初二数学秋季讲义 第11讲.特殊三角形之直角三角形 教师版

1、知识互联网 知识互联网题型一：直角三角形的性质及判定题型一：直角三角形的性质及判定思路导航思路导航有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，这是初中阶段研究的一个特殊三角形，它的性质和判定是常考内容，也是解决初中几何问题的常用手段一、直角三角形1. 直角三角形的性质： 两锐角互余； 三边满足勾股定理； 斜边上的中线等于斜边的一半； 角所对的直角边等于斜边的一半另外，直角三角形中还有一个重要的结论：两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即2. 直角三角形的判定： 有一个角是直角； 两锐角互余； 勾股定理的逆定理； 一条边上的中线等于这条边的一半二、等腰直角三角形等腰直角三角形是集等腰三角形和直角三

2、角形为一体的特殊图形，除具备等腰三角形和直角三角形的所有性质以外，它的底边中线也同时具备了“三线合一”和“斜边中线”的共同特点，可谓“集大成者”另外，等腰直角三角形还可以看成是正方形的“半成品”，因此“还原正方形”也是等腰直角三角形常用的辅助线做法之一例题精讲例题精讲如图，正方形的边长为，分别在上，且，相交于，求的长是正方形，又由勾股定理可知，在中，典题精练典题精练1. 在中，若，则这个三角形是_三角形2. 如图，在中，若，则_，_，_3. 如图，已知图中每个小正方形的边长为1， 则点到所在直线的距离等于 （十三中分校期中）4. 如图，在四边形ABCD中，A60，BD90，BC2，CD3，则A

3、B 5. 已知RtABC中，C90，AB边上的中线长为2，且ACBC6， 则SABC 1. 直角2. ；3. 24. 通过向外补形，将四边形问题转化为三角形问题来解决5. AB边上的中线长为2，AB=4，AC2+BC2=AB2=16ACBC6，即AC2+BC2+2ACBC=36若直角三角形的两条直角边长为，斜边为，斜边上的高为，求证： ； ， 代入得， 由，则，即，题型二题型二：特殊直角三角形的边角关系思路导航思路导航特殊的直角三角形是指和的直角三角形，它们的三条边之间有特殊的比例关系，分别是和，熟练运用这种特殊的比例关系，能够在解题过程中大幅提高解题的速度与正确率例题精讲例题精讲已知，中，求

4、的长解法一：，设，则，那么，解得（舍负），解法二：，典题精练典题精练 在中，分别是的对边，且，则与的关系是_ 如图，把两块相同的含角的三角尺如图放置，若cm，则三角尺的最长边长为 （四中期中） 如图，以等腰直角三角形的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形，如此作下去，若，则第8个等腰直角三角形的面积是 ； ； 如图，点D、E是等边ABC的BC、AC上的点，且CDAE，AD、BE相交于P点，BQAD。已知PE1，PQ3，求AD的长【解析】易证ADCBEA(SAS)BE=AD，DAC=EBA根据外角定义知，BPQ=60PBQ=30BP=

5、2PQ=6BE=7AD=7题型三题型三：直角三角形的斜边中线思路导航思路导航直角三角形的斜边中线是直角三角形中最重要的线之一，它既体现了特殊位置（中点），又体现了特殊数量关系（一半），可谓“一举两得”除此之外更重要的是，一条斜边中线还可以把直角三角形分成两个等腰三角形，这种由特殊图形到特殊图形的变化是解决三角形问题的常用手段例题精讲例题精讲请证明下列命题：1. 直角三角形的斜边中线等于斜边的一半；2. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形1. 如图，中，是的中点， 过点作的垂线交延长线于， ， ，2. 如图，是的中线，且， ， ， ， ，即 是直角三角形典题精练典题

6、精练如图，在中，、分别为边、上的高，为的中点，于求证：连接、分别为边、上的高又为上的中点，又，如图，在中，若，为边的中点求证：如图，截取边中点，连接、由中位线可得，且为斜边上的中线，又，即，此题也可以取中点，连接，用类似方法证明还可以以为轴作轴对称用字母表示线段计算得结论，或以为中位线构造三角形在中，若，则 （西城一模）作于点，取中点，连接由，及 可得， 点是的中点， 在中， ，思维拓展训练(选讲)思维拓展训练(选讲)已知是等腰直角三角形，是中点，分别在上，且，试判断的形状连接，是等腰直角三角形，是中点，是等腰直角三角形如图，中，于，作关于的对称点，连接，交于，则的长等于_如图，在中，为线段的

7、垂直平分线，求证：连接是线段的垂直平分线，在中，一块四边形的草地，其中，求这块草地的面积利用，这个三角形的三边比为这一结论可求：，故四边形的面积为复习巩固复习巩固题型一 直角三角形的性质及判定 巩固练习ll1l2l3ACB如图，已知中，三角形的顶点在相互平行的三条直线、上，且、之间的距离为，、之间的距离为，则的长是（ ）A B C D（丽水市中考）A有一个人在一个斜坡上向上走了10米，他所在的位置的高度就相应的上升5米，那么这个斜坡的倾斜角为_题型二 特殊直角三角形的边角关系 巩固练习在中，垂直平分，垂足为点，交边于点，则的长为_8题型三 直角三角形的斜边中线 巩固练习直角三角形斜边上的高线与

8、中线的长分别是5和6，则它的面积是_30 已知：如图1，中，平分，点为中点，交的延长线于，猜想：= . 已知：如图2，中，平分，点为中点，交的延长线于，中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由 成立 连接，设， 中，点为中点， ， ， 平分， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 课后测课后测如图，在中，点在上，且，点在的延长线上，且，则 在中，为的中点，则_3如图，在中，是的中点，是中点，且，求的长，是中点，是的中点，世界最佳设计世界建筑大师格罗培斯设计的迪斯尼乐园马上就要完工了，然而各景点之间的路径该怎样设计还没有完美方案，格罗培斯心里十分焦急。巴黎的庆典一结束，他就让司机带他去地中海世界最佳设计世界建筑大师格罗培斯设计的迪斯尼乐园马上就要完工了，然而各景点之间的路径该怎样设计还没有完美方案，格罗培斯心里十分焦急。巴黎的庆典一结束，他就让司机带他去地中海。 汽车在南部的乡间公路上奔驰，这里漫山遍野都是当地农民的葡萄园。当他们的车子拐入一个小山谷时，发现那停着许多车。原来这是一个无人管理的葡萄园，你只要在路边的箱子里投入5法郎就可以摘一篮葡萄上路。据说这是当地一位老太太因葡萄园无人料理而想出的办法。谁料到在这绵延百里的葡萄产区，总是她的葡萄最先卖完。这种给人自由，任其选择的做法使大师深受启发。 回到驻