“折叠中的数学”教学设计

1、“折叠中的数学问题”教学设计 一、教学目标1.通过引入开放性问题,梳理折叠问题中蕴藏的数学知识,提炼出解题的基本方法;2.通过问题思考,巩固基础知识,提炼基本图形,内化基本方法;3.在问题解决的思路形成过程中,不断提高学生综合应用知识的能力，领会变中寻找不变量（关系）、一般问题特殊化等思想,以提升他们的思维能力.二、教学重难点教学重点是折叠问题中基础知识的梳理,基本数学方法的提炼;教学难点是在复杂的图形背景下基本图形的提炼与解题思路的分析.三、教学设计ABCDFDABCDFDE 问题1 想一想:F如图1，已知矩形纸片ABCD现将矩形纸片沿EF折叠，F使点A与点C重合,连结AE.你能得到哪些结论

2、,并说明理由?（图1）（图1） 若给定AB=4，BC=2，则EF的长为多少? 设计意图通过引入开放性问题,旨在揭示梳理折叠问题中蕴藏的数学知识与本质特征,归纳出问题解决的基本方法。理一理:折叠问题会用到哪些数学知识,解决问题中你体验到了什么方法？（1）折叠问题的本质轴对称变换,包含着对应边、对应角相等；对称轴垂直平分对应点的连线段等基本性质;（2）折叠问题解决的一般方法:把研究的问题转化到三角形中.若研究的三角形条件充分，则可直接利用直角三角形的性质求解；若三角形条件不充分，则可借助于相似三角形解决.设计意图 通过对知识与方法的整理,有助于学生完善知识网络,并形成问题解决的清晰思路,（二）巩固

3、知识，内化方法(图2)(图2)点F处,已知AB=,则EC的长为 .图3BCEADFCNCPCMC图3BCEADFCNCPCMC折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），PDM的周长是否发生变化？请说明理由 设计意图通过两个同一类型的折叠变式问题,既巩固基础知识与基本方法,提炼基本图形;也使学生进一步体会到,无论图形怎么变化,在变中寻求不变量(或不变关系)是本质,并领会一般问题特殊化的策略，从而加深对动点问题求解的一般性方法理解.(三)拓展提升，深化思维问题3：已知矩形纸

4、片的边AB=2,BC=3,点M是边CD上的一个动点(不与点C重合).把这张矩形纸片折叠,使点B落在点M的位置上,折痕交边AD于点E,交边BC于点F(如图4).(图4)设,并写出自变量(图4)的取值范围.试判断BEM是否可能为90.若可能,请求出此时CM的长;若不可能,请说明理由.（备用）变式.如图5-1，将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕当时，求的值方法指导：方法指导：为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2类比归纳在图5-1中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 （用含的式子表示）联系拓广 如图5-2，将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不

5、与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 （用含的式子表示）图5-2N图5-2NABCDEFM图5-1ABCDEFMN设计意图通过引入有关的动点问题,一方面予以强化学生灵活运用知识的能力,另一方面使学生把握变中寻求不变量(或不变关系)的思想,而方程思想、函数思想、特殊到一般（一般回归到特殊）等常用数学方法的渗透,可以培养学生形成良好的思维品质,有效提高学生分析问题、解决问题的能力.(四)自我小结,纳入系统值得思考的问题：(1)通过本节课学习,对解决折叠问题的知识与方法你是如何理解的?(2)你能归纳一下折叠问题的基本类型吗？对应的你能提炼出基本图形帮你更好地解题吗？(3)你体验到解决问题的常见策略

6、了吗?请你一一写下来，并与同学们交流！从知识上归纳:折叠问题就是轴对称变换,反映了对应边,对应角相等,对应点连线段被对称轴垂直平分这些几何基本元素的数量与位置关系;从方法上分析:解决折叠问题,先把问题转化到相关的三角形中研究.若三角形条件充分,可以利用直角三角形性质求解;若条件不充分,则可以借助相似三角形的性质求解;以矩形（正方形）为例，主要存在两类折叠问题：第一类：直角顶点折叠到边上；第二类：非直角顶点折叠到边上（基本图形略）从策略上考虑:利用方程模型,函数思想及一般问题特殊化，变中寻求不变量（或关系）的方法等运用;综合运用知识的能力提高等.(五)课后反馈,形成能力问题：（1）操作发现如图1

7、，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，且点G在举行ABCD内部小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由（图1）（图1）F保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；（3）类比探求保持（1）中条件不变，若DC=DF，求的值 设计思路本课是一节围绕折叠问题展开的专题复习课,旨在以轴对称变换的性质为线索,以勾股定理与相似三角形的相关知识为核心，在问题解决过程中，使学生理清几何解题的一般思路,并借以提高学生综合运用知识的能力,有效发展他们的思维.本设计主要安排了三个教学阶段,首先在梳理知识,提炼方法阶段,通过试一试,做一做与理一理三个环节,使学生达

8、到完成梳理知识,提炼方法的目的;其次在巩固知识,内化方法阶段,通过两个变式问题,强化学生对知识与方法的进一步理解,基本图形的提炼，并突出问题解决的基本方法;最后在拓展提升阶段,通过引入动点问题,以提高学生灵活应用知识与分析和解决问题的能力,其中渗透的从特殊到一般(一般到特殊)、方程思想、变中寻求不变量（或关系）的基本数学思想方法,着眼于培养学生良好的思维习惯与思维品质.同时,问题难度的设置由易到难,形式多样,既考虑了学生的认知特点和知识基础,又充分考虑到拓展与提升的复习要求. 2011年3月7日“折叠中的数学问题”工作单（一）梳理知识，提炼方法ABCABCDFD（图1）E如图1，已知矩形纸片A

9、BCD现将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合,你能得到哪些结论,并说明理由?(不再添加其它辅助线).若连结AE，则四边形AFCE是什么图形，请说明你的理由？若给定AB=4，BC=2，则EF的长为多少? 理一理:折叠问题中用到的数学知识与方法是：(图(图2)（二）巩固知识，内化方法问题2.如图2,折叠矩形ABCD的一边AD,点D恰好落在BC的边点F处,已知AB=,则EC的长为 .图3BCEADFCNCPCMC图3BCEADFCNCPCMC折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、

10、D重合），PDM的周长是否发生变化？请说明理由(三)拓展提升，深化思维(图4)问题3:已知矩形纸片的边AB=2,BC=3,点M是边CD上的一个动点(不与点C重合).把这张矩形纸片折叠,使点B落在点M的位置上,折痕交边AD于点E,交边BC于点F(如图4).(图4)(1)设,并写出自变量的取值范围.(2)试判断BEM是否可能为90.若可能,请求出此时的长;若不可能,请说明理由.(四)自我小结,纳入系统ABCDABCDE（图5）1.如图5，四边形ABCD是矩形，AB:AD = 4:3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE:AC = .2.（1）操作发现如图6，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，且点G在举行ABCD内部小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由（图6）（图6）F保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；（3）类比探求保持（1）中条件不变，若DC=DF，求的值图5-1ABCDEFMN3.如图5-1，将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕当时，求的值图5-1AB