中考数学复习微专题：一个数形结合模型及其在解题中的运用

1、一个数形结合模型及其在解题中的运用 先介绍一个数形结合模型代数式可表示成两直角边分别为x和3的直角三角形斜边长，可表示成两直角边分别为12x和2的直角三角形斜边长，表示成两斜边长之和，的最小值就是两斜边长之和这里，两个直角三角形各有一条直角边长不变，另一个直角边之和为一个常数构造图形如图1CD=、CE=，CDCE=，而CDCEDE，所以CDCE的最小值为DE的长，如图2而CDCE的最小值为DE的长，根据图3可求出DE=13，此时x的值可通过DACEBC，=，即=，解得x=4.我们通过代数式转化为图形 (斜边的边长)，结合图形，运用三角形两边之和大于第三边，两点之间线段最短性质得出最短位置，再根

2、据勾股定理及相似知识进行计算下面谈谈该模型在解题中的应用 一、模型应用 1在直线上找一点，到两已知点距离和最小 例1 如图4，桌上有一圆柱形玻璃杯，高12 cm，底面周长18 cm，ABCD是它的轴截面，在杯内壁离杯口3 cm的Q处 (即BQ=3) 有一滴蜜糖，一条小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至相对方向离桌面3 cm的P处 (即DP=3) 时，突然发现了蜜糖，问小虫至少要爬多少路才能到达蜜糖所在的位置? 分析 把圆柱侧面展开，如右图所示小虫在外壁P，一定要通过杯口即展开图中线段BC上一点H到内壁Q，要求PH+HQ的最小值按照上述模型解题思路，第一步求出PH、HQ的代数式，第二步画出对应图

3、形，第三步根据图形运用勾股定理知识解决 解 设CH=a， BC=9， BH=9a；又BQ=3，CP=9 PH= , HQ= P H+H Q=+根据代数式构造图形如图5PH+HQ的最小值为PQ=15 2在一条直线上找一定长线段，使它两端分别到两已知点距离和最小 例2 如图6，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标 分析 先在OA上任意找两点E、F，连结DE、CF，得到四边形CDEF分析题目，四边形CDEF周长等于DE+EF

4、+FC+CD，而CD与EF长不变，故只要DE+CF和最小按照上述模型解题思路，第一步求出DE、CF的代数式，第二步画出对应图形，第三步根据图形运用相似三角形知识解决 解 设E (a，0)、F (a+2，0)，故OE=a，AF=3(a+2)=1a因为D是OB的中点，所以OD=2又因为AC=4，所以DE+CF=+。 根据代数式构造图形，如图7 RtEACRtDBC， =，即=，解得a=， E (，0)、 F (，0) 3将一图形左右平移，使平移后图像上两点与一个已知点距离之和最小 例3 如图8，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+(m1) x+4m，的图像与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点

5、B (0，4)，已知点E (0，1)如图，将AEO沿x轴向右平移得到AEO，连结AB、BE设AA=n，其中0n2，当AB+BE取得最小值时，求点E的坐标 解 根据题意易求得m=1，A (2，0)设A (2+n，0)、E(n，1)，AB+BE=+ 根据代数式构造图形，如图9 RtEACRtDBC， =，即=，解得 n= E (，1) 4将一图形左右平移，使平移后图像上两点分别与两个已知点距离之和最小 例4 如图10，直线y=2x+6上有两点A (35，n)、B (1，m)，y轴上有两点C (0，2)、D (0，3)，现将直线y=2x+6左右平移，点A平移后对应点记作A，点B平移后对应点记作B，若

6、AC+BD最小，求平移后的直线解析式 解 易求出n=1，m=4设直线向右平移a个单位，A (35+ a，1)、B (1+ a，4)，AC+BD =+ 因为35a与la的和不是一个常数，而(1a)2=(a1)2，故AC+BD=+ 根据代数式构造图形，如图11 RtEACRtDBC， =，即=，解得a=225， 需要将直线向右平移225个单位，平移后的直线为y=2(x225)+6，即y=2x+15 5综合应用 例5 如图12，已知点A (4，8) 和B (2，n) 在抛物线y=ax2上 (1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标 (2) 平

7、移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，点C (2，0) 和点D (4，0) 是x轴上的两个定点 当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式； 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短? 若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由分析 这道题目3个问题都是求两线段和最小，分别属于模型应用1、3、4，只需按照模型解题思路，第一步求出对应两线段代数式，第二步根据对应代数式画出相应图形，第三步根据图形运用勾股定理或相似知识进行计算 解 (1) 易求a=，B关于x轴对称点P (2，2)，抛物线为y=x2

8、设Q (a，0)， AQ+BQ=+ 根据代数式构造图形，如图13 RtEACRtDBC， =，即=，解得 a=，Q (，0) (2) 设抛物线向左平移a个单位，如图14，则 A (4a，8)、B (2a，2)，AC+CB=+ 根据代数式构造图形，如图15 RtEACRtDBC， =，即=，解得a=， 抛物线y=x2向左平移个单位后解析式为y=+(x+)2 (3) 设抛物线向左平移a个单位，如图16则A (4a，8)、B (2a，2)因为CD、AB长度已知，四边形ABCD周长最小实质就是AD+BC最小 AD+CB =+， 根据代数式构造图形，如图17 R tEACR tDBC =，即=，解得a=， 抛物线y=x2