初二数学秋季讲义 第6讲.因式分解的高端方法及恒等变形 教师版

1、知识互联网 知识互联网题型一：换元题型一：换元法思路导航思路导航换元法作为一种因式分解的常用方法，其实质是整体思想，当看作整体的多项式比较复杂时，应用换元法能够起到简化计算的作用例题精讲例题精讲分解因式：令，原式又原式典题精练典题精练分解因式：；解法一：令，则原式解法二：令，则原式；令，则原式备注：观察题中的形式，可以选择中间值作为整体替换的量，这样能应用平方差公式进行计算，会节省计算量下面很多题也都可以有多种换元的办法，不一一给出了原式 ，设，则原式分解因式：原式，设，原式原式设，原式题型二题型二：拆、添项及配方法思路导航思路导航基本方法示例剖析拆项添项法：为了分组分解，常常采用拆项添项的方

2、法，使得分成的每一组都有公因式可提或者可以应用公式.常用思路：1、对于按某一字母降幂排列的三项式，拆开中项是最常见的.2、配方法是一种特殊的添项法，配完全平方的时候，往往需要添上一个适当的项或者讲某一项适当改变，然后在用提取公因式或公式法解决. 例如：因式分解： 例题精讲例题精讲分解因式：解法一：原式解法二：原式解法三：原式解法四：原式【点评】分组方法不唯一，此题解法一、四是将常数拆项后再分组；解法二、三是将二次项、一次项都拆项后再分解典题精练典题精练因式分解：若，则的值等于( )A B C D 若点的坐标满足，求点的坐标故选C原式 或 点的坐标为或分解因式： 原式 原式法一 法二分解因式：

3、原式 原式 法一：原式 法二：原式 法三：原式法一：原式 法二：原式【探究对象】 对拆项、添项法的探究【探究目的】 熟练运用拆项、添项法进行因式分解.【探究1】因式分解： 原式=点评：对于三项式的因式分解，如果用拆项、添项法来分解的话，拆开中项是首选的方法，如果式子中的括号不利于我们拆添项，或不利于分组分解，可以通过去括号来整理式子，整理完后在继续分解.【探究2】因式分解： 原式=点评：此题前三项比完全立方公式少了1，四五六项比完全立方公式少1，所以想办法通过拆项或添项凑成完全立方公式就可以进行因式分解.此类题要求学生对常用乘法公式及其变形掌握熟练.【探究3】因式分解： 原式=点评：遇到类似的

4、题目，只有两项，项数很少，不能拆开中项，可以采取“无中生有”的方法，添上需要的式子，最后在减去相同的式子，目的还是凑成公式，完成因式分解. 例题中有类似的题目，难度相对比较大，学生不容易想到. 【备选例题】【解析】先拆项，后分组，再提取公因式，最后再十字相乘.原式点评：此题对于学生来说，分解到最后的结果为，因为没有学十字相乘法分解因式，所以学生分解到此阶段就分解不下去了，教师可以在此铺垫一下下节课学习的十字相乘法，强调因式分解一定要分解到不能在分解为止.题型三题型三：恒等变形例题精讲例题精讲矩形的周长28cm，两边长为、，且，求矩形的面积由题得，则典题精练典题精练设，试判断的值是不是定值，如果

5、是定值，求出它的值；否则，请说明理由；证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数；已知：（b、c为整数）是及的公因式，求b、c的值把进行因式分解得： 把代入式子得原式是定值为0； 原式一定是10的倍数；及有公因式 即 即及的公因式为即，【备注】例7之后可以让同学们尝试大除法【探究对象】 整式恒等变形用到的公式主要有平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，还用到下面的公式及变形：【探究目的】熟练运用基本乘法公式及变形后，以此为基础对更复杂的整式恒等变形进行探究.【探究1】若，求证：.由可知，故有又，故，即若，则，；若，同理有；若，则，同理也有【探究2】已知，且，求证中至少有一个为1.设，则

6、. 由可知， 故中至少有一个为0，即中至少有一个为0故中至少有一个为1.【备选例题】 设，求证：.原式中的式子太多，不妨采用换元法. 设，则要证明的结论变为，已知条件变为. 等式左边的这个式子我们非常熟悉，可变形为，而，故原式得证.【探究3】若，求：的值；的值.由可知， 又，故 而， 故 又，故， a2b2+b2c2+c2a2=(ab+bc+ca)2-2ab2c-2abc2-2a2bc=-2abc(a+b+c) ， 从而可知，阅读：把多项式分解因式得，由此对于方程可以变形为，解得或观察多项式的因式、，与方程的解或之间的关系可以发现，如果、是方程的解，那么、是多项式的因式这样，若要把一个多项式分

7、解因式，可以通过其对应方程的解来确定其中的因式例如：对于多项式观察可知，当时，则，其中为整式，即是多项式的一个因式，若要确定整式，则可用竖式除法 填空： 分解因式_ 观察可知，当 时，可得 是多项式的一个因式分解因式： ； 已知：，其中为整式，则分解因式： （海淀期末） 1； 此题是因式分解方法中“因式定理或余数定理”的运用，虽然不会直接考到，但与一元二次方程密切相关，可以了解一下，这种方法不必深入拓展，到此为止即可.思维拓展训练(选讲)思维拓展训练(选讲)若，为有理数，且，则 求的最值 （北大附中测试题） ，所以，则 ，所以有最小值计算分析：可将用表示解法一：原式解法二：原式备注：是一种常用的变形又如因式分解小学生王琼和他的妹妹王倩的年龄分别是岁和岁，并且，试求王琼和王倩的年龄a为王琼的年龄有实际情况得王琼9岁，王倩4岁复习巩固复习巩固题型一 换元法 巩固练习分解因式：