程可知焦点，则点到直线的距离为，联立方程组，可解得，所以，所以，.【点睛】本题主要考查抛物线的标准

15、方程、直线与抛物线的位置关系以及抛物线性质的应用，涉及到的知识点包括两点的之间的距离公式和点到直线的距离公式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力，属于基础题.19、（）；（）.【解析】（I）将已知条件转化为，由此求得的值，进而求得的通项公式.（II）利用求得的表达式，由此求得的表达式，利用分组求和法求的值.【详解】（）设等比数列的公比 即， 解得：或 ，又的各项为正，故 （）设，数列前n项和为.由解得. .,.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查数列通项公式的求法，考查分组求和法，所以中档题.20、（1）最小值为f(1)1.（2）a .（3）见解析【解析】试题分析：

16、（1）可先求f（x），从而判断f（x）在x1，+）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x1，+）最小值；（2）求h（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h（x）0有正数解从而转化为：有x0的解通过对a分a=0，a0与当a0三种情况讨论解得a的取值范围；（3）可用数学归纳法予以证明当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln81，即时命题成立；设当n=k时，命题成立，即成立，再去证明n=k+1时，成立即可（需用好归纳假设）试题解析：（1），定义域为在上是增函数（2）因为因为若存在单调递减区间，所以有正数解即有的解当时，明显成立 当时，开口向下的抛物线，总有的解；当时，开口向上的抛物线

17、，即方程有正根因为，所以方程有两正根当时，；，解得综合知：或：有的解即有的解，即有的解，的最大值，（3）（法一）根据（）的结论，当时，即令，则有，(法二)当时，即时命题成立设当时，命题成立，即时，根据（）的结论，当时，即令，则有，则有，即时命题也成立因此，由数学归纳法可知不等式成立考点：1利用导数求闭区间上函数的最值；2利用导数研究函数的单调性；3数学归纳法21、（）；（），0【解析】试题分析：（）因为通过对函数求导可得，所以要求函数的单调递增区间即要满足，即解可得x的范围.本小题要处理好两个关键点：三角的化一公式；解三角不等式.（）因为由（）可得函数在上递增，又因为所以可得是单调增区间，是单调减区间.从而可求结论.试题解析：（） 单调区间为 （）由知（）知，是单调增区间，是单调减区间 所以, 考点：1.函数的导数解决单调性问题.2.区间限制的最值问题.3.解三角不等式.22、（）（）见解析【解析】（1）直接对函数进行求导，研究函数的单调性，求最大值；（2）对方程根的个数转化为函数零点个数，通过对参数进行分类讨论，利用函数的单调性、最值、零点存在定理等，判断函数图象与轴的交点个数.【详解】（）的导数为.在区间，是增函数；在区间上，是减函数.所以的最大值是