2sjtu-dsp课件老师群第九章快速变换

1、第九快第九快变1965年，J.WCooley&J.W算直接计算及改进的途x n 为N点有限长1965年，J.WCooley&J.W算直接计算及改进的途x n 为N点有限长序列，其DFTNnk k 0,1,2,N ,nN1xnknk n 0,N ,N差别：只是 WN 的指数符号不同，及常数因子N皆为复数，Xk 也是复数。计算一xn和WnkNXk的值需要N(N-1) 次复数加 法。所以，整个DFTN2 次复数乘法及 x n 差别：只是 WN 的指数符号不同，及常数因子N皆为复数，Xk 也是复数。计算一xn和WnkNXk的值需要N(N-1) 次复数加 法。所以，整个DFTN2 次复数乘法及 x n

2、x n Re jImX x n NNN x n Re x n Im NNj x n Im x n Re N42所以运算一个Xk42所以运算一个Xk4N2N2(N-2(2N-1)乘法N22N-1（4法Wnk nk (1) W nkNnk WnN n kWnk NNNn NkNn Wnk WNNNWN2nk WnN n kWnk NNNn NkNn Wnk WNNNWN2 NNkk W2WNN1222按时间抽取的FFT算x2rx1r N基-Nr,21rx2r1按时间抽取的FFT算x2rx1r N基-Nr,21rx2r1nk 2N X k DFT x n x n Wn N-N- x n Wn n为奇

3、x n Wnk nk n n为偶N N 22r rx 2rW2r+1 2rk 2r+NN N x1 rWx2 rW2rk2rkrN 2Nk2NWrN2 eN 1 N 1 N kkX k k W r r 1N 2N 1N2 eN 1 N 1 N kkX k k W r r 1N 2N 1只计算了N/2X1 krk N 2rk N 22r1rrX2 krk N 2rk N 2x2r+1 2rr注意：x1rx2 r X1k、X2k都是N/2点的r,k 0注意：x1rx2 r X1k、X2k都是N/2点的r,k 0N2 Xk有N点要计算 X k的后半部分点，就得利用周期性（系rkN2 N N 1 N

4、1 rNk N2r r 11N ： N +k k2 22N2kN1所对应的X1kX2kk0kN2所对应的X1k： N +k k2 22N2kN1所对应的X1kX2kk0kN2所对应的X1kkkNNkkWkWk2WWW2NNNNNk,N2k N2,kX k W X 1X k2X1kkNNNkX k W 221N2只要求0 N21区间里的所X1kX2k值，即可只要求0 N21区间里的所X1kX2k值，即可求出0 到 N-1区间内的所有X k值kkk W k1kkkk W 1-kk 2N2NN24N 12 2N2所以，二个N/2点DFT2 222NN 2NN24N 12 2N2所以，二个N/2点DF

5、T2 222NN 1 N 2 12 N2 2NNN1 22NNN1 2222N 2 1N+2NN 1次N8x1x1xxxx2k,kX k k W x1x1xxxx2k,kX k k W 21 kX 4 X 7 N,kk W X 21-X(1) -X(3) -因为N2L，所以N/2仍是偶数，还可以把每个N/4x12lx3l Nl0,4lx 2l+114因为N2L，所以N/2仍是偶数，还可以把每个N/4x12lx3l Nl0,4lx 2l+114l0lk2l+1 X2l 2l+1 11N 1N N 2 Wkl xl 3N 4N l0lkk 0,N4 k X3N kN,kkk 413N kN,kkk

6、 413N N 1 k l 33N N 1 k l 44N k对x3(0)= x3(1)= x4(0)= xx4(1)= X2 k也可以进行同样的分X6 kk x3(0)= x3(1)= x4(0)= xx4(1)= X2 k也可以进行同样的分X6 kk WXkkN25N2k 0Xk+kk4WkX425N XN -XN-X5 kl N 4 N 4x2l xlX5 kl N 4 N 4x2l xl 25llX6 k N 4 N 4x2l+1 xl 26l为WkN Nx2rx1rx2r+1 x2 rr,N2x12lx2rx1rx2r+1 x2 rr,N2x12l x3lx12l+1 x4 ll01

7、r=2l13n=26l01r=02n=04r01231357r01230246x2 2l x5 lx2 2l+1x2 2l x5 lx2 2l+1 x6 lN8l01r=2l13n=37l01r=02n=15x3(0)= x3(1)= x4(0)= x1x4(1)= Nx5(0)= x2x5(1)= 1x(0)= x62x6(1)= x3(0)= x3(1)= x4(0)= x1x4(1)= Nx5(0)= x2x5(1)= 1x(0)= x62x6(1)= 23-XX-XX(1W0-0-X1最后剩下的是2点DFTN8N 2X3 k、X4 k、X5 k、X6 k，k 1N k kl 最后剩下的

8、是2点DFTN8N 2X3 k、X4 k、X5 k、X6 k，k 1N k kl l ,444N 0000 W x 2 W x 6 x 2 W x 442N 1101 0 W1 x 2 Wx 6 x 2 W x 442N2e1W0N当N2L时，共有LN/2个蝶形每N/2NL当N2L时，共有LN/2个蝶形每N/2NL NL NmFN222 NL Nlog2N N 2NNlog2 22N/2个蝶形运算（对偶节点。rxxkkj m11NN/2个蝶形运算（对偶节点。rxxkkj m11Nrk xjj m11Nk、j的节点变量进行蝶形k、j 二节点的节点变k、j的节点变量进行蝶形k、j 二节点的节点变,

9、Xkk ,NNr=0,1,N2N输入x 输入x 0, x 4, x 2, x 7 N=8为例，n2n1n02 把 xnn的奇偶进行分组：n为偶数组（n0 0）n为奇数组（n01）x0,x2,x4,x6和x1,x3,x5,x7第二次分组则依据 n10014223641556370014223641556377变址WN的距离2m1）m(kWN的距离2m1）m(kX (k)(k)mNX (k2m1)(k(k)mN0N因子为W0,W NNW0,W1,W2,WNNNNd.第L级运算有N/22L1 个蝶形类型，蝶距为WNd.第L级运算有N/22L1 个蝶形类型，蝶距为WN/WW,旋转因子个数也是NNNa.

10、把k值表示成L位的二进制数（N2L 按频率抽取的FFT算法NN/N/按频率抽取的FFT算法NN/N/n0 x(n N /2)W(nN/2)kX(k)NNNn0n0N/ x(n) x(n N /knk,.2NNn0N2 NNN NXk xn1 x nk,2N2 NNN NXk xn1 x nk,2N当k 为偶数时，1k 1；当k 为奇数时 因此k 的奇偶可Xk 分为两部分k 2rr = 0,1, k 2r 2则：X 2rN2 1 Nx n 2nr xnW2n N2 1 N x n nr xnW2n 1N n2r1 X2r 1xn n W2n1N xn n nnr N 21N n2r1 X2r 1

11、xn n W2n1N xn n nnr N 2N2nx n xn xn N 12n 0, N 2x2 nxnn WN2N2 X 2rx1 nWnr N 2Nn 0,1,rN22 X 2r+1x2 nWnr 2n W0N-N-W0N-N-W2N-W3N-W0W2W0-W3W2-W0W2W0-W3W2-N-W0N-W2-xn xn 2nxx n x xn xn 2nxx n x nN NWxn22W-频蝶形运算流按频FFT流图N/2XmkXm1kXm1。 rj N/2XmkXm1kXm1。 rj k Xj mm1m1N蝶形运算二节点的“距离”及WNXm k Xm1k Xm1k+N 2m 2LMN

12、Xk+Wmmmm22m2m1（左移m-1位第一列有N/2种，W 0,W1,W 2,2,WN 22logIDFT的快速计算方法N1kxnIDFTXkIDFT的快速计算方法N1kxnIDFTXk Nn0DFTx n 而X x n Nnk -nk WN，乘以常数1/N即可从xnxnDIT的IFFTNx(n) 1 x(k)wnkNNk1N1xNx(n) 1 x(k)wnkNNk1N1x(n) x (k)wx (kN NNkx k 取共 得到的结果在取1轭乘以 即到x(n)N1W021W021W01W2221W021W021W01W222W0121W11W0221W21W0221W31W21W0222T

13、heChirpTransformXTheChirpTransformX(ejsequenceLetxn|Nk 0 k,k,M1 and the frequency increment canbechosen(forDFT,0=0,M N, 2 /NX(ejk ) xnejkn, k ,M 1n0with W defined as W eNNX(eNX(ejk ) xnejknWn0ToexpressX(ejk ) asank 1n2 k2 (kn)2 N)xne j0nWn2/2Wk2/2W(kn)2/2 X(en0gnxnej0nWn2 /2X(ejk )Wk2 /2(gnW(kn)2 /2

14、), k ,M 1n0Nif k nif k n, thenweNX(ejn )Wn2 /2(gkW(nk)2 /2), n ,M 1n0X(ejn )Wn2/2 gn:Wn2 /2, n,M 1nn2/2(N 1)nM 1hn9.5任意基算n2L,n9.5任意基算n2L,nnL1nL210i0,1,1ni 0orn2L2n2nL210n n 2L1 n 2L22L201（2）对于r进制，nrL rL皆为大于1（2）对于r进制，nrL rL皆为大于1nrnrL2nrL210nnrL1nrL2rL201 1, nL1nL210LnLL1L n0 r1r2 rL1n1 r1r2 rL2 n0 ,r

15、L 1nL ,n0 ,rL 1nL ,r11n1 ,N 351ni ,i1,i ,1 nnrn n10100,1,2,3, 6 511 ;250202N 44N 44nn1rn0 4n1 n0 n1,n0 0,1,2,43232;7 4139.5任意基FFT算9.5任意基FFT算N 2LNp1p2q1 p2N 令nn1n0,0n1 q1 Np1p2q1 p2N 令nn1n0,0n1 q1 1,0n0 p1 1Nxn p nk x nx(n)ww110N0Nn0n00n1n0n0k,0kN1n n nwx n w0100N0N1kxn p kxn p xn0qw1是 1点DFT100kn0 表示

16、分组序号；“1” 表示抽选1x0 k 即为第一次抽选第n0 组的q点DFT1子二N 的快速算NX(k)x(n二N 的快速算NX(k)x(n)w,k ,N 1Nn0设NNr1r2 0,1,.,r11nnr n ,1 00,1,.,r 1 2N 21,k,k1 0,1,.,r2 1k k r 1 00,1,.,r 1 1nkr2进制数进制数nkr2进制数进制数n0为末位n1为其进k0为末位，k1为其进Nr1r2420,1,2,n2n n ,10 n n0,2n0,4n0,6n00,1,2,., r41行的数k0 0,1,2,N r r 2k0 0,1,2,N r r 2k 4k 2110 0100

17、1123245367kk0,kk0,4k00,1,2,.,k0 r2 21 4n2n1 (,.,Nk 2k 10kk XkXk1q1 k0k0 0 p1 0 k0q1 kk XkXk1q1 k0k0 0 p1 0 k0q1 xp k q kk q knWN0n0 n k n x p n WW0 0 N110n0 0n0 knk k WW01 00N10实质上，Np1q1点的DFTp1 q1 knn010 x实质上，Np1q1点的DFTp1 q1 knn010 x n 每隔p点抽选一点所得的序列的q 2k，复数乘法次数为q1 当n0q组k 0p1 1。计算n而次010Xk的N个值需要Np1 1次乘法C1 Np1 1 p 2q1 p2p3pq1 p2q2C2 N 1 p 1 p 2C2 N 1 p 1 p 11122N 1 N p 1 pp 12Cr Np11Np21Npr Np1p2pr r当p1 pprN = pr基pFFTCr pNrprNrp1 Np1logp 9-8222n0rrr(3r(3r 2)kX(k) x(3rx(3rx(n)w9999222r9-8222n0rr