2022-2023学年北京市第九十八中学高三数学理上学期期末试题含解析

1、2022-2023学年北京市第九十八中学高三数学理上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A（，+）B（，1）C（，）D（，）参考答案：B【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法 【专题】计算题【分析】依题意可知要使函数有意义需要1x0且3x+10，进而可求得x的范围【解答】解：要使函数有意义需，解得x1故选B【点评】本题主要考查了对数函数的定义域属基础题2. 函数的定义域是（）AB CD参考答案：B略3. 设变量x，y满足线性约束条件则目标函数z=2x

2、+4y的最小值是（）A6B2C4D6参考答案：D【考点】7C：简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，3），化目标函数z=2x+4y为y=x+，由图可知，当直线y=x+过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为612=6，故选：D4. 已知全集IR，若函数f(x)x23x2，集合Mx|f(x)0，Nx|0，则M?IN()A，2 B，2)C(，2 D(，2)参考答案：A. 由f(x)0解得1x2，故M1,2；0，即2x30，即x，故N(，)，?IN

3、，)故M?IN，25. 椭圆的距离是 （ ）A B C1 D参考答案：B6. 如果将函数f（x）=2sin3x的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于直线对称，则的最小值是( )A BCD参考答案：A考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：根据左加右减，写出三角函数平移后的解析式，根据平移后图象的对称轴，把对称轴代入使得函数式的值等于2，写出自变量的值，根据求最小值得到结果解：将函数f（x）=2sin3x的图象向左平移个单位长度，平移后函数的解析式是y=2sin（3x+）所得图象关于直线 x=称，y=2sin（3+）=2，3+=k

4、+（kZ）=k（kZ），0，故当k=1时，=故选：A点评：本题考查由三角函数图象的平移求函数的解析式，本题解题的关键是先表示出函数的解析式，再根据题意来写出结果7. 函数的一个单调减区间是（ ） A、B、 C、 D、 参考答案：C8. 设是等比数列an的前n项和，则的值为A或-1 B1或 C D 参考答案：C9. 已知集合,若，则实数= A.3 B.2 C.2或3 D.0或2或3参考答案：D10. 已知函数（其中）的部分图象如右图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（ ）A.向右平移个长度单位 B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向左平移个长度单位 参考答案：C二、 填空题:本大

5、题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，AB是圆0的直径，CDAB于D点，且AD=2BD，E为AD的中点，连接CE并延长交圆O于F，若CD=，则EF= .参考答案：12. 若双曲线的左、右焦点分别为、,线段被抛物线的焦点分成5:3两段,则此双曲线的离心率为_参考答案：13. 设变量x，y 满足约束条件则的取值范围是 参考答案：14. 已知直线与曲线交于不同的两点，若，则实数的取值范围是 .参考答案：15. 下列各结论中抛物线的焦点到直线的距离为已知函数的图象经过点，则的值等于命题“存在，”的否定是“对于任意，正确结论的序号是 参考答案：16. 某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在

6、这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号150号，并分组，第一组15号，第二组610号，第十组4650号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为的学生参考答案：37考点： 系统抽样方法专题： 计算题；概率与统计分析： 由题设知第八组的号码数比第三组的号码数大（83）5，由此能求出结果解答： 解：这50名学生随机编号150号，并分组，第一组15号，第二组610号，第十组4650号，在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为12+（83）5=37故答案为：37点评： 抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总

7、体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样17. 面积为的等边三角形ABC中，D是AB边上靠近B的三等分点，则= 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知点C的坐标为（0，1），A，B是抛物线y=x2上不同于原点O的相异的两个动点，且?=0（1）求证：；（2）若=（R），且?=0，试求点M的轨迹方程参考答案：【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用?=0，可得x1x2=1，根据=（x1，1），=（x2，1），即可证明；（2）由题意知，点M是直角三角形

8、AOB斜边上的垂足，又定点C在直线AB上，OMB=90，即可求点M的轨迹方程【解答】解：（1）设A（x1，），B（x2，），x10，x20，x1x2，因为?=0，所以x1x2+=0，又x10，x20，所以x1x2=1因为=（x1，1），=（x2，1），且（x1）（1）（x2）（1）=（x2x1）+x1x2（x2x1）=（x2x1）（x2x1）=0，所以（2）由题意知，点M是直角三角形AOB斜边上的垂足，又定点C在直线AB上，OMB=90，所以点M在以OC为直径的圆上运动，其运动轨迹方程为x2+（y）2=（y0）【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查向量知识的运用，考查运算求解能力，推理

9、论证能力，属于中档题19. 设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且SABC=bccosA（1）求tan2A的值；（2）若b2=a2+c2ac，b=，求c参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由题意和三角形的面积公式求出tanA的值，由二倍角的正切公式求出tan2A的值；（2）由题意和余弦定理求出cosB，由内角的范围和特殊角的余弦值求出B，由同角三角函数的基本关系求出sinA，由正弦定理求出边a，代入b2=a2+c2ac求出c的值【解答】解：（1）由题意知，SABC=bccosA，则bcsinA=bccosA，则sinA=2cosA，即tanA=2，所以tan2A=；（

10、2）因为b2=a2+c2ac，所以a2+c2b2=ac，由余弦定理得，cosB=，由0B得，B=，由（1）知tanA=2，则，解得sinA=，因为sinA0，所以sinA=，由正弦定理得，a=2，代入b2=a2+c2ac得，5=8+c24c，则c24c+3=0，解得c=3或120. （12分）四边形与都是边长为a的正方形，点E是的中点，（1） 求证：；（2） 求证：平面 （3） 求体积与的比值。 参考答案：证明：（1）设BD交AC于M，连结ME.ABCD为正方形，所以M为AC中点，又E为的中点 ME为的中位线又. （2）ABCD为正方形 .又. （3）（要有计算过程）21. 已知函数f（x）=

11、（lnxk1）x（kR）（1）当x1时，求f（x）的单调区间和极值（2）若对于任意xe，e2，都有f（x）4lnx成立，求k的取值范围（3）若x1x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2e2k参考答案：【分析】（1）由题意x0， =lnxk，由此根据k0，k0利用导数性质分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值（2）问题转化为k+1对于xe，e2恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x4，xe，e2，则，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围（3）设x1x2，则0 x1ekx2ek+1，要证x1x2e2k，只要证x2，即证，由此利用导数性质能证明x1x2e2k【解答】解：（

12、1）f（x）=（lnxk1）x（kR），x0， =lnxk，当k0时，x1，f（x）=lnxk0，函数f（x）的单调增区间是（1，+），无单调减区间，无极值；当k0时，令lnxk=0，解得x=ek，当1xek时，f（x）0；当xek，f（x）0，函数f（x）的单调减区间是（1，ek），单调减区间是（ek，+），在区间（1，+）上的极小值为f（ek）=（kk1）ek=ek，无极大值（2）对于任意xe，e2，都有f（x）4lnx成立，f（x）4lnx0，即问题转化为（x4）lnx（k+1）x0对于xe，e2恒成立，即k+1对于xe，e2恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x4，xe，e

13、2，则，t（x）在区间e，e2上单调递增，故t（x）min=t（e）=e4+4=e0，故g（x）0，g（x）在区间e，e2上单调递增，函数g（x）max=g（e2）=2，要使k+1对于xe，e2恒成立，只要k+1g（x）max，k+12，即实数k的取值范围是（1，+）证明：（3）f（x1）=f（x2），由（1）知，函数f（x）在区间（0，ek）上单调递减，在区间（ek，+）上单调递增，且f（ek+1）=0，不妨设x1x2，则0 x1ekx2ek+1，要证x1x2e2k，只要证x2，即证，f（x）在区间（ek，+）上单调递增，f（x2）f（），又f（x1）=f（x2），即证f（x1），构造函数h（x）=f（x）f（）=（lnxk1）x（lnk1），即h（x）=xlnx（k+1）x+e2k（），