模糊数学规划

1、绪言任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法

2、描述和处理。而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。如判断企业经

3、济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。客观实际中存在众多的模糊性事物和现象，促使人们寻求建立一种适于描述模糊事物和现象的逻辑模式。模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。模糊方法的逻辑基础是连续值逻辑，它是建立在0

4、，1上的。如若我们把年利税在100万元以上者的属于“经济效益好”的企业的隶属度规定为1，那末，相比之下，年利税少1元的企业，属于“经济效益好”的企业的隶属度就应相应减少一点，比如为0.99999，依此类推，企业的年利税每减少1元，它属于“经济效益好”的企业的隶属度就要相应减少一点。这样下去，当企业的年利税为0时，它属于“经济效益好”的企业的隶属度也就为0了，显然，模糊方法的这种处理方式，是符合于人们的认识过程的，连续值逻辑是二值逻辑的合理推广。现代科学发展的总趋势是，从以分析为主对确定性现象的研究，进到以综合为主对不确定性现象的研究。各门科学在充分研究本领域中那些非此即彼的典型现象之后，正在扩

5、大视域，转而研究那些亦此亦彼的非典型现象。自然科学不同学科之间，社会科学不同学科之间，自然科学和社会科学之间，相互渗透的趋势日益加强，原来截然分明的学科界限一个个被打破，边缘科学大量涌现出来。随着科学技术的综合化、整体化，边界不分明的对象，亦即模糊性对象，以多种多样的形式普遍地、经常地出现在科学的前沿。模糊集合理论自诞生以来，获得了长足的发展，每年全世界发表的研究论文的数量，以指数级速度增长。研究范围从开始时的模糊集合，发展为模糊数、模糊代数、模糊测度、模糊积分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑等众多的分枝。和模糊集合理论的发展速度相比，模糊技术的应用虽稍迟一步，但也取得了令人可喜的进展。自198

6、0年第一例应用模糊技术的产品问世以来，有关这方面的研究报告已逾7000多篇，制造出近千种模糊产品，如计算机、电饭煲、摄像机、微波炉、洗衣机、空调器等。如日本松下公司研制的智能化家用空调器，可根据内置的传感器提供的室内空气温度数据，在室温高或低于25C时，会自动地“稍稍”调节空调器的阀门，进行4608种不同状态设定选择，从而获得最佳开启状态和尽可能少的消耗。而这种“稍稍”的程度，只有通过有经验的人的感觉来决定。模糊技术方法不是对精确的摒弃，而是对精确更圆满的刻画。它通过模糊控制规划，利用人类常识和智慧，理解词语的模糊内涵和外延，将各方面专家的思维互相补充。虽然，目前要使模糊技术接近于人的思维，尚

7、难以做到，但正如日本夏普公司电子专家日吉考庄所说：一个普遍应用模糊技术的时代，不久就会到来。我国自70年代开始模糊数学研究以来，成就突出，已形成了2000至3000人的世界最庞大的研究队伍，并在高速模糊推理研究等领域，居世界领先地位。但同时在其它方面，也存在着一些差距，尤其突出的是实验室里的成果，还有许多未转化成经济效益。需要在政府和工业界的支持和参与下，成立专门的开发实体，制定规划，并积极开展国际交流，为我国21世纪的技术发展和科学腾飞奠定基础。第二章模式识别2-1模式识别及识别的直接方法在日常生活中生活中，经常需要进行各种判断、预测。如图象文字识别、故障（疾病）的诊断、矿藏情况的判断等，其

8、特点就是在已知各种标准类型前提下，判断识别对象属于哪个类型的问题。这样的问题就是模式识别。一、模糊模式识别的一般步骤模式识别的问题，在模糊数学形成之前就已经存在，传统的作法主要用统计方法或语言的方法进行识别。但在多数情况下，标准类型常可用模糊集表示，用模糊数学的方法进行识别是更为合理可行的，以模糊数学为基础的模式识别方法称为模糊模式识别。模式识别主要包括三个步骤：第一步：提取特征，首先需要从识别对象中提取与识别有关的特征，并度量这些特征，设X,x分别为每个特征的度量值，于是每个识别对1n象x就对应一个向量（X1,X2,，Xn），这一步是识别的关键，特征提取不合理，会影响识别效果。第二步：建立标

9、准类型的隶属函数，标准类型通常是论域U=X1，Xn）的模糊集，X是识别对象的第i个特征。第三步：建立识别判决准则，确定某些归属原则，以判定识别对象属于哪一个标准类型。常用的判决准则有最大隶属度原则（直接法）和择近原则（间接法）两种。二、最大的隶属度原则若标准类型是一些表示模糊概念的模糊集，待识别对象是论域中的某一元素（个体）时，往往由于识别对象不绝对地属于某类标准类型，因而隶属度不为1，这类问题人们常常是采用称为“最大隶属度原则”的方法加以识别，这种方法(以及下面的“阈值原则”)是处理个体识别问题的称为直接法。最大隶属度原则：设A,AAeF(U)是n个标准类型，xgU,若12n0A(x)-ma

10、x4(x)|1kni0k0则认为x相对隶属于A所代表的类型。0i例1通货膨胀识别问题通货膨胀状态可分成五个类型:通货稳定;轻度通货膨胀;中度通货膨胀；重度通货膨胀；恶性通货膨胀.以上五个类型依次用R+(非负实数域,下同)上的模糊集A1,A2,A3,A4,A5表示,其隶属函数分别为:1,expy52，A(x)=exp(C10)2)25A(x)=exp(X720)2)37A(x)=exp(Cn30)2)490 x50-(x50)A(x)=j0 x50其中对x0,表示物价上涨x%。问x=8,40时，分别相对隶属于哪种类型？解类型？解A(8)=0.367，9A(8)=0.852112A(8)=A(8)

11、=0.0529，3A(8)=0.00005A(40)=0.0000，1A(40)=0.00033A(40)=0.64125A(8)=0.00324A(40)=0.00002A(40)=0.12994由最大隶属原则，x=8应相对隶属于A2，即当物价上涨8%时，应视为轻度通货膨胀；X=40,应相对隶属于A5,即当物价上涨40%时，应视为恶性通货膨胀。三、阈值原则在使用最大隶属度原则进行识别中，还会出现以下两种情况，其一是有时待识别对象X0关于模糊集A1,A2An中每一个隶属程度都相对较低，这时说明模糊集合A1,A2An对元素有时待识别对象X0关于模糊集A1,A2An中每一个隶属程度都相对较低，这时

12、说明模糊集合A1,A2An对元素x不能识别；其二是有时待识别对象X关于模糊集Ai，A?An中若干个的隶属程度都相对较高，这时还可以缩小X的识别范围，关于这两种情况有如下阈值原则。阈值原则：A,AAeF（U）是n个标准类型，12n值（置信水平）令a=maxA（x）|1kd且有A(x)d，A(x)dA(x)di10i20im0则判决xo相对地属于AnAnAi1i2im例2三角形识别问题我们把三角形分成等腰三角形I,直角三角形R,三角形T,这四个标准类型,取定论域X=x|正三角形E,非典型x=(A,B,C),A+B+C=180,ABC这里A,B,C是三角形三个内角的度数，通过分析建立这四类三角形的隶

13、属函数为：I(X)=1-60(A-B)A(B-C)确R(x)=1-|A-90I(A-C)T(x)=min3(A-B),3(B-C),A-C,2|A-90|现给定，x0二（A,B,C）二（辽50,45），亠对上述四个标准类型的隶属度为：I(x)二0.916R(x)二0.94E(x)二0.7T(x)二0.060000由于x0关于I,R的隶属程度都相对高，故采用阈值原则，取d=0.8,因I(x)二0.9160.8，R(x)二0.940.8，按阈值原则，x相对属于InR,000即x可识别为等腰直角三角形。0例3癌细胞识别在癌细胞识别问题中细胞分成四个标准类型，即：癌细胞(M)，重度核异质细胞(N)，轻

14、度核异质细胞(R)，正常细胞(T)。选取表征细胞状况的七个特征：x:核面积,x:核周长,12x:细胞面积,x:细胞周长,24x:核内总光密度,x:核内平均光密度,56x:核内平均透光率.7根据病理知识，反映细胞是否癌变的主要指标有以下六个，它们都是X=5:x二(x,x,x)上的模糊集：127A:核增大A(x)=(1+型)-1(a正常核面积)x21B:核染色增深，B(x)=(1+)-ix25C:核桨比例置，C(x)=(1+邑)-1x21Bx2D:核内染色质不匀,D(x)=1+j-1(x+lgx)276E:核畸形，E(x)=1+5卜1(-4兀)2x1F:细胞畸形，F(x)=1+Z-1x2(4兀)2

15、x3上述B,B,B是适当选取的常数126细胞识别中的几个标准类型分别定义为：m=anbncn(due)ufn=anbncnMc111r=a2nb2nc2nMennT=MenNenRe111丄上述定义中的模糊集A2的隶属函数为A2（x）二（A（x）2。另两个模糊集B2、1C2的隶属函数类似定义。给定待识别细胞xGX，设x的核面积等七个特征值为（x0,x0,x0）据此可算出00127M（x）、N（x）、R（x）、T（x），最后按最大隶属度原则识别。0000例4冬季降雪量预报内蒙古丰镇地区流行三条谚语：（1）夏热冬雪大，（2）秋霜晚冬雪大，（3）秋分刮西北风冬雪大，现在根据三条谚语来预报丰镇地区冬季

16、降雪量。为描述“夏热”（A）、秋霜晚（A）、秋分刮西北风（A）等概念，在气123象现象中提取以下特征：x：当年67月平均气温1x：当年秋季初霜日期2x：当年秋分日的风向与正西方向的夹角3于是模糊集A1（夏热），A2（秋霜晚）、A（秋分刮西北风）的隶属函数可分别定义为：A(x)=A(x)=x11x-v2bxx1111xWxA/2b111其中x1是丰镇地区若干年6、7月份气温的平均值，b为方差，实际预报时取11x=19。e,2b2=0.9811111A(x)=22x-aA(x)=22x-a22x-a22022axx222xa22-smxA3(x3)=103cosx3270。x360。3180。x2

17、70-smxA3(x3)=103cosx3270。x360。3180。x270。390。x180。30。x0.8则预报当年冬季“多雪”，否则预报“少雪”。用这一方法对丰镇19591970年间隔12年作了预报，除1965年以外均报对，历史拟合率为11/12。2-2贴近度与模式识别的间接方法一、贴近度表示两个模糊集接近程度的数量指标，称为贴近度，其严格的数学定义如下：定义1设映射N:F(U)xF(U)T0,1满足下列条件：VAeF(U),N(A,A)=1VA,BeF(U),N(A,B)=N(B,A)若A,B,CeF(U)满足|A(x)-C(x)|A(x)-B(x)(VxeU)有N(AC)N(AB)

18、则称映射N为F(U)上的贴近度，称N(AB)为A与B的贴近度。贴近度的具体形式较多，以下介绍几种常见的贴近度公式1)Hamming贴近度N(A,B)二1-丄|A(x)-B(x)|Hniii=1N(A,B)=1一1一Jb|A(x)B(x)|dxH(ba)a2)Euclid贴近度1IN(A,B)=1(A(x)B(x)2Evniii=1N(A,B)=N(A,B)=1E(A(x)B(x)2dxii3)格贴近度定义73)格贴近度定义7映射N:F(U)xF(U)T0,1g(A,B)|TNg(A,B)=(A。B)a(A0B)c,(或=2【AoB+(A0B)c)称为格贴近度，称N(A,B)为A与B格贴近度。其

19、中，gaB(x)|xeUaB(x)|xeU(称为A与B的内积)vB(x)|xeU(称为A与B的外积)AoB=VA(xaB(x)iiA0B二人a(xvB(x)i=111值得注意的是，这里的格贴近度是通过定义来规定的，事实上，格贴近度不满足定义1中(1),即N(AA)丰1,但是，当gVAeF(U),q=Q,suppA丰U时，格贴近度满足定义1的(1)-(3)。另外格贴近度的计算很方便，且用于表示相同类型模糊度的贴近度比较有效，所以在实际应用中也常选用格贴近度来反映模糊集接近程度。还有许多贴近度，这里不在一一介绍。贴近度主要用于模糊识别等具体问题，以上介绍的贴近度表示式各有优劣，具体应用时，应根据问

20、题的实际情况，选用合适的贴近度。二、模式识别的间接方法一一择近原则在模式识别问题中，各标准类型(模式)一般是某个论域X上的模糊集，用模式识别的直接方法(最大隶属度原则、阈值原则)解决问题时，其识别对象是论域X中的元素。另有一类识别问题，其识别对象也是X上的模糊集，这类问题可以用下面的择近原则来识别判决。择近原则：已知n个标准类型A、A、AeF(X)，BeF(X)为待识别的对12n象，N为F(X)上的贴近度，若N(A,B)=maxN(A,B)|k=1,2,nik则认为B与A最贴近，判定B属于A一类。ii例5岩石类型识别岩石按抗压强度可以分成五个标准类型：很差(A)、差(A)、较好(A)、好(A)

21、、1234很好(A5)。它们都是X=0,+)上的模糊集，其隶属函数如下(图2-1)图2-1A2(x)A4(x)1-丄A2(x)A4(x)1-丄(x-200)1000 x20011-(x-600)2000(x-400)2001-丄(x-1100)20001(x-900)20011-(x-2200)40000(x-1800)40010 x100100 x2000 x200200 x400400 x600600 x400 x600600 x900900 x1100其它900 x11001100 x18001800 x2200其它x18001800 x22002200 x今有某种岩体，经实测得出其抗压

22、强度为X上的模糊集今有某种岩体，经实测得出其抗压强度为X上的模糊集B，隶属函数为（图2-3）。图2-300，00，丄(x丄(x-712)881-丄(x-1120)1200712x800800 x10001000 x1120其它试问岩体B应属于哪一类。计算B与A(i=15)的格贴近度，得:iN(A,B)=0,N(A,B)=0,N(A,B)=1g1g2g3N(A,B)=0.68,N(A,B)=0g4g5按择近原则，B应属于A类，即B属于“较好”类(A类)的岩石。33例6小麦亲本识别在小麦杂交育种过程中，亲本选择是关键。现有五种类型的小麦亲本，它们是A:早熟型，A:矮杆型，A:大粒型，123A:高肥

23、丰产型，A:中肥丰产型。45判断小麦亲本类型的主要依据是以下五种性状特征x:抽穗期，x:株高，x:有效穗数，123x:主穗粒数，x:百粒重。45第i种类型亲本的第j个特征，是模糊集A，这些模糊集除A(早熟型的抽穗期)与ij11A(矮杆型的株高)外，其余都是中间型的正态分布模糊集。为简单计，将正态分布函数22展开，取前两项作它的近似值，则有-(x-a)21e-26u1(xa)222于是A的隶属函数可表示为:ijij1-1,1-1ij1-1,1-12c2ij12c2ij(x-a)2,ij(x-b)2,ija-p2cxaijijijaxbijijbxb+v2aijijij其它而An，A22的隶属函数

24、取为偏小值型:1xbii(i=1,2)为确定隶属函数中的参数值，在熟知的标准类型中，每类型选出k个新本为样本，分别计算各样本的第j个特征的均值xji及方差&車（l二12,k）aijbij=aijbij=mmxji=maxxijl:l=1,2,k:l=1,2,kG=1艺G2ijkijll=1以上参数值见表（2-1）表2-1卜亲本参数性状早熟矮杆大粒高肥丰产中肥丰产a1jb1j2：G1ja2jb2j2：G2ja3jb3j122G3ja4jb4j122G4.a5jb5j2：G5j抽穗期6.71.15.59.61.05.811.91.25.211.30.95.1&91.2株高67.187.750.0-

25、70.072.467.990.952.267.981.235.976.584.657.5有效穗数9.111.21&18.318.210.89.413.215.69.813.211.37.213.25.8主穗粒数40.255.092.037.552.580.744.254.521.241.251.013.337.648.393.9百粒重3.04.40.32.43.40.34.06.00.33.64.20.33.34.00.2现有一待识对象B，它的第j个特征B是中间型正态分布模糊集，隶属函数可近似表j(x(x-x.)21j2G2jxv2gx（j=1,2,3,4）J.ij定义第i种标准类型A为：ia

26、二anananaTOC o 1-5 h zii1i2i3i4因而A(x)=minA(x)=expiA(x)=minA(x)=expi1j4j-max(1j4j)2cij其中a为若干个第i种类型第（j+3）个波段光谱强度的均值，c为方差，东北凉水林场ijij的这些参数值见表（2-4）表2-4标准类型MSS-4MSS-5MSS-6MSS-7aiici1ai2ci2ai3ci3ai4ci4A119.060.5618.241.6051.244.3225.241.98A221.892.8824.684.8247.374.0921.632.39A315.461.2212.580.8836.543.5517

27、.332.08A416.220.6412.780.5842.412.8721.221.50A5170.8213.20.42450.9423.200.42设B为识别对象，定义A与B的贴近度为:i1)TOC o 1-5 h zN(A,B)=夫N(A,B)1)ij=1gijj其中N(A,B)=!(A。B)+(AB)cgijj2ijjijj表2-5、类型识别对象fA1A2A3A4A5max判别结果效果B10.920.720.500.500.500.92A1正确B20.650.990.500.500.500.99A2正确B30.500.500.990.600.500.99A3正确B40.500.500.

28、610.990.650.99A4正确B50.500.500.500.620.890.89A5正确按(A-B)c=a!-(A(x)aB(x)|xeX/及(A0B)c=Ac。Bca-a1-(-ijT)2N(A,B)=1+eot+S(3-2giTT26)(这里a与o是B的均值与方差)。TTT现有东北凉水林场空间遥感象元(待识别对象)五个，按(1)与(2)计算它们与五个标准类型的贴近度，计算结果在表(2-5)按择近原则进行识别判决，准确率100%。例8雷达识别现有n个雷达类，每个雷达类可用发射频率、脉冲重复频率、脉冲宽度等特征来刻画,假设共有j个特征，第i类雷达的第j个特征可以取n个值。由于保密的需要

29、及信号环境的iT日益复杂，这些特征及其取值都带有一定的模糊性。设第i类(i=1n)雷达的k个特征为A,A,A,i类雷达的第j个特征(j=1-k)取值为Am(m=1,2,n)，其隶属函数为i1i2ikijij中间型柯西分布，即u-amAm(u)=1+(T)2-1ijomij设X为待识别对象，它的k个特征为X,X2,Xk,X的第j个特征Xj的隶属函数也取中间型柯西分布：u-xX(u)=1+(t)2-1(j=1,2,k)jo采用格贴近度，令dm=（Am,X）ijij（j1d=maxHm|m=1n丿ijijij则d为识别对象X的第j个特征与i类雷达第j个特征贴近程度的度量。ij一般情况可令d=丈adi

30、jijj=1（d是各d的加权平均值，权系数a表示j个特征的重要性程度）d可作为识别对iijji象X与第i类雷达总贴近的度量。根据d的大小可判定X属于何类雷达，但是，由于权系i数a的确定有一定的模糊性，Am及X的隶属函数的确定带有一定的主观性，从而导致贴jijj近度dm有一定的模糊性。因此对a及d进行模糊化处理，设ijjijA=（a;c,c）D=（d;w,w）jjjjL_RijijijijL_R这里A，D都是L-R模糊数（见第五章），取L=R。TOC o 1-5 h zjijc=aa（1一a）,w=da（1一d）jjjijijij令D=ADiiijj=1D的隶属函数为iD(d)=supamA(u

31、)aD(u)iiyj=1jjijijd=yadijijj=1则D为识别对象X与第i类雷达的贴近程度的模糊测度。i为得到X所属雷达类别的确切判决，类似于阈值法则，给定水平值Q,令=supdIde(D)iiia=inf灯Ide(D)/iiiadi0=maxdi0=maxH:1in1且i唯一,i0di1i2=maxH:1id，则判定X为z：类雷达。i1用上述方法（将权系数及贴近度模糊化），经上千次仿真试验，比传统的贴近度及线性加弘平均法，误判率有所下降。第三章模糊规划3-1模糊极值3-1模糊极值、有界函数的模糊极值(R为实数集)是有界函数，求函数f(x)的普通极值问题是求x*使f(x*)=maxf(

32、x)xeX满足上式的x*为f(x)在X上的最大值点，f(x*)为最大值，最大值点不定唯一.设f(x)的一切最大值点的集合为f(x*)=maxf(x),xeX称M为f(x)的优越集.当xeM时，函数在x处取到最大值f(x)，x使f(x)ff达到最优.当x电M时，f(x)虽不是最大值，但对不同的x，f(x)与最大值f的差异有所不同,也就是说，对于不属于M的x，它们的“优越性”程度f有所不同，为了反映X中各点不同的优越程度，将优越集M模糊化，并f利用它将极值模糊化.定义1设f:XtR是有界函数，定义M/的隶属函数为Mf(x)Mf(x)=(VxeX)(约定(约定v=0)称Mf为f的无条件模糊优越集称f

33、(Mf)的f的无条件模糊极大值.这里f(M)eF(R)，它的求属函数按扩张原理为f(M屮)(y)=(x)|f(x)=y注(1)当x=x为f(x)的极大点，即f(x)=max当x=x为f(x)的极小点,即f(x2)=minf(x)xeX丿时2M(x)二0,f(x)f(x)充分必要条件是TOC o 1-5 h zf212xeXxeX(2)当y=max(vxxeX)xeXxeX(2)当y=maxfifi当y广minf(M)(y)=(x)|f(x)当y广minf2f2当y电f(X)匸R时,f(M)(y)=vMy(x)|f(x)=yyef(x)=vQ=0因此，f(M)(y)反映了在模糊意义下，y对f的模

34、糊数大值的求属程度.例度.例1x,x,x,x,x12345,定义f(x)=0,f(x)=3,f(x)=1f(x)=1,f(x)二1,则12345maxf(x)=3minf(x)=-1,并且M(x)=(f(十(i=1,2,3,4,5)于是M=(0.25,0,1,0.5,0.5)f又f(M)(0)=vM(x)|f(x)=M(x)=0.25TOC o 1-5 h zfff1f(M)(3)=M(x)=1 HYPERLINK l bookmark135 ff2f(M)(-1)=M(x)=0 HYPERLINK l bookmark161 ff3f(M)(1)=vM(x)|f(x)=1=M(x)vM(x)

35、=0.5fff4f5故f(M)=0.25/0+1/-1+1/3+0.5/1ff的无条件模糊极小集m定义为-f的无条件极大集，显然有eXmaxf(eXmaxf(x)xeXmaxtelxeXLmi(vxeX)且有，m(x)=1-Mf(x),所有极小集是极大集叫的余集.二、模糊约束下有界函数的模糊极值设：f:XTR是有界函数，CeF(X)，考虑f在C约束下的最大值问题，这是一个模糊规划问题，求解这个问题意味着既要最大限度地满足约束，又要最大限度地达到理想目标，为此定义如下：定义2设目标函数f:XTR是有界函数，CeF(X)是模糊约束，令D二CnMf这里的Mf是定义1中f的无条件模糊优越集，称D为f在

36、C约束下的条件模糊优越集，称f(D)为f在C约束下的条件模糊极大值.它们的求属函数分别为：M(x)=Jmaxf(D)(y)=v)(x)=(C(x)aM屮(x)|f(x)=y求解目标函数f(x)在模糊约束C下的条件极大值有如下三个步骤:求无条件模糊优越集Mf求条件模糊优越集D二CnMf(3)求条件最佳决策，即选择x*，使D(x*)maxD(x*)maxxeXx*就是所求的条件极大点，f(x*)就是在模糊约束C下的条件极大值例2采区巷道布置是矿井开拓中的重要内容，其目的就是建立完善的矿井生产系统，实现采区合理集中生产，改善技术经济指标.因此，合理地选择最优巷道布置方案，对于矿井生产具有十分重要的意

37、义.根据煤矿开采的特点和采区在矿井生产的作用，在选择最优巷道布置方案时，要求达到下列标准：(1)生产集中程度高；(2)采煤机械化程度高；(3)采区生产系统十分完善；(4)安全生产可靠性好；(5)煤炭损失率低；(6)巷道掘进费用尽可能低.上述问题,实际上就是一个模糊约束下的条件极值问题，我们可以把（1）（5）作为模糊约束，而把（6）作为目标函数设某矿井的采区巷道布置有六种方案可供选择，即X=x1（方案I）,X2（方案II）,x3（方案III）,x4（方案W）,x5（方案V）,X6（方案“）经过对六种方案进行审议，评价后，将其结果列于表1万案评价项目X1X2X3X4X5X6C:生产集中程度咼1较低

38、高较咼很高较咼较咼C:米煤机械化程度咼2高较咼较咼高很高高C:采区生产系统完善3一级较低较低很高高较咼C:安全生产可靠度咼4较低一般较低高一般高C:煤炭损失率低5高较咼一般一般一般很低C6：mf巷道掘进费用（万兀）59.4069.1078.8034.5044.2063.60将表1中的语言真值（评价结果）转化为各模糊约束集CeF（X）,（i=1,2,3,4,5）的隶属度转化的对应关系如下：i对IC2,C3,C4而言，对应关系为：很低较低一般较高高很高0.00.20.40.60.81.0对C5而言，对应关系为很低较低一般较高高很高1.00.80.60.40.20.0将表1中的巷道掘进费用目标函数f

39、用公式m(x)=吨八f(X)/imaxf一minf计算出，因此得表2其值语言与隶属函数转换表2、万案Cmifx1x2x3x4x5x6C10.20.80.41.00.60.6C20.80.60.60.81.00.8C30.40.20.21.00.80.6C40.20.40.20.80.40.8C50.20.40.60.60.61.0mf0.440.22010.780.34计算模糊判决集D为d二mnqnc2nc3nc4nc5(按列求最小)=0.2/x+0.2/x+0/x+0.6/x+0.4/x+0.34/x123456由maxD(x)=0.6=D(x)xieX根据最大求属度原则，方案四最优例3在某

40、种食品中投放某种调味剂，每公斤食品中的含量设为x克，对顾客爱好作调查统计，得爱好函数为xe(i-x/10),0 x100.对于使爱好函数值越大的x值，所制产品越畅销，因而收益越大，但是由于成本核算等等原因，对x值需要进行限制，这种限制集合的边界是模糊的，即x的约束条件为一模糊集A，其隶属函数为1,0 x1.A(x)=1+(x-1)2试确定合理的剂量x*,使得在接受约束的条件下，获得最优收益.解这是一个规划问题，分三步进行.求无条件模糊优越集M，由于f(x)=1e(1-x/10)一上e(1-x/10),220 x10时，令f(x)=0，得x=10.又当x10时，f(x)0，因而supf(x)=f

41、(10)=5，inff(x)=f(0)=0.因此xexe(1-x/10),100 x100求条件模糊优越集AA(x)=A(x)aM(x)A(x)=A(x)aM(x)=xe(1-x/100,1010 xx*,1+(x-1)2x*x100 xe(1-x/10)=101+(x-1)2选择x*，使Af(x*)=帀RF0.4593，即A对目标f的可能度为即A对目标f的可能度为应选择调味剂的最佳剂量为2.085克.45.93%，而要实现这种可能性，需要说明的是，在本例中如果将约束条件确切化，以A的核0,1为约束，这是一个普通规划问题，所得结论是选择最佳剂量为1克.从约束条件看，已是100%遵守，但所能达到

42、的最高目标相对整个目标函数来说是很低的，由M(1)二0.246，说明相对整个目标来说，其优越程度仅达24.6%.f如果把条件放松为模糊约束条件A，且适当降低A(x)的水平，却可以获得较好的目标值如例中的结果，当x*=2.085时，从接受约束条件来看虽仅达45.9%，但目标函数的优越程度也升到了45.9%，从而提高了整体优化水平.由于在实际问题中，约束条件往往不是绝对的，有一定的伸缩性，模糊规划的思想就是利用这点灵活性，兼顾目标函数与约束条件综合地选择最优方案.例4植物的种植密度与产量有密切的关系.已知某种杉树的种植密度P与产量V的关系如下：106V二f(P)二,(P1000)P这里P表示每公顷

43、土地上种植的棵数，V表示每公顷土地产出木材的体积.现有一片杉树森林，其密度不均匀，估计P“大约是三千”试估计该森林每公顷木材最高产量.解设C表示“大约是三千”这一模糊，C的隶属函数为(p_3000)2C(x)=e-1000000,(peR)估计木材产量的问题，就是求在C的约束下函数f的模糊条件极大值.为此先求有界函数f的无条件模糊优越集因supf(P)二500，inff(P)=0，所P1000P1000以f(P)=103500-0500pf在约束条件C下的条件模糊优越集为：C=CM,C(P)二C(P)AM(P)ffff条件模糊极值为f(C)，其隶属函数为：ff(C)(y)=vC(p)Am(p)

44、fpefT(y)f为求条件最佳决策p*,即满足条件C(p*)=maxC(p)的p*fp1000f注意到M的隶属函数曲线是单调降的，而C是正态分布模糊集，f在约f束C下的模糊最佳决策(即模糊条件极大点)，是方程103_(p-3000)2=e_10000p的两个根当中的较小者，解之得p*=2130.由Cf(2130)=0.469=46.9%可知，p*=2130时，接受约束的程度为46.9%，同时，相对于整体目标函数，优越程度也是46.9%.由f(2130)=334.74(米3)可知，该森林每公顷木材最高产量估计为334.74(米3).3-2模糊线性规划一、普通线性规划普通线性规划的一般形式为目标函

45、数maxZ=ex+exHex1122nnTOC o 1-5 h zax+axHaxb1111221nn1ax+axHaxb2112222nn2约束条件ax+axHax0(j=1,2,n)j矩阵表达形式maxZ=CXAX0其中/aaTOC o 1-5 h z11InA=、aaC二(c,cc)12C二(c,cc)12nx二(x,xx)T12nb二(b,b，b)t12m线性规划问题的标准形式maxZ=CX3-1)JAX=3-1)Ix0二、模糊线性规划在实际问题中，有时线性规划的约束条件带有模糊性，这就是解谓的模糊线性规划，其模型为maxZ=ex+exHFex1122nnTOC o 1-5 h zax

46、+axHFaxb1111221nn1ax+axHFaxb2112222nn1ax+axHHaxbm11m22mnnm、x(j=1,2n)j这是“”表示一种弹性约束，可读作“近似小于等于”.“近似小于等于”是一个模糊概念，可以用一个模糊集来表示它.ax表示第i个约束的左ijjj=1边表达式，模糊集D表示“工axb”这一事实，当工axb时，完iijjiijjij=1j=1全接受约束应有个伸缩系数d全接受约束应有个伸缩系数di约定当工ax工axb+d时ijjiij=1不认为工ax0，对每一个约束axb，相应地有X中一个ijji模糊渠D与之对应，它的隶属函数为iaxbijjiD(x)=f(工ax)iI

47、ijjj=11-(艺ax-D(x)=f(工ax)iIijjj=1TOC o 1-5 h zijjiiiijjiij=1j=1n0乙ax0i=1,2,m，这样ii一来,我们将弹性约束转化成模糊约束,再令d=dndnnd就将全部12m约束条件转化成一个模糊约束.当d=0（i=1,2m）时，D退化为普通约束集D，模糊约束条件中“”i退化为“”模糊线性规划的模型简记为maxZ=CxJAX0约束的弹性必然导致目标的弹性，为将目标函数模糊化，先求解普通线性规划问题：maxZ=CxAX0以及maxZ=CxAX0其中d=（d,d，,d）T称为（3-2）的伸缩指标向量.12m设Z0是（3-32）的最优值，Z弹（

48、3-4）的最优值.Z0所满足的约束条件为Axb，对应的模糊约束D（x）=1.若适当降低模糊约束的隶属度D（x），可以相应提高目标函数值Z,Z所满足的约束条件已放到最宽Axb+d，对应的模糊约束D(x)也接近于0.于是目标函数的弹性可表示为Z0Z二CXZ1.为此构造模糊目标集G(x)F(X).其隶属函数为G(x)=G(x)=g(艺cx)=jjj=1(艺cx-z)/djj0j=11艺cxzjj0j=1z工cxz0)其中d=Z-Z010由模糊目标的上述隶属函数可知，当D(x)=1时，G(x)=0，要提高目标函数值使之大于Z0.就必须降低D(x).为了兼顾目标与约束，可采用模糊决策为d=Dng，最佳决策为x*，x*满足F(x*)=(x*)=maxxeXD(x*)=max(D(x)AG(x)xgX若令X=D(x)aG(x),则有max(D(x)aG(x)=maxxeX=maxxeXk|D(x)X,G(x)0,Xe0,1D(x)X，max(D(x)aG(x)=maxxeX=maxxeX1n于是求最佳决策x*的问题，就转化为求普通线性规划问题:maxZ=X/1-(工ax-b)/dX(i=1,2,m)ijjiij=1Xjj00j=1X0,x0(j=1,2n)jmaxZ=Xax+DXB+D(i=1,2m)ijjiiiJ=1Zjj00X0 x0(J