西南交通大学矩阵分析概考点总结

1、；（）；（）；，都有，元素称为 的负元素；，或 向量空间有理数：Q 实数： R 复数： C数域 ： 复数的一个非空集合P含有非零的数，且任意两数的加减乘除仍属于该集合， TOC o 1-5 h z 则称数集P 为一个数域。（所有数域都包含0， 1）设 V 是向量的集合， ，有， ，有一个零元素，记作，都有；则称集合V为数域P上的 线性空间满足加法A+B=C,C是 V中唯一的，符合满足乘法kA=C,C是 V中唯一的，符合P 是实数域，V 就是实线性空间P 是负数域，V 就是复线性空间基： V 是数域 P 上的线性空间，若V 中存在一组向量，满足：. 向量组线性无关；.V中任意一个向量都可由这个向

2、量组线性表示；则称该向量组为构成V的一个基。若 V 的一个基中向量个数为n，称n 为 V 的维数，记为dimV=n;坐标：， 称为向量在基下的坐标。取定一组基后，每个向量在这个基下的坐标是唯一 确定的，的第 i 个坐标也称之为第i 个分量。子空间：设 V是数域 P上的线性空间，W是 V的一个非空子集，如果W对于线性空间V所定义的加法运算及数量乘法运算也构成数域P上的线性空间，则称 W为 V的线性子空间，简称子空间。充要条件是：若 ， ，则;， ，则；也就是说W 关于 V 中定义的两个运算是封闭的。线性变换：数域 P 上的线性空间V的一个变换T满足：1.2.设 V 是实数域R 上的线性空间，如果

3、对V 中任意两个向量， 都有一个实数（记为（，） ）与它们相对应，并且满足以下条件： TOC o 1-5 h z ，3.，则线性空间V称为实内积空间，简称内积空间，且实数（， ）成为向量Euclid)2.3.4.等号当且仅当线性相关时成立4.等号当且仅当线性相关时成立 TOC o 1-5 h z 向量长度（模）（范数） ： 设 ，则非负实数称为 的长度，并记为即定义长度为：；若=1，则称为单位向量，对于任意非零向量，取则 是与 线性相关的单位向量，这种做法称为向量的单位化。（C.-S.不等式又可以表示为）:复内积空间：设 V是复域 C上的线性空间，如果对V中任意两个向量， 都有一个复数 （记为

4、（ ，） ）与它们相对应，并且满足以下条件：，（，）；，；，；，当且仅当，等号成立；则线性空间V称为复内积空间，或酉空间。酉空间具有以下性质：1.2.3.酉变换：若 T是酉空间V的线性变换，且对任何， 都有：则称 T为 V的酉变换，即酉空间的酉变换，是保持任两向量内积不变的线性变换。酉矩阵：若，且，则 A称为酉矩阵，这里是 的共轭转置。当 A为实矩阵时，酉矩阵A也就是正交矩阵。第三章A 的特征多项式：f ( ) E A na1 n 1 a2 n 2 +ann在这里：a1 =aiitrA;在这里：an ( 1)n Ai1最大公因式：d( ) f( ), d( ) g( )，且没有更大的公因式d(

5、 )=( f( ),g( ) ：表示首项系数为1 的最大公因式。有以下性质：(f(),c)=0(f(),0)=f ()若： ( f( ),g( ) =1，则称两个多项式互素/互质。求解约当标准型：方法一：(1)求出A( )中所有非零的k级子式，最高项系数为1 的 最大公因式，记为 k级行列式因子：D1( ),D2( ), ,Dn( )Dk 1( )能整除每个k 1 级子式，从而可以整除每个k级子式，因此Dk 1( )能整除Dk( )，即是说Dk 1( ) Dk( )； 求 A( )的不变因子：d1( ),d2( ), ,dn( ) ；d1( ) D1( ),d2( )2, ,dn( ) n12

6、n112D1( ) nDn1( )(3)求A( )的 初级因子。 把每个次数大于零的不变因子分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次方幂。所有初级因子的乘积得到n 阶行列式：A Dn( ) d1( ) d2( )dn( )(4)写出约当块 。每个初级因子(i )ki 构成一个ki 阶的 约当块 。方法二(只适用于四阶及以下矩阵)：(1)求出特征多项式：f( ) E A (1)n1(2)n2 (k)nk；(2)求出对应i的约当块个数，并求出m: n R( iE A) m；(2)来判断个数。(3)(2)来判断个数。A可以对角化dn( )没有重根m( )没有重根也就是初级因子全为一次求 P

7、 1AP J 中的 P：P (X1,X2,X3)，则有P 1AP J ( AX1,AX2,AX3) =(X1,X2,X3)J写成三个方程，并求出基础解系。方法三：(1)写出E A ,(2)根据初等变换，求出史密斯标准型，从而求出不变因子。哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式：f ( ) E A na1n 1a2 n 2 +an每个 n 阶矩阵 A都是它的特征多项式的根： TOC o 1-5 h z Ana1An 1a2An 2+anE0零化多项式：( )是一个多项式，A是一个方阵，如果有(A) 0，则称 ( )最小多项式：A是一个方阵，则A的首项系数为1 的次数最小的零花多项式m( )，(1)是

8、 唯一 的，(2)其根是A特征值，反之亦然。(3)最小多项式是其不变因子dn( )矩阵 A的任何 零化多项式都被其 最小多项式所整除。史密斯标准型：(求解时，行列都可以变)(唯一)d1( )0A( ) J( )dr( ) 这里 r 1 是 A( )的 秩 ，di( )是 首项系数为 1 的多项00式，且di( )di 1( )(i 1,2,3 r 1)A( ) J( )所以，这俩拥有相同的秩及相同的行列式因子D1( ),D2( ), ,Dn( )舒尔定理：若 A n n，则存在酉矩阵U，使得：UTAU T这里的T为上三角矩阵，其主对角线上的元素都是A的特征值。QR分解：A QRC)若 A n

9、n为 n 阶负数矩阵，则存在酉矩阵Q及上三角矩阵RA QRC)奇异值分解定理：没看到第四章=(，)若 V 是实内积空间(酉空间)， 为任意向量，k 为实数域R(复数域V 中向量的长度具有下列三个基本性质：(1)当时，都有0；k k ；向量范数的定义：设 V是数域 P上的线性空间，若对于V中任一向量负实数与之对应，并且满足下列三个条件：(1)正定性：当时，都有0；(2)齐次性，对于任何： k k ；(3)三角不等式：nn;,1 i;i1nn;,1 i;i1nn1ip)p;(i1max 1in范数等价：对于任何有限维向量空间V 上定义的任意两个向量范数a和b，都存在两个与无关的正常数C1,C2，使

10、得对V中任一向量，都有：aC1b , b C2 a两个不等式的两个向量范数称为等价 的。在有限维向量空间上的不同范数都是等价的。矩阵范数的定义：在 Pn n 上定义一个非负实值函数A ， 如果对于任意的A, B Pn n都满足下列四个条件：(1)正定性：当 A 0时 , A 0(2)齐次性：对于任何k P，kA k A(3)三角不等式: A B A BAB A B则称非负实数A 为方阵 n n的范数。nA P n n , A maxaij （列模和最大者）;i1A Pnn, A2H 是AH Ai1A Pnn, A2H 是AH A的最大特征值);AAA Pnn, AFtr（AHA）;nA P n

11、 n , A maxaij （行模和最大者）;iinj1范数等价：Pn n上任意两个方阵A a和Ab都是等价的，使得：A aA aC1 AAbC2 Aa范数相容：对于任何A Pnn和Pn，满足：AaAaAa则称方阵范数A 与向量范数是 相容 的。Pn n上的每一个方阵范数，在Pn上都存在与它相容的向量范数。AF与 2是相容的向量的极限：如果向量序列：m(x1(m),x2(m),xn(m) Cn(m 0,1,2 )，如果存在极限：lim xi(m)xi (i1,2, n)m则称酉空间Cn的向量序列(m) 收敛 于向量(x1,x2,xn)记为：lim (m) 或者(m )m求矩阵函数：方法一：方法

12、二：谱半径：矩阵函数：也就是：(m) limmlim ( m(m)lim (m(m) 0 (对任意范数都成立)(A) m1 ianx i求矩阵函数：方法一：方法二：谱半径：矩阵函数：也就是：(m) limmlim ( m(m)lim (m(m) 0 (对任意范数都成立)(A) m1 ianx inxem0mxm!nsin x ( 1)mm0ncosx ( 1)mm0写出通式并计算(笨方法)(1)求出A的最小多项式：1xx2!2m 1x31!x31n xn!(2m 1)!2mx(2m)!1 x3 3!1 1x2!11 x5( 1)n5!1x 4!4( 1)n x(2n)!( ) (1) 1(2)

13、 2( s) s2n 1x(2n 1)!2n这里每个特征值都是不同的特征值，其中n1 n2ns m(2)写出所求函数式：XXXX f( ), XXXX f(A)(3)写出降阶后的多项式：f ( )( )q( ) r( ) r( ) a0 a1a2 2am 1 m 1(4)求出各项系数：1,2, , s) (求导的是复数根才可以f ( i ) a0 a1 i a2 i2 am 1 1,2, , s) (求导的是复数根才可以(f ( i) a1 2a2 i (m 1)am 1 im(5)将各系数带入函数：f(A) (A)q(A) r(A) r(A) a0E a1A a2A2am 1Am 1(6)求

14、出矩阵函数。求带参数的方式一样，无非是将a0,a1,a2,am 1 写成a0(t),a1(t),a2(t),am 1(t)第四章A (aijA (aij )n nA AH A AH22BBHaa HB (bij)nn B 2B(bijaij 2aij ) (厄米特矩阵)CCHaa HC(cij)nnC2C(cijaij2aij)(反厄米特矩阵)若 A Cn n的特征值的集合为1, 2 , , n (所有特征值)，则有nnn22iaij (当且仅当A为正规矩阵时成立)i1i1j1inmax a1 inmax a1 i,j nRe( i)n max bi ;1 i,j n ijIm( Im( i)

15、Im( i)n max cij ;1 i,j n ij TOC o 1-5 h z n(n2 1) max cij (当 A为 n阶实矩阵)。原盘定理：A=(aij) Cn n，则A的全部特征值都在复数平面上的n 个圆盘(盖尔圆)内:zaiiRi(i 1,2,n)(i 的话直接就是1)Riai1ai2ai3ai(i 1)ai(i 1)ain图示，盖尔圆如何绘制由矩阵 A 的 k 个相交的盖尔圆的并集构成的连通区域称为一个连通部分， 并说它是由 k 个盖尔圆组成的。矩阵A的任意一个由k个盖尔圆组成的连通部分中，有且只有A的 k个特征值。(注意： 特征值是落在连通部分中，不一定两个圆都有，有可能一

16、个有一个没有。)谱半径的估算：矩阵 A的每一个特征值的模都不超过矩阵A任意一个范数。(A) m1 iaxn i A an(A) A 1 m1 aj xnaij ;n(A) Am1 ianxaij ;j1(A) A 2AHA;(当A是正规矩阵时，等号成立)AX B,若A可逆，则有唯一解X A 1B若A 不可逆，或者m n 时，不一定有解，有解不唯一。求解1-广义逆：各数据参数：Am n , Pm m,Qn n(1)将目标矩阵(1)将目标矩阵A 化成最简型: PAQEr (A)P 为将 A 行变换的初等变换；Q 为将 Q 为将 A 列变换的初等变换；例如：1201Er(A)就是A的秩次的单位阵。Er A1(2)则 G=Q r 1 PA2 A3Q， P 交换位置A1， A2， A3为填充矩阵，补齐位置的，可以直接在空缺上设c1， c2， c3(3)则 A G 任意矩阵A的 1-