2024年3月湖北省武汉市高三一模考试数学试卷及答案

2023-2024学年第二学期高三年级教学质量检测(省外8)

数学

(满分：150分考试时间：120分钟)

2024.3

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.己知集合人=㈠|2*2+*—1<0},B={y|y=/g(x2+l)},贝|ACB=()

A.(-1,0]B.[0,1)C.(-1,0]D.[0,1)

2.若复数z满足2z+3z=5—2i,则|z|=()

A.小B.2C.小D.乖

3.己知abWl,logam—2,/ogbm=3,则/ogabm=()

A.TB.TC.TD.7

OJOJ

4.将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同

的装法种数为()

A.7B.8C.9D.10

5.设抛物线y2=2x的焦点为F,过抛物线上点P作其准线的垂线，设垂足为Q,若/PQF

=30°,则PQ=()

42近3^

zi.33•4、2

6.法布里贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n层薄膜，记光

波的初始功率为Po,记Pk为光波经过第k层薄膜后的功率，假设在经过第k层薄膜时光波的

透过率Tk=B=玄，其中k=l,2,3…n,为使得言》2024,则n的最大值为()

A.31B.32C.63D.64

7.如图，在函数f(x)=s讥®x+(p)的部分图象中，若fl=AB，则点A的纵坐标为()

2fR小T

A.2,2

C.小~y[2D.2-小

8.在三棱锥PABC中，AB=2w，PC=1,PA+PB=4,CA—CB=2,且PC_LAB,

则二面角PABC的余弦值的最小值为()

A亚31迎

zi.3R42u.5

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量〃=(cos仇sin3),b=(—3,4),则()

1

4-3

A.右a〃儿则tan<9=-gB.右a_L"则sin夕=5

C.la一加的最大值为6D.若/(a—/>)=0,贝电一方|=2加

10.将两个各棱长均为1的正三棱锥DABC和EABC的底面重合，得到如图所示的六面

体，则()

A.该几何体的表面积为芈

B.该几何体的体积为半

C.过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直

D.直线AD〃平面BCE

1—I—Y

11.已知函数加)=a(e*+l)lnq二彳)一-+1恰有三个零点，设其由小到大分别为的,检，

%3，贝!1()

A.实数4的取值范围是(0,E)B.XI+X2+X3=0

C.函数g(x)=/(x)+/一%)可能有四个零点D.；„=ex3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在△ABC中，其内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若8=竽，b=6,/+，

=2^2ac,则AABC的面积为.

13.设椭圆卷+f=1的左、右焦点为Q，B，过点后的直线与该椭圆交于A，8两点，

若线段的中垂线过点Fi，则BJ=.

14.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，

容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻

仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束.已知该粒

子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

各项均不为0的数列｛如｝对任意正整数w满足2+2+-+^^=1—4.

。2。3anan+i2an+i

2

(1)若｛为｝为等差数列，求处；

2

(2)若ai=-7,求｛。〃｝的前“项和S”.

16.(本小题满分15分)

如图，在四棱锥98c。中，底面ABC。是平行四边形，PA=PB,DA=DB=y[2,AB

=2,PD=L点、E,尸分别为43和尸2的中点.

(1)求证：CFLPE；

(2)若PE=1,求直线CF与平面尸2。所成角的正弦值.

17.(本小题满分15分)

随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展.其中利

用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货.某

公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角

色直播带货后的销售金额情况统计.

2023年82023年92023年102023年112023年122024年1

月月月月月月

月份编号X123456

销售金额

15.425.435.485.4155.4195.4

y/万元

若y与尤的相关关系力以用线性回归，慎型表示，回答如下问题：

(1)试求变量y与x的样本相关系数《结果精确到0.01)；

(2)试求y关于x的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.

n

A_AIAAS(Xi-x)(%—y)

参考公式和数据：经验回归方程上=h7十a♦其中"-------:——

X(X/-X)2

z=l

n

T-Xiyi—ivcyA—A—

二-----------,a=y=l)JC>

Z%?—nx1

3

nn

Z（沏一x）（y「y）^iyi-nxy

样本相关系数，一号-------F-------------------

（汨-x）弋石（y「y）2N条一4一孙②

6/g（»，一歹了

Z种=2463.4,7=20770.

4

18.(本小题满分17分)

已知双曲线E：，一*=1的左、右焦点为Fi，F2，其右准线为1,点F2到直线1的距

|,过点F?的动直线交双曲线E于A,B两点，当直线AB与x轴垂直时，AB=6.

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)设直线AFi与直线1的交点为P,求证：直线PB过定点.

19.(本小题满分17分)

gX-1

已知函数f(x)=^^.

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(D)处的切线方程；

(2)求证：f(x)是其定义域上的增函数；

⑶若f(x)>ax,其中a>0且a#l,求实数a的值.

5

2023〜2024学年第二学期高三年级教学质量检测（湖北武汉）

数学参考答案及评分标准

1.B2.C3.D4.A5.A6.C7.B8.A9.ACD10.AC11.BCD

12.313.竿14.瞿

15.解：(1)由题意，-^―+~~H-----F---

。1〃2a2a3anan+i2Q〃+I

〃〃+1。八+22aH+2

两式相减得-------=4（」一一」一），

。八+1。〃+2乙4八+2

化简得斯+2—斯+1=2.

即数列｛斯｝是从第2项起公差为2的等差数列.

若数列｛斯｝是等差数列，则满足42—41=2.

令〃=1,有=1—Y-,即〃2=工+].

2。2412

所以:=41+2,解得的=-2或〃1=口.

a\zz

由。2=。1+2/0,所以O分）

（2）«2=~+]=-3.

由（1）,数列｛斯｝是从第2项起公差为2的等差数列.

所以〃三2时，斯=奥+2（九一2）=2n—7.

(n—1)(故+斯)2

止匕时，="1+（〃2+。3+…+诙）=+

（〃一1）（—3+2〃一7）

2-

33

=*2

整理得Snn—6n-\~~（〃22）.

2

又Si=ai=一]也满足上式，

一

233

所以Sn=n-6n+—.（13分）

16.（1）证明：如图，取尸石的中点G,连接。G,FG.

由。A=Q5=也，AB=2,△0A3是等腰直角三角形.

此时。石=1,又尸。=1,所以PE_LZ）G.

因为阴=尸5,所以PEL4A

由尸G〃仍，所以PELLFG.

6

此时，CD"XB/IFG,有C,D,G,尸四点共面，

FGHDG=G,直线PE_L平面C£)GE

由C尸u平面CDGF,所以CFLPE.Q分)

(2)解：由AB_LPE,ABIDE,5.PECiDE^E,所以直线AB_L平面P£)E.

由PE=£>E=PD=1,所以是等边三角形.

以E为原点，EB,即所在直线分别为x轴、y轴，过点E且与平面A8CD垂直的直线

为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

尸(0,；,坐),D(0,I,0),8(1,0,0),C(2,1,0),尸(；，(，坐),

DP=(0,一；,坐)，法=(1,-1,0),设平面的法向量”=(x,y,z),

1,^3

n-DP=0,一下+2z=0n)

由，_即《取z=l,得到平面尸8。的一个法向量”=(5，小,

ji-DB—Q,

1).

又危=(|,1,一坐).设直线CF与平面尸8。所成角的大小为仇

则sin0=|cos〈"，FC〉尸回Q=干生=¥

|„|.|FC|巾,小7

所以直线CF与平面PBD所成角的正弦值为平

.(15分)

1+2+3+4+5+6

17.解：(1)由已知可得尤3.5，y

6

15.4+25.4+35.4+85.4+155.4+195.4

6=854

又石(%,—X)2=(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2=17.5,

所以一(%,—%)2—y)2=20\/70，

6

Yxiyi-6xy2463.4—6X85.4X3.5670

则样本相关系数r=i6—16=

勺石(x,—x)音(»-y)2军X20^75700

^0.96.(8分)

(2)设y关于尤的经验回归方程为八，其中

6

4石孙—6xy2463.4—6X3.5X85.4268

£(XLX)2(唔27

AA968

a=y~fX=S5A——Y~X3.5=-48.6,

所以y关于x的经验回归方程为夕=半x-48.6.

7

把x=7代入得=219.4(万元).

所以预测2024年2月份该公司的直播销售金额为219.4万元.(15分)

18.(1)解：设双曲线的半焦距为c,则右准线的方程为1：X稳.

a2卜2a

由题意，C——=—=2.

x2V2b2?b2

在方程苕=1中，令*=。,解得y=±/,所以.=6.

联立解得a2=l,b2=3,

所以双曲线E的标准方程为x2—9=1.(5分)

(2)证明：当直线AB与x轴不重合时，设其方程为x=my+2.

x2_j,

与双曲线方程联立：13'BP(3m2-l)y2+12my+9=0.

、x=my+2,

[,—12m

、yi-3m2-「

设A(xi，yi),B(X2，y2)，有＜

了42;/二i.

直线AFi的方程为丫=一七(x+2).

XlI乙

令x=|,得到点P坐标g,2(^+2)),

所以直线PB的方程为(X2—g)(y—y?)—(y2(^4-2)X2)J

令y=0,得到直线PB与x轴交点的横坐标：

丫2(X22)xiy2-5x2yi+2y2(myi+2)y2-5(my2+2)yi+2y2

一5yl2xiy2—5yi+4y22(myi+2)丫2—5yi+4y2

y2-2(xi+2)

-4myiy2-10yi+4y2-4myiy2-10(yi+y2)+14y2

2myiy2-5yi+8y22myiy2-5(yi+y2)+13y2

—36m+120m+14(3m2—l)84m+14(3m2—l)14

18m+60m+13(3m2—1)78m+13(3m2—1)13,

14

所以直线PB过点噌，0).

14

当直线AB与x轴重合时，直线PB也与x轴重合，也过点（行，0）.

14

综上所述，直线PB过定点（百，0）.（17分）

女(x11)ex+1

19.(1)解：f(x)=-----3-----

f(l)=l,f(l)=e—1.

8

故切线方程为y=x+e—2.(3分)

(2)证明：f(x)的定义域为(-8,0)U(0,+8).

令g(x)=(x—则g，(x)=xex,令g，(x)=O,得x=0.

当xVO时,gr(x)<0,g(x)单调递减,g(x)>g(O)=O,所以？(x)>0,f(x)单调递增;

当x>0时，或x)>0,g(x)单调递增,g(x)>g(O)=O,所以？(x)>0,f(x)单调递增.

所以f(x)在(一8,0)和(0,+8)上都是增函数.

令(p(x)=eX—l—x,(pr(x)=ex—1,令(p<x)=O,得x=0.

当x<0时，(pr(x)<0,(p(x)单调递减；当x>0,(pr(x)>0,(p(x)单调递增.

廿一1

x<0时，(p(x)>(p(O)=O,ex-l-x>0,所以f(x)=F-<1.