《高等数学》PPT课件-第二章一元函数微分

1、第二章 一元函数微分导数与微分洛比达法则导数的应用第一节 导数与微分一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题如图,取极限得切线的一般定义: 如图 设有曲线C及C上一点M，在M点外任取C上一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN趋向于它的极限位置MT，则称直线MT为曲线C在点M处的切线.TMxy0NCN2.【切线问题】割线的极限位置切线位置LMxyoTN在点求曲线L：处切线的斜率。割线 MN 的斜率为： 2.【切线问题】割线的极限位置切线位置切线MT 的斜率为： 【两个问题的共性】瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .二、导数的定义定义其它形式即关于导数

2、的说明：注意:2.右导数:单侧导数1.左导数:三、由定义求导数步骤:例1解例2解例3解更一般地例如,例4解例5解例6解四、导数的几何意义与物理意义1.几何意义切线方程为法线方程为例7解由导数的几何意义, 得切线斜率为所求切线方程为法线方程为2.物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.交流电路:电量对时间的导数为电流强度.五、可导与连续的关系定理 凡可导函数都是连续函数.注意: 该定理的逆定理不成立. 即可导必连续，但连续不一定可导. 连续函数不存在导数举例0例如,六、四则运算的求导法则定理推论七、例题分析例1解例2解例3解同理可得例4解同理可得练习解例

3、5解分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.八、复合函数的求导法则定理即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)推广例6解例7解例8解例9解例10解九、3个求导法则隐函数的导数定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.例11解解得例12解求导法则对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.-对数求导法适用范围:例13解等式两边取对数得练习一般地求导法则由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题: 消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函

4、数的求导法则得例14解十、高阶导数问题:变速直线运动的加速度.定义记作三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,高阶导数求法举例例解1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例解例解注意: 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)例解同理可得2. 高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式3.间接法:常用高阶导数公式 利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.例解1、问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.十一、 微分2、微分的定义定义(微分的实质)由定义知:3、可微的条件定理例1解4、微分的运算法则求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.（1）基本初等函数的微分公式（2）函数和、差、积、商的微分法则（3） 复合函数的微分法则例2解例3解微分形式的不变性结论：微分形式的不变性例4解例3解例5解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的