基于小波变换的边缘检测技术

1、第一章 图像边缘的定义引言在实际的图像处理问题中，图像的边缘作为图像的一种基本特征，被 经常用于到较高层次的特征描述，图像识别。图像分割，图像增强以及图 像压缩等的图像处理和分析中， 从而可以对图像进行进一步的分析和理解。由于信号的奇异点或突变点往往表现为相邻像素点处的灰度值发生了 剧烈的变化，我们可以通过相邻像素灰度分布的梯度来反映这种变化。根 据这一特点，人们提出了多种边缘检测算子： Roberts 算子 Prewitt 算子 Laplace 算子等。经典的边缘检测方法是构造出像素灰度级阶跃变化敏感的微分算子。 这 些算子毫无例外地对噪声较为敏感。由于原始图像往往含有噪声、而边缘 和噪声在

2、空间域表现为灰度有大的起落，在频域则反映为同是主频分量， 这就给真正的边缘检测到来困难。 于是发展了多尺度分析的边缘检测方法。 小波分析与多尺度分析有着密切的联系，而且在小波变换这一统一理论框 架下，可以更深刻地研究多尺度分析的边缘检测方法， Mallat S 提出了一小 波变换多尺度分析为基础的局部极大模方法进行边缘检测。小波变换有良好的时频局部转化及多尺度分析能力，因此比其他的边缘 检测方法更实用和准确。小波边缘检测算子的基本思想是取小波函数作为 平滑函数的一阶导数或二阶导数。利用信号的小波变换的模值在信号突变 点处取局部极大值或过零点的性质来提取信号的边缘点。常用的小波算子 有Marr

3、算子Canny算子和 Mallat算子等。1.1 信号边缘特征人类的视觉研究表明，信号知觉不是信号各部分简单的相加，而是各 部分有机组成的。人类的信号识别（这里讨论二维信号即图像）具有以下 几个特点：边缘与纹理背景的对比鲜明时 , 图像知觉比较稳定；图像在空间 上比较接近的部分容易形成一个整体；在一个按一定顺序组成的图像中， 如果有新的成份加入，则这些新的成份容易被看作是原来图像的继续；在 视觉的初级阶段，视觉系统首先会把图像边缘与纹理背景分离出来，然后 才能知觉到图像的细节，辨认出图像的轮廓，也就是说，首先识别的是图 像的大轮廓；知觉的过程中并不只是被动地接受外界刺激，同时也主动地 认识外界

4、事物，复杂图像的识别需要人的先验知识作指导；图像的空间位 置、方向角度影响知觉的效果。从以上这几点，可以总结出待识别的图像 边缘点应具有下列特征即要素：具有较强的灰度突变，也就是与背景的对 比度鲜明；边缘点之间可以形成有意义的线形关系，即相邻边缘点之间存 在一种有序性；具有方向特征；在图像中的空间相对位置；边缘的类型， 即边缘是脉冲型、阶跃型、斜坡型、屋脊型中哪一种。1.2 图像边缘的定义边缘检测是图像处理中的重要内容。而边缘是图像中最基本的特征， 也是指周围像素灰度有变化的那些像素的集合。主要表现为图像局部特征 的不连续性，也就是通常说的信号发生奇异变化的地方。奇异信号沿边缘 走向的灰度变化

5、剧烈，通常分为阶跃边缘和屋顶边缘两种类型。阶跃边缘 在阶跃的两边的灰度值有明显的变化；屋顶边缘则位于灰度增加与减少的 交界处。我们可以利用灰度的导数来刻画边缘点的变化，分别求阶跃边缘 和屋顶边缘的一阶，二阶导数。如图可见，对于边缘点A ，阶跃边缘的一阶导数在 A 点到最大值，二阶导数在 A 点过零点；屋顶边缘的一阶导数在 A 点过零点，二阶导数在 A 点有最大值。(a)(b)(C)(al)(CI)(bl)K 1-2屋顶状边线第二章 传统的边缘检测算子2.1 传统的边缘检测算子边缘检测的实质是采用某种算法来提取出图像中对像与背景间的交界 线。我们将边缘定义为图像中灰度发生急剧变化的区域边界。而灰

6、度变化 的情况可以用图像灰度分布的梯度来反映，所以我们可以用局部图像微分 技术来获得边缘检测算子。以下对比较经典的边缘检测算子进行了理论分 析，并做出了比较和评价。我们记为 f (x, y) f i f j 图像的梯度， f (x,y) 中包含局部灰度的变 xy化信息。记： e(x,y) fx2(x, y) fy2(x, y) (2.1)为梯度 f(x,y)的幅度， e(x,y) 可以用做边缘检测算子。 常用的边缘检测方法有：差分边缘检测， Roberts 边缘检测算子， Sobel 边缘检测算子， Prewitt 边缘检测算子 ,Robinson 边缘检测算子 ,Lapalce 边缘 检测算

7、子等等。 2.2 差分边缘检测方法 利用像素灰度的一阶导数算子在灰度迅速变化处得到高值来进行奇异 点的检测。它在某一点的值就代表该点的“边缘强度” ，可以通过对这些值 设置阈值来进一步得到边缘图像。但用差分边缘检测必须使差分的方向与 边缘方向垂直，这就需要对图像的不同方向都进行差分运算，增加了实际 运算的繁琐性。一般为垂直边缘、水平边缘、对角线边缘检测：图 2-1 差分算法检测边缘的方向模板2.3 Roberts 边缘检测算子Roberts边缘检测算子根据任意一对互相垂直方向上的差分可以用来计算梯度的原理，采用对角线方向相邻两像素之差，即：他们的卷积算子为：01yf : 01 10有了 x，

8、y f 之后，很容易计算出Roberts的梯度幅值 R(i, j)，适当的取门限 TH，作如下判断： R(i, j) TH ，(i, j) 为阶跃边缘点。 R(i,j) 为边 缘图像。Roberts算子采用对角线方向相邻两像素之差近似梯度幅值边缘检测。检测水平和垂直边缘的效果好于斜向边缘，定位精度高，对噪声敏感图 2-2 ：用 Roberts 算子进行边缘检测的 Lena 图与原图像2.4 Sobel 边缘检测算子对数字图像 f(i, j) 的每一个像素， 考察它上，下，左，右邻点灰度的 加权差，与之接近的邻点的权大。据此，定义 Sobel 算子如下：卷积算子为：图 2-3 ：Sobel 边缘

9、检测算子方向模板适当的取门限 TH，作如下判断： s(i, j) TH,(i, j)为阶跃边缘点，为 s(i, j) 边缘图像。Sobel 算子很容易在空间上实现， Sobel 边缘检测器不但产生较好的边缘 检测效果，而且受噪声的影响也比较小。当使用大的领域时，抗噪声特性 会更好，但这样做会增加计算量，并得出的边缘也比较粗。Sobel 算子利用像素点上下， 左右邻点的灰度加权算法， 根据在边缘点 出达到极值这一现象进行边缘的检测。 Sobel 算子对噪声具有平滑作用，提 供较为精确的边缘方向信息，但它同时会检测出许多的伪边缘，边缘定位 精度不高。当对精度要求不是很高时，是一种较为常用的方法。图

10、 2-4 ：用 Sobel 算子进行边缘检测的 Lena 图与原图像 2.5 Prewitt 边缘检测算子Prewitt 算子是一种边缘样板算子。这些算子样板由理想的边缘子图像 构成。依次用边缘样板去检测图像，与被检测区域为相似的样板给出最大 值。用这个最大值作为算子的输出值 P(i, j) ，这样就可以将边缘像素检测出 来。定义 Prewitt 边缘算子模板如下：图 2-5 ： Prewitt 边缘检测算子模板8 个算子样板对应的边缘方向如下图所示：图 2-6 ： 样板方向适当取门限 TH，作如下判断： P(i, j) TH ,( i , j)为阶跃边缘点。 P(i,j) 为边缘图像。图 2

11、-7 ： 用 Prewitt 算子进行边缘检测的 Lena 图与原图2.6 Robinson 边缘检测算子Robinson 边缘检测算子也是一种边缘样板算子，其算法和 Prewitt 边缘检测算子相似，只是 8 个边缘样板不同。如下所示：图 2-8 ： Robinson 边缘检测算子模板 2.7 Laplace 边缘检测算子Laplace算子是二阶微分算子，是一个标量，属于各向同性的运算，对灰度突变敏感。在数字图像中，可以用差分来近似微分运算，f (i, j) 的Laplace 算子为Laplace算子的二种估算模板：图 2-9 ： Laplace 的两种估算模板对阶跃边缘，二阶导数在边缘点出

12、现零交叉，即边缘点两边二阶导函数取异号。Laplace算子就是据此对 f(i,j) 的每个像素取它关于 x方向和 y方向的二阶差分之和，这是一个与边缘方向无关的边缘检测算子。而对屋 顶状边缘， 在边缘点的二阶导数取极小值， 这时对 f(i, j) 的每个像素取它 关于 x 方向和 y 方向的二阶差分之和的相反数。Laplace算子有两个缺点：其一是边缘的方向信息丢失， 其二是 Laplace算子为二阶差分，双倍加强了图像中的噪声影响：优点是各向同性，即具 有旋转不变性。因为在微分学中有：一个只包含偶次阶导数和取偶次幂的 奇次阶导数的线形组合算子，一定是各向同性的。Laplace算子实际二阶微分

13、算子，利用边缘点处二阶导函数出现零交叉 原理检测边缘。不具有方向性，对灰度突变敏感，定位精度高，不但检测 出了绝大部分的边缘，同时基本上没有出现伪边缘。但他的检测也存在一 些缺点，如丢失一些边缘，有一些边缘不够连续，对噪声敏感且不能获得 边缘方向的功能信息。图 2-10 ：用 Laplace 算子进行边缘检测的 Lena 图与原图 2.8 检测结果与结论通过对以上介绍的几种边缘检测算子的算法公式和检测的结果可以看 出， Roberts 算子简单直观，但边缘检测图里存在有伪边缘； Sobel 算子、 Prewitt 算子和 Robinson 的检测结果图能检测出更多的边缘，但也存在有伪 边缘且检

14、测出来的边缘线比较粗，并放大了噪声； Lapalce 算子和改进的 Laplace 算子利用二阶差分运算来进行检测，但不可以检测出较多的边缘， 而且还在很大程度上消除了伪边缘的存在，定位精度高。但受噪声的影响 比较大。第三章 小波变换在图像边缘检测中的应用 3.1 小波思想的引入虽然边缘提取已有梯度算子、 Laplace 算子、 Sobel 算子等方法，但这 些算法都没有自动变焦的思想。而事实上，由于物理和光照等原因，每幅 图像中的边缘通常产生在不同的尺度范围内，形成不同类型的边缘，这些 信息是未知的。另外图像中还存在有噪声，因此，根据图像特性自适应地 正确检测出图像的边缘是非常困难的。可以肯

15、定，用单一尺度的边缘算子 不可能检测出所有的边缘，同时，为避免在滤除噪声是影响边缘检测的正 确性，用多尺度的方法检测边缘越来越引起人们的重视。由于小波变换具 有良好的时频局部化特性及多尺度分析能力，在不同尺度上具有“变焦” 的功能，适合于检测突变信号。是检测突变信号强有力的工具，得到了广 泛的应用。 3.1.1小波变换在图像边缘检测中的优势用小波变换对信号做多分辨率分析非常适合提取信号的局部特征。 这是 因为小波变换的尺度因子和平移因子构成了一个滑动的时间 -频率窗，小尺 度下的变换系数对应信号的高频分量，大尺度下的变换系数对应信号的低 频分量。于是信号被分解成各个频率下的分量，这样就可以检测

16、对应不同 频率的信号局部特征。而图像中的突变信息和噪声都属于高频信号，可以 利用小波变换后的高频分量进行去噪和得到边缘图像。由于各种原因，图像常常受到随机噪声的干扰。经典的边缘检测方法 由于引入了各种形式的微分运算，从而必然引起对噪声的极度敏感，在其 上执行边缘检测的结果常常是把噪声当作边缘点检测出来，而真正的边缘 也由于受到噪声干扰而没有被检测出来。因而对于有噪声图像来说，一种 好的边缘检测方法应具有良好的各种噪声抑制能力，同时又有完备的边缘 检测保持特性。小波变换可以提供一种很好的去噪方法。 当取小波函数为平滑函数的一 阶导数时，信号的小波变换的模的信号突变点出取局部极大值，边缘与噪 声的

17、区别在于，随着尺度的增加，噪声引起的小波变换的模的极大值迅速 减小；而边缘的滤波模值不随尺度的变化，故小波变换可以在低信噪比的 信号中检测噪声和边缘。通过计算在尺度 2j 和尺度 2j 1 上每一个在位置上 最接近，且具有相同符号的系数最大值，我们可以找出不同尺度下小波幅 度的变化，消除那些系数极值孤独随尺度减小而小波系数 Mf 在平均值上增 加的序列。这些极值对应图像噪声奇异点，从而就得到了图像边缘的真正 奇异点。同时，边缘点具有较强的方向性。 即在边缘点上， 其滤波值表现为较强 的模值，而在垂直边缘方向上，滤波模值较小；而噪声点在各个方向的滤 波模值相似。因而，在对信号进行不同方向的滤波时

18、，边缘点滤波模值会 有较强与较弱的差异，而噪声点滤波模值不会产生过大的差异，因此可以 通过构造任意方向的小波滤波器来检测出奇异信号和噪声点。对于很大一 类图像来说，急剧变化点所对应的边缘在图像平面内是一些规则的曲线， 沿着这些曲线，图像在一个方向是奇异的，而和该方向相垂直的方向却是 平滑的。由于实际得到的值是一些离散点，为了检测出边缘，可以利用沿 曲线方向梯度矢量的模变化平缓特点以及不同尺度下梯度矢量幅角的信 息，将位置及幅角十分接近的模极大值点连接起来形成模极大值链，这些 链构成了图像的边缘。 3.1.2小波变换定义及特点小波 (wavelet)，即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为

19、0的波形。它有两个特点： 一是“小”，即在时域都具有紧支集或近似紧支集； 尺度二是正负交替的“波动性” ，也即直流分量为零。我们可以用小波和构 成傅立叶分析基础的正弦波做一个比较，傅立叶分析所用的正弦波杂时间 上没有限制，从负无穷到正无穷，但小波倾向于不规则也不对称。傅立叶 分析是将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加，同样小波分析是将 信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是有一个母小波函 数经过平移与尺度伸缩得来的。我们知道，用不同规则的小波函数来逼近 尖锐变化的信号显然要比光滑的正弦曲线要好，同样，信号局部的特性用 小波函数来逼近显然要比光滑的正弦函数来逼近要好。小波变换的定

20、义是把某一被称为基本小波 (也叫母小波)的函数 (t) 做 位移 后，再在不同尺度 下与待分析的信号 x(t) 做内积：1 * tWTx(a, ) x(t) * ( )dta a ， a 0 (3.1) 等效的频域表示是：WTx(a, ) a X ( ) *(a )eja d2 (3.2) 可以这样理解上面表达式的意义：打个比喻我们用镜头观察目标 x(t) (即待分析信号)， (t) 代表镜头所起的作用(例如滤波或卷积) 。 相当 于使镜头对于目标平行移动， a 的作用相当于镜头向目标推进或远离。 由此 可见小波变换有以下特点： 有多分辨率， 也叫多尺度的特点， 可以有粗及细地逐步观察信号。

21、可以看成用基本频率特性为 ( )的带通滤波器在不同尺度 a 下对 信号滤波。 由于傅立叶变换的尺度特性可知这组滤波器具有品质因数恒定， 即相对带宽(带宽与中心频率之比) 恒定的特点。注意， a 越大相当频率越 低。 适当的选择基小波， 使 ( ) 在频域上也比较集中， 就可以使在 WT 在时、频域都具有表征信号局部特征的能力，因此有利于检测信号的瞬态 或奇异点。正是由于上述特性， 有人把小波变换称为分析信号的数学显微镜。 如上所述，小波分析的一个重要优点就是能够分析信号的局部特征。利 用小波分析可以检测出许多其他分析方法忽略的信号特性，例如，信号的 趋势，信号的高阶不连续点、自相似特性。总之，

22、小波变换作为一种数学理论和方法在科学技术和工程界引起了 越来越多的关注和重视。连续小波变换 3.2.1连续小波的定义及其变换定义 3 . 1 设 (t) L2(R), 其傅立叶变换为 ( )满足允许条件Admissible Condition ，完全重构条件或恒等分辨条件)(3.3)我们称为一个基本小波或母小波( Mother Wavelet )。将母函数按此 方式经平移和伸缩后得到函数族：a ,b (t )tbaa,b R,a 0 (3.4)称其为一个小波序列或连续小波。 其中 a 为伸缩因子， b 为平移因子我们首先来看看连续小波在相空间中的局部化格式。假定 是双窗函数，记1a,ba002

23、( )2 d(3.5)由于正频和负频讨论类似，只对正频进行讨论。注意到a,b ( )1aeib(a )(3.6)因此 a,b 的正频窗口中心为 b, 0 (a 0)其时窗宽 a,b a ，频a1窗宽 a,b 。由此可以看出， b 仅仅影响窗口在相平面时间轴上的 a位置，而 a 不仅仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。当 a 越小时，时宽越小，而频宽越大，且 a,b 窗口中心向 增大方向移动，这 表明高频时连续小波的时间分辨率较高，频率分辨率较低；反之，当 a 越 大时，时宽越大，而频宽越小， a,b 窗口中心向 减小方向移动，这表明 低频时连续小波的时间分辨率较差，频率分辨率较高。这

24、一特性正好符合(3. )f, a,b1/ 2 t b a Rf (t) dtR a (3.7)112Wt (a,b)t b dadbCaa (3.8)低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点，决定了小波变换在突变信 号处理上的特殊地位及功能。在这个意义上，小波变换被誉为数学显微镜。 对于任意函数 f(t) L2(R) 的连续小波变换为Wf (a,b)其重构公式(逆变换)为f(t)有时为了方便起见，小波变换也常用如下定义Wf (s,x)1 x t f* (x) 1s Rf(t) xst dt (3.9)其中1 s(x)s式 (3.7) 和式 (3.9) 定义形式有所不同，主要在于1 )伸缩系数不

25、同。2 )由卷积代替了相关。但事实上，它们之间是可以相互转换的。 由 基本小波 ( ) 生成的小波 a,b(t) A2j f (x, y) 在小波变换中对被分析的信号 起着信号观测窗的作用，所以 ( ) 还应满足一般函数的约束条件(t)dt故 (t )是一个连续函数。这意味着，为了满足允许条件，( ) 在原点必须等于零，即(0)(t)dt0 (3.11)小波 (t )只有在实轴 t 上取值有正有负才能保证上式的积分为零，所 以应具有振荡性，也就是说是一个“波”。同时， (t) 的定义域是具有紧 支撑的，即在一个很小的区间之外， 函数值为零，应是一个迅速衰减的 “小” 波。小波因此得名。如果 (

26、t) 使下式t (t)dt 0 k 0, N 1 (3.12) 成立，则说 (t)为k 阶消失距小波(Vanishing k moments)这时 ( ) 在 0 处是 k次可微的， 即 (k)(0) 0 。而时就是容许条件， 随着k 的增加，小波 (t) 的振荡性就越 来越强烈。 连续小波变换具有以下重要性质：1、线形性：一个信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和 2、平移不变性：若 f (t)的小波变换为 Wf(a,b)，则 f (t )的小波变换为Wf (a,b )3、伸缩共变性：若 f(t)的小波变换为 Wf(a,b)，则 f (ct) 的小波变换为1 Wf ( ca, cb)c c

27、 0 (3.13)4、自相似性：对应不同尺度参数 a和不同平移参数 b 的连续小波变换之(3. )间是自相似的5、冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。 3.2.2 离散小波变换在实际运用中，特别是在计算机实现上，往往需要把上面提到的连续 小波及其变换离散化。 需要注意的是， 这一离散化是针对连续的尺度参数 a 和连续的平移参数 b 的，而不是针对时间变量 t 的。这一点和我们在离散傅 里叶变换中熟悉的时间离散化是不同的。在连续小波中，考虑函数：a,b(t)1/2 atba (3.14)这里，bR 。为方便起见， 在离散化中，总限制 a 只取正值，即a且 a 0 ， 是容许的，这样相容性

28、条件就变成()(3.15)通常，把连续小波变换中尺度参数 a 和平移参数 b的离散公式分别取作 a a0j ,b ka0j b0 ，这里 j Z ，扩展步长 a0 1是固定值。为了方便起见，总 假定 a0 1。所以对应的离散小波函数j,k(t) 即可写作j,k (t) a0t ka0jb0a0ja0j/2 (a0 jt kb0)而离散化的小波变换系数则可表示为Cj,kf (t) *j,k(t)dt f, j,k (3.17)f (t) C C j,k j,k(t)其重构公式为 (3.18)C是一个与信号无关的常数。显然， a0和b0决定了信号重构的精度， 即网格点应尽可能地密 (a0和b0 尽

29、可能小)，才能保证一定的重构精度。如果网格点越稀疏，使用的小波 函数 j,k(t) 和离散小波系数 Cj,k就越少，信号重构的精确度也就会降低。 3.3常用小波函数介绍 3.3.1 Haar 小波Haar小波是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函 数，同时也是最简单的一个函数。 Haar 函数的定义为1 0 x 1/ 2H 1 1/ 2 x 1 (3.19) 0 其它3.3.2 Daubechies 小波系Daubechies函数是由世界著名的小波分析学者 Inrid Daubechies构造的 小波函数，提供了比 Haar小波更有效的分析和综合。 除了 dbl(即 Haar 小波

30、)外，其它小波没有明确的表达式。但转换函数 h 的平方模是很明确的N1假设P(y)CkN 1kyk 其中， CkN 1 k为二项式的系数，则有k0m0( ) (cos2 ) N P(sin 2 ) (3.20) 221 2N 1其中：m0 ( ) 1hke ik2k0小波函数 和尺度函数 的有效支撑长度为 2N 1 ，小波函数 的消失矩阶数为 N,且具有正交性。 常用的 Daubechies小波函数有 db4 和 db8 两 种小波。 3.3.3 Morlet 小波Morlet 函数定义为x2 /2 (x) Ce x /2 cos5x (3.21)它的尺度函数不存在，且不具有正交性。 3.3.

31、4 Mexican Hat 小波Mexican Hat 函数为(x) 31/4(1 x2)e x /2 (3.22)它是 Gauss函数的二阶导数，像墨西哥帽的截面，也称为墨西哥函 数。它在时间域和频率域都有很好的局部化，并且满足 (x)dx 0 由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。 3.3.5 Meyer 小波Meyer 小波的小波函数 和尺度函数 都是在频率域中进行定义的， 是具有紧支集的正交小波。(3.23)其中，(a)为构造 Meyer 小波的辅助函数，具有(3.24)图 3-1 ：几种常见的小波函数图形第四章 小波分析中的多尺度思想和边缘检测算子4.1 多尺度边缘检测思想图像在

32、不同尺度上的小波变换都提供了一定的边缘信息。 当小尺度时，图像的边缘细节信息较为丰富，边缘定位精度较高，但易受到噪声的干扰；大尺度时，图像的边缘稳定，抗噪性好，但定位精度差。在实际应用中经 常存在着去除噪声和准确定位之间的矛盾。多尺度边缘检测的基本思想就是沿梯度方向，分别用几个不同尺度的 边缘检测算子在相应点上检测模极大值的变换情况， 并通过对阈值的选取， 再在不同尺度上进行综合得到最终边缘图像，可以较好的解决噪音和定位 精度之间的矛盾。在信号的时频局部化分析中， 虽然 Fourier 变换能较好地刻画信号的频 率特性，但不能提供信号在时域上的信息， 为此，Gabor 首先提出加窗 Fouri

33、er 分析，但加窗不能敏感地反映信号的突变。小波理论与变换方法能弥补上 述不足，主要表现在高频处的时间分辨率高，低频处的频率分辨率高，即 具有变焦特性，小波变换是一种非平稳信号分析方法，它是通过一个基本 小波函数的不同尺度的平移和伸缩构成一族小波函数系表示来逼近一信 号。在小波多尺度分析中，引入了尺度函数 (t) ，其伸缩与平移系数j,k(t) 2( j/2) (t 2 jn) j,k Z 构成矢量空间 Vj j Z 的正交基， Vj j Z构成空间 L2(R)在分辨率 2j j Z上组成逼近空间。尺度函数具 有低通滤波作用，并满足双尺度方程(t)h( k) (2tkZk)(4.1)而与尺度函

34、数相对应的小波函数的平移与伸缩构成矢量空间 Vj 的正交补空间Wj ，小波函数具有高通滤波的作用，并满足方程(t)g(k)kZ(2t k )(4.2)对任意一平方可积函数或信号 f(t) L2，在 2j尺度下的离散小波变换W2dj f 为 W2dj f 2( j/2) R f(t) (2 jt k)dtf (t),2 ( j/2) (2 j/2)t k)平滑信号为A2dj f 2( j/2) f (t) (2 jt k)dtf(t),2( j/2) (2 j/2)t k) j Z小波变换 W2dj f 与平滑分量 A2dj f 满足递推公式A2dj f 2 h(n 2k)A2dj f 2 g(

35、n 2k)W2dj fk Z k Z其中W2dj fg(k 2n)A2dj1f ；A2dj fh(k 2n)A2dj1 fkk信号 f (t )的多分辨率分解与重构可由上式完成， 推广至二维图像空间， 在图像被分解成 1个轮廓图像 A2dj f 和 3个细节图像 W2dj f d 1,2,3 。其中A2dj ( f)(x,y), 2j (x 2 jn) 2j(y 2 jm) n,m Z代表了图像的低频成分，低频图像还可以进一步分解成 4 个子带，设 分解层数为 K ，则总的子带数为 3K 1W21j (f )f(x, y), 21j (x 2 jn,y 2 jm) n,m Z代表了图像的垂直高

36、频成分(水平边界) ；W22j (f )f(x, y), 22j (x 2 jn,y 2 jm) n,m Z代表了图像的水平高频成分(垂直边界) ；W23j (f )f(x, y), 23j (x 2 jn,y 2 jm) n,m Z代表了图像的对角线上的高频成分。Mallat S提出了离散小波变换的一种快速算法，即用低通滤波器H 和高通滤波器 G 对原始数据进行逐步分层分解。 其结果是产生一个低频图像， 1 个水平方向的细节图像， 1 个垂直方向的细节图像和 1 个对角方向的细节图像。另外小波变换的多尺度分析 ( 或多分辨率分析 ) 是建立在函数概念上 的，其创建者 Mallat S 正是在

37、研究数字图像处理的问题时建立此理论的 .随 着尺度由大到小变化 , 在各尺度上可以由粗及精地观察图像的目标 .大尺度 时,观察到的是图像的基本特征 ;在小尺度的空间里 , 则可以看到目标的细 节 . 把 二 维图 像 信 号 f(x,y) L2(R2) 所 占 据 的总 频 带 定 义为 V0(2) (x,y)JVJ(1)(x) VJ(1) ( y) WJ(1)(x) VJ(1) ( y) VJ(1)(x) WJ(1) ( y) Wf(1)(x) W f(1)( y)j空间, 用理想的低通滤波器 h0和高通滤波器 h1在行、列方向将它分别分解成 低频部分 V1(1)和高频部分 W1(1) ,

38、每一方向的两部分分别反映出该图像信号在 剖分方向上的概貌和细节 ;对于V1(1) ( x) V1(1) ( y)经第二级 ( a = 21) 分解后 又被剖分成低频 V2(1) (x) V2(1)( y) 、水平方向的高频 W2(1) (x ) V2(1)(y) 、垂直方 向的高频 V2(1) (x) W2(1) ( y) 、以及对角线方向的高频 W2(1)(x) W2(1)(y) L 在这 种空间剖分过程中 , V f(1) (i )(i x,y) 反映的是图像信号在空间 Vf(2)1(i)(i x,y) 中沿 i 方向概貌的低频子空间 ，Wf(1)(i)(i x,y) 反映的是图像信号在空

39、间 Vf(2)1(i)(x,y)中沿 i方向细节的高频子空间。从多分辨率分析可以看出 , 空间的每次剖分包含两部分 :一部分是图像 信号通过低通滤波后得到的低频概貌 ;另一部分是通过带通滤波 (小波变换 ) 得到的图像高频细节 ;对于低频概貌,重复以上过程 ,最终把图像信号分解 成多个等级的高频细节与最后一次低通滤波后的低频概貌之和。在剖分过 程中, 这些子空间具有以下的特性 ：2 单调性: Vj(2) (x,y) Vj(2)1(x,y)逼近性: j Z V j(2) (x, y) 0, j ZVj(2) (x,y) L2(R2)伸缩规则性 : f (x,y) Vj(2) (x, y)f (x

40、2, 2y) Vj(2)1(x,y) j Z平行不变性 : f (x,y) V0(2) ( x, y)f (x k1,y k2) V0(2) (x,y) k1,k2 Z满足的上述性质称为多尺度分析即 :L2(R2)JVJ(1)(x) VJ(1) ( y)WJ(1)(x) VJ(1) ( y)VJ(1)(x) WJ(1) ( y)Wf(1)(x) W f(1)( y)j任意函数 f (x,y) V0(2)(x,y) 应用多尺度分析将其分解为细节部分或是某一方向上的细节部分和 f ( x, y) Vi(1) ( x) Vi (1) ( y) 的基本特征部分Vi (1) ( x) Vi(1)(y)

41、然后将 Vi(1)(x) Vi(1) ( y)进一步分解 , 可得到任意尺度下的 f ( x, y)的基本特征部分以及细节部分之和。 按照多尺度分析理论 , 描述函数f(x,y) 分解过程如图所示图 4-1常用的几种边缘检测算子近年来受到广泛关注的边缘检测方法是 Canny 算子以及 Mallat 边缘检 测算子。下面就简单地作以介绍：1 Canny 边缘检测算子Canny 算子使用一阶导数的极大值表示边缘。 其基本思想是先将图像使 用 Gauss 函数进行平滑，再由一阶微分的极大值确定边缘点。二阶导数的 零交叉点不仅对应着一阶导数的极大值也对应着一阶导数的极小值，也就 是说，灰度变化剧烈的点

42、与灰度变化缓慢的点都对应着二阶导数零交叉点 不仅对应着一阶导数的极大值也对应着一阶导数的极小值。在用高斯函数对图像 f (x, y)进行滤波得到 f G (x,y) f(i, j) ，其中 为相应的尺度因子。计算其梯度矢量的模和方向：图像边缘点即为在方向 A 上使 M 取得局部极大值的点。2 Mallat 小波边缘检测算子基于 Canny边缘检测算子的主要思想， Mallat 在 1992 年提出了小波变 换极大值方法，并用于分析信号的奇异性和图像的边缘检测，使其成为图 像检测的重要工具。在边缘提取中，一般取小波函数为其中 ( x, y)为平滑函数，满足( x, y)dxdy 1，且 (x,

43、y) 0。R2则相应的二进小波变换为小波变换中尺度参数 S 的确定及有效边缘判定进行边缘检测时，滤波尺度参数 S 的选取取决于当前象素点所处的区 域是纹理区（平滑区）还是边缘区，如果是纹理区（平滑区） , 则取大的滤 波尺度 S, 以抑制噪声；如果是边缘区，则取小的滤波尺度 S ，以准确定位 边缘。（1）判断纹理区（平滑区）和边缘区12计算 S 1,S 2两个尺度下的小波变换结果 W1和W2 ，对于坐标为 （i, j） 的象素点，在两个尺度下的小波变换模值分别为 Wij1和Wij 2 ,若满足 Wij1 Wij2,则判断为脉冲噪声 ,其中Tm是阈值， Tm的取值可以去掉一部分噪 声和一些弱的细

44、节，其取值受图像中噪声强度的影响，若图像噪声强度较 弱，则Tm较小；否则Tm较大。假设图像中噪声分布为 N（0, 2） ，可取Tm 2 , 这样可以去掉较多噪声点。将整幅图像中所有这样的脉冲去掉，然后将剩下的 Wij1, 中的局部极值 点（候选边缘点）进行线形连接，得到各候选边缘点的链长 L ，将链长 L 大 于某一阈值 TL 的候选边缘点定义为大轮廓的边缘点，然后计算其它候选边 缘点距离最近的大轮廓边缘点的距离 D ，得到边缘点要素中的 D 参量，候 选边缘点的方向参数 可使用文献中的方法来计算， 这样，可以得到整幅图 像中所有候选边缘点的边缘特征。（2）滤波尺度参数 S 的选取范围边缘准确

45、定位时，滤波尺度 S 应尽可能小，取最小尺度 S0 1。最大滤波尺度 S的选取应考虑抑噪能力和计算复杂度的折衷 , 选取能够充分抑制 噪声的所有尺度中最小者为 Smax。由于使用的小波函数是平滑函数 (x) 的 一阶导数，检测到的边缘点是小波变换的局部极值点，在满足下式时则判 定为局部极值点， Wf(X0,S) Wf(X0 x0,S) T其中 X 0是局部极值点， x0是 X 0的邻域， T是阈值。理论上是不需要阈值的，但具体实现时，阈 值可以抑制噪声的影响，同时阈值在一定范围内时(不引起有效边缘的丢 失)，决定着相应的最大滤波尺度 Smax ，阈值越大， Smax 越小；阈值越小， Smax

46、 越大。利用有效边缘测度 调整滤波尺度 S 若判定当前象素点处在纹理区 (平滑区)，则应取最大的滤波尺度 Smax ； 若判定为边缘区，则应取最小滤波尺度 S0 ；若不能确定时，选取尺度为 S0 1，这样在一定程度上可以抑制噪声， 同时又不会使边缘定位误差过大， 如果图像噪声的强度较大，这个尺度可以取 S0 2 ，以进一步抑制噪声。第五章 利用小波变换进行边缘检测5.1 利用小波变换进行边缘检测的基本原理设 (x, y)上一适当光滑的二元函数，并满足条件：( x, y)dxdy 1, 2lim2(x,y) 0 x y (5.1)引进记号：gs(x,y) 12 g x,ys s s (5.2)用

47、函数 s(x, y) 对 f (x,y)进行光滑得 f s(x, y) 。现在取二维小波基本函数 1(x,y), 2(x, y)如下：1(x,y)(x, y)x，2(x,y)(x,y)y作相应的小波变换如下：2 * 2Ws2 f (x,y) f * s2(x,y)1 * 1Ws1f(x,y) f* s1(x, y)由 1(x,y) ， 2(x, y)的定义，易得：1显然，向量 Ws2f (x,y)(5.3) 的模取极大值的点对应函数 f s(x, y)(即按尺度s光滑后的图像)的突变点。当 s很小时，用 s(x,y) 对 f (x, y)光滑化的 结果对 f(x, y)的突变部位的位置形态影响

48、不大，而当 s稍大时，则此光滑 过程会将 f (x, y) 的一些细小突变(有噪声引起的不是图像的真正突变)消 去，剩下尺寸较大的突变(图像真正的突变) 。对 参 数 s 取 二 进 数 列 2j， 则 二 维 函 数 序 列jZWf W21jf(x,y),W22jf(x,y) j Z为 f ( x, y)的二维二进小波变换。在 2j 尺度下， f (x, y)的梯度的模正比于：M2j f(x,y) W21j f(x,y) W22jf(x,y)2 它与水平方向的夹角等于：A2j f(x,y) arg(W21j f(x,y) iW22j f(x,y)显然，M 2j f (x, y)取极大值的点对

49、应 f* 2j (x, y)的突变点，A2j f(x,y)则 5、同时满足以下三式，则 O 点为模极大值点：给出了梯度方向根据前面的分析可以知道，用小波系数的局部极大值点可刻画出图像 信号突变点的位置，即图像边缘的位置。因此，利用小波变换的极大值检 测可以探测出图像的边缘点。利用小波变换进行边缘提取的两种方法根据上面所述的利用小波变换进行边缘提取的基本原理，对于数字图 像可设计出下述计算机实现方法：1、选择 MRA 滤波器、边界拓展方式、分解尺度 J 和阈值 Tdh d v2、小波变换，设原始图像为 a0 ，变换得到 dj 、dj223、计算： Mj f (x,y) djh(x, y) dvj

50、(x,y)dvj (x, y)Aj f (x,y) arctg hj(5.4)djh(x,y)4、 确定与 O点相邻的两点 adj1(x1, y1 ) 、 adj 2(x2 , y2 ) 。如图：Mff(O) Mf f (adj1) ；Mf f(O) Mff(adj2)；Mff(O) Mf f (adj1)或M f f (O) M f f (adj2) 。若Mff(O) T则令 g(O) 0，否则 g(O) 255。6、将 g(x, y) 显示出来即为所求边缘图像。7 、重复步骤 2-5，直至分解尺度 J。对于上述方法还有以下简化算法， 该算法把二维边缘检测问题转化为 小波变换来处理，简化了算

51、法的复杂度，其实现方法如下：1、选择 MRA 滤波器、边界拓展方式、分解尺度 J 和阈值 T。2、对图像的每一行像素做一维小波变换，并取绝对值。3、对图像的每一列像素做一维小波变换重复步骤 2。4、分别求取行列小波变换的模值极大值点，其余点置 0。5、若Mf(x,y) T，则令g(x,y) 0，否则 g(x,y) 255。6、将 g(x,y) 显示出来即为所求边缘图像。7、重复步骤 2-5，直至分解尺度 J。按上述方法分别对 Lena图进行边缘检测，使用 B样条小波，得到下图的边缘图像。图 5-1: 用小波变换得到的图像第六章 结 论这种多尺度不仅改变了以前的高斯算法计算量大的缺陷 , 而且以

52、较少 的运算便可得到理想的图像处理结果 . 与传统的高斯尺度空间算法相比较 得到如下结论 :与传统的经典的边缘检测算法相比 , 此小波变换具有定位精确和计算量小的优点 ; 而传统的和经典的边缘检测算法不仅不够精确 , 而计算量大 , 对噪声的敏感程度也远远高于小波变换的算法 ;利用小波的多尺度空间信息 , 识别图像边缘特性的能力比高斯尺 度空间强 . 由于小波变换有多尺度的特点 , 可以利用多尺度特性 , 通过细 节和粗节的逼近 , 将图像的空间信息较好的描述 , 与传统的和经典的边缘 检测算法相比 , 在识别边缘特征方面 , 强于它们 .在边缘和噪声的取舍中 , 由于二者均为高频信号 , 很

53、难用频带划 分 . 小波变换的方法 , 使得在大尺度下抑制噪声 , 小尺度下 , 得到边缘的 真实位置 ; 而传统的和经典的边缘检测算法则在此问题上不能提供有效的 解决办法 .致 谢：为期三个月左右的毕业设计结束了，在这次设计中使我对数字图像处 理有了进一步的认识与研究，充实了自己的专业知识，并且在本次设计中 得到了桂志国老师的大力帮助，给我提出了宝贵的意见和修改建议。在此 衷心感谢桂志国老师对我的帮助，使我的毕业论文能够顺利完成。参 考 文 献：1】 李勇，徐震等， MATLAB 辅助现代工程数字信号处理 ，西安电子科 技大学出版社 20022】 飞思科技产品研发中心， MATLAB 6.5

54、 辅助小波分析与应用， 电子工 业出版社 20033】 楼顺天， 李博菡 ，基于 MATLAB 的系统分析与设计信号处理， 西安电子科技大学出版社 19984】 胡昌华，张军波，夏军，张伟，基于 MATLAB 的系统分析与设计 小波分析 19995】 胡昌华，张军波，夏军，张伟，基于 MATLAB 的系统分析与设计 小波分析，西安电子科技大学出版社 19996】 杨福生，小波变换的工程分析与应用，科学出版社2001译文：一种改进的边缘检测与边缘等级排列技术摘要本文说明了一种精简的 Canny边缘检测的方法 , 随后从边界的角度排列 了他们相对距离上的边缘 .这促进了计算机视觉的合适细节选择 ,

55、 特别是对 有连接的物体 .第一个议题是对有错误的缝隙与伪边缘中用已经存在的 Canny 算法只 选择一条边缘相互交叉的路径 .说明了一种有效 , 实用的 Canny 技术处理过 程,这种算法能够系统、 合适的连接边缘，最后一个命题是边缘的等级排列。1、动机与介绍 这项工作的原理与基础理论需要一个可以连接的具有多种边缘细 节的周界提取器。这需要产生一个图像预处理的可以进行手动跟踪系统的 平台，为了实现这个结论，使用精确模板的几何学技术来浏览图像。他能 够来为图像重要部分的边界提取服务，并能够很好的分辨出周界上的边缘 细节的区别于不同。第二部分简明的说明了 Canny 边缘检测的算法。第三部分说

56、明了周界 提取出的边缘排列与缝隙连接。第四部分提出了这种技术市怎样为后期精 确的 3D 物体图像的处理与重现，第五部分是总结与结论。2、Canny边缘检测 一种寻找物体边界的标准后简单方法是得到它的轮廓， 并且对单一的， 已知的可控制的背景轮廓能够很容易的被计算出来。然而轮廓边界的精确 位置随着计算阈值的选择，源方向与边界附近的光线水平有关。一种更加精简的方法 -几乎可以克服所有的缺点 - 是用边缘检测，正如 我们处理低分辨率图像时，精确的算法用来抵消粗糙的不足，另外一种优 点是能够计算出内部细节而不是一个单点，这对多关节的物体追踪是十分 重要的。在计算机视觉基础上的边缘检测，被定义用来计算图

57、像的每一个像素 值，并按比例计算两种不同边界值的像素Canny 边缘检测算法，被用于 openCV，选择它是因为他的快速运算结 果（与重要的边缘检测技术相比较） ，与它的高效率实行技术。如何工作的第一长图是被高斯回旋所平滑的， 然后用 2D的衍生操作器对平滑图象 的亮光部分检测。边缘表示在图像的梯度极大值上，算子跟踪检测那些梯 度变化的点，并将不变化的值赋 0，所以输出即为一条线。两种阈值限制了这种算法， T1与 T2T2，计算时只从值大于 T2 的点开 始。然后想两个方向计算直到值小于 T1。这种滞后现象使得噪声不会干扰 多边缘的细节。Y- 边缘连接点效果基于 Canny 操作器的一个问题是

58、：“Y-连接” ：这种情况发生在梯度 图象的 3 个边缘或者更多的边缘相交时。当一个边缘被另外一个物体所融 合或交合时，这种算法会把两个边缘认作为同一条线，并且第三条极大值 边缘作为一条直线来接近他，但是并没有连接上另外两个边缘。图 1： Canny 检测算子和它的“ Y-连接”效果左：影像图像，右： Canny 边缘检测。注意到两条垂直的显示怎么样接近 的但是并没有与中心的水平线相接，产生了水平的两个伪边缘。边缘等级边缘等级与下面的法则有关。0 周界上的边缘1 并不是 0 等级的并且截止在周界上的边缘。N 不是小于 N 等级的，并且截止在 N-1 的边缘后来平台的处理含有图像的各种边缘等级构

59、造起来的框架， 有益于 选择合适的边缘细节。周界提取从上面的边缘检测发现 , 周长被提取出来。虽然比较琐碎，可能会（通 常都会）在物体重要部分上有伪造的噪声，而且周长大体上都不再连续。首先图像从内部框架的外边缘进行扫描， 由于任何有界图形的像素将会从外部接近（尽管图形没有连接）（实际上，有一种间接的可能性，即这 种扫描可能先连接内部物体的重要部分，但事实上并没有干扰到运算的成 功。最坏打算它只是对低等级的边缘减慢了检测进程。然后，检测边界的基础图形， 当考虑到其他的边界像素时对图形的外界 一定要注意，这个可以用下面的实现：1、 当我们对每一个像素沿着周长追踪时，要保持“最后外部 像素”的观点。

60、2、从与痕迹的方向一致的图形最后的最外面的像素开始旋转。换句话说，每一次我们找出另外的一个周长像素 , 我们记录最后的非周 长像素。（在外部） 为了要找下一个周长像素， 我们替换了立即相邻像素 （从 最后外部像素开始，与旋转的方向相同）。我们假设物体重要的外部边缘在处理的过程中已经被移动或者忽视。 尽 管它可能与其他边缘相接，也可以用测量长度等技术来实现。这不在是一 个没有原形的问题。缝隙连接现在如果我们试着向前追踪我们已经发现的形状外部， 我们会发现通常 痕迹只出现在物体周界周围的一部分，因为 Canny 边缘检测留下了缝隙。图 3: 维持“由从它的中心到它的最后外部的图素中心的一个直线部分