极值点偏移问题

1、极值点偏移问题比值代换（解题方法）极值点偏移问题的一般形式是：已知函数f）的极值点为x0,两相异实数气,x2满o f x )= f x ) x + x 2 x命 xx x 2 命工工 x 0 求证 -f GJ f 已知函数，设1 2 ，求证x 2 + x 2 x - x1212证明：x1x1证明：x1x12 + x22f (x )- f (x ) 1x - xx1x12 + x 2Gn x - ln x- x )x - xIn x In x - In x1x - x12ln x - ln x12 0 x - x12Gn x - In x ) 0 =Gn x - In x ) 1x2t（,+8）

2、，则 g （t ）=12 + 2t -1 1一 t13 (1 一 t)-G + t)八 () =t (2 + 1) 0 所以 g(t)在G，+8）上单调递减，所以g （t ） 1x2x ln x - ln xx t入 112 0则12，代入x 2 + x 2 x - x ，得到1212txaIn t + In x - In x 八 t In t 八t (t -1txa2tx - X222- 不函 2. 121212解：(1)fG)=e-x(1 -x)，得f(x)在(8,1)上单调递增，在(1，+ 8)上单调递减，f(x)有极大值f G)=!，无极小值；e(2)由f (x ) = f (x )，

3、结合f (x)得单调性可知，0 x 1 1，则x1t ln t，所以t - 1所以g (t )在6 + 8)f (x )= f (x )即 xe-% = x e-x2，取自然对数得：lnx -x = Inx -x1212112：ln tx = tx，代入上式得：lnx -x = Int + Inx -tx，所以x =2111111 t 一 1(t + 1)ln /|2(t -1)八 1x + x =1 2 ln t 一 0 ( t 1).令 g (t )= ln t -号(t 1)，则 g (t )= 1 一志=- 0上单调递增，所以g (t ) gG)= ，不等式得证.例2 .已知函数f (

4、x)= xlnx的图象与直线x = m交于不同的两点A(x , y )，B(x , y )，求1122 TOC o 1-5 h z 证：xx 0得到x -,由f G) e 2.则h(x )= h(x )= 0，函数h(x)有两12x = tx，代入上式得：x ln x = tx (ln t + ln x )，ln x = 土归，ln x 21111111 t 2xx v = lnx + ln v 2 o + n v 2 olnt 2-01 2e2121 tt +1令 g (t )= ln t (t 1)，则 g，()=抨 0，所以 g (t )在 G，+ Q上单调递增，所以g (t ) gG)

5、= 0，不等式得证.例3.已知函数f (x )= ln 由图象可得0 V气v - V x2 v 1，和g(x)=ax，由图象可得0 V气v - V x2 v 1，f (x )= g(x )，f (x )= g(x )，求证：(1)x + x 2e ；112212解：(1) 令 h(x)= f (x) g(x)= ln x 一 ax x g(0,+8)个零点气，七当a 0时,h G)-a =空.x xh(x)个零点气，七当a 0，函数h(x)单调递增最多有一个零点，不符合题意;当a 0时， 0，得 0 x ，由 h (x) 0，八 1 所以0a- e所以0 x 1，则x xx丁气，代入上式得:l

6、n x ln t + In x-=1，x tx1 In tIn t t In tIn x =1， In x = In t + 1 =ln tx + x 2e = (t + 1t-1 2e o In (t +1)+ 1 + ln2o(t - 1)ln (t +1)+ ln t-( + ln2)( -1) 0令 g ()=( - 1)ln ( +1)+ lnt-( + ln2)( -1)( t 1)，(t (t )= ln( +1)+ 三 +1 -1 - ln2t + 1 t(t )=13 + 12 + 2t 2 12 2t 1(t 3-1)+2t (t-1)八,()一121+1)一 0,所以 g

7、 (t)在G，+ 8)单调递增，所以g (t ) g 0= 0，所以g (t)在G，+ 8)单调递增，所以g (t ) gG)=0，不等式得证.2(t - 1)、c(2) x x e2 o ln x + ln x 2 o ln t 01 212t +1令 g(t)= lnt 一k；)( t 1)，贝g g(t)= t - (+1)2 = t( 12 0，所以 g()在 6 + 8)上单调递增，所以g (t ) gG)= 0，不等式得证.例4已知函数f G)=ex -ax有两个不同的零点x，x，其极值点为x .120(1)求a的取值范围；(2)求证：x + x 2 ；(4)求证：xx V 1.1

8、20121 2解：(1)f (x )= ex - a，若 a 0，f(x)在 R上单调递增，f (x)至多有一个零点，舍去；故1 0，由f G)0得，x ln a，由f G) 0得，x e .(2)由所证结论可知，是典型的极值点偏移问题，选取函数f(X)来做.下面按对称化构造 的三个步骤来写，其中x0 = lna .由(1)可知，f G)在(-8，x)上单调递减，在(x ,+8)上单调递增，可设x V x V x ；00102构造辅助函数F(x)= f (x)- f(2x0 - x)，( x G (-8, x0)，则F (x)=f (x)+ 广(2x0 - x) =ex + e2x0-x 一2

9、a，因为x e(-8,x )，所以 2x0 -x g (x0,+8)，所以 F(x) 2&2x0 -2a = 0，所以 F(x)在(-8,x。)上单调递增， 所以 F(x)V F(x0)= 0，所以 f (x)V f(2x0 -x).将x代入中不等式得f (x )= f (x )V f(2 x - x )，因为x g (x ,+8)， 12101202 x - x G (x ,+8 )，f (x)在(x ,+8)上单调递增，所以x V 2x -x，所以x + x V 2x .000201120G)由(1)可知f(x) = ex ax = 0 0 ex = ax(a 0) 0 x = Ina +

10、 Inx ox Inx = Ina,则1 - x1f(x11 - x1f(x1) = f(x2) = 0 即 x1 lnx1 = x2 lnx2 = lna，所以 ln x x = ln x x，令 t =则 x = tx，代入上式得：ln x - x = ln t + ln x - tx，211111(t + 1)ln /|2(t -1)八 1x + x =1 2 o ln t 0 ( t 1).令 g (t)= ln t - 2-1( t 1)，贝g g (t)= 1 - 4ln t所以x =1 t -1(t-1)口 商=S 0 x -2 1，x1t ln t，所以t - 1所以g (t

11、)在6 + 8)上单调递增，所以g (t ) gG)= 0，不等式得证.(4) x(4) xx 1,即 t(lnt)(lnt) 1)，则 g(t) = 1-1-Vtt 2Vt以g (t )在 G, + 8)上单调递减，所以，不等式得证.10 lnt Vt +二 0Vt土 = ( Vt1) 2 2 o In t 一 0 ( t 1).令 g 令 g (t)= ln t 一( t 1)，则 g (t)= -t + 1t侦斗)2 =，-, o，所以 g()在G，+8)上单调递增，所以g (t ) gG)= 0，不等式得证.例5.已知函数f (x)= x-lnx，若两相异正实数气，x2满足f (x1

12、)= f )，求证:f (x1)+ f ) 0)，则 f (x )+ f (x )= 2 - - 2. x12 x x x x由 f(x1) =f(x2)得，X1M1= %2Zn%2，令t =x2 1, 则气洗气=或1湿Znx，解得“ =，x2 =虹，所以土 + 上 2 0 lnt 1 (t 1) 1) zUg(t) = t 2 (1 + tj) = (2t2 )2 0，所以g(t)在(1，+8)上单调递减，所以g(t) 2. abln b 1 1例 6.已知 b a 0，且 b ln a 一 a11一 + 2. abln b 1 1求证：(1)a + b ab 1 ； (2)a + b 2

13、；(3)ln a1ln ln a1ln b1所以 + = + aabb解析：(1)因为blna alnb = a b，所以 a b ba记函数f G)=记函数f G)=坦巴，则f (a )= f ()因为广G)=xx2x2，所以函数f (x)在(，1)上单调递增，在G，+ 8)上单调递减，且 x 0 + 时，f G)8 ， x - +8 时，f (x) 0 +，f (x)的图象如图所示:因为 f J)= f G)因为 f J)= f G),In a =In t 1 t1所以 a + b 2 = a(t +1) 2。虹1) + ln(t +1) ln2 kt -1 J所以 a 1 b,所以 Ca

14、 - 1)b 1) 1 e-J(2)令 令- * 1，a贝g ta In a aGn t + In a)= a ta , tl In a Gn t +-J(2)令 令- * 1，a=(t 1)ln(t +1)+ Int-G + ln2)C 1) 0则 g(t)= ln(t +1)+ - +上-1-ln2 t +1 t令 g(t)=(t 则 g(t)= ln(t +1)+ - +上-1-ln2 t +1 t12113 + 12 + 2t 2 12 2t 1 C 3 1+ 2t (t 1)g(t )=商 + E 后=以F12 (t +1)2 ,所以 g(t)在G, + 8)单调递增，所以g (t

15、) g 0= 0 ,所以g (t)在G, + 8)单调递增，所以g (t ) g (1)= 0，不等式得证.(1(1)土 o ln a = 2t1 +1 = 1 +1 2 o a v a b a ato(t 1)ln (t +1) t ln t + (t 1)1 ln2 ) 0令 g(t)=(t 1)ln(t +1) tlnt + (t-1)1 ln2),则 g，(t)= ln(t +1)+ - 一 ln t - ln2 v,t +1,幺()=二+( 2、)一- = ( t 1) 0,所以g(t)gG)= o,所以g(t)gG)= o,所 t+1(t+1力 t 出+t 1以不等式得证.例7.已

16、知函数f G)= 2ln x ax，若气，x2是f G)的两个零点，证明f气；% v 0 .即证x + 2x -，所证结论12 a分析：f G)= - - a，贝 广气 了 = - a V 0 即证x + 2x -，所证结论12 a不常规，怎么办呢？在 f -，+kaJ证明：f G)= - - a ( x 0 )，若 a 0 , f (x)在在 f -，+kaJ多只有一个零点，舍去；故必有a 0，所以函数f G)在| 0,-上单调递增， k a J由 f G1)=f 5单调递减，且x 0 +时，f G)T 8， x - +8 时， f由 f G1)=f 5 TOC o 1-5 h z 222零

17、点，所以f = 2ln 2 0，所以ln 1，所以0 v a V aae:=2ln x ax0 v x vv x .由 f (x )= f (x )得，2ln :=2ln x ax, 2ln t得 ax =, 2ln t得 ax =1 t 1 0，令 g (t )= In t 1 + 2t所证结论等价于。气+2ax2 6 M 1)，( 1)，则2ln x 一 ax = 2ln t + 2ln x 一 atx 1111(1 + 2t)2lnt 6 o ln t lizj) t 11 + 2tg()=(1) o,所以g () g (1)= 0,所以不等式得证.文章写到此处，相信读者已经领略到比值代

18、换的威力，用比值代换解极值点 偏移问题方便、快捷，比较简单，只需一个代换就可以将双元变量问题转化为单 元变量问题，变为单变量的函数不等式，可证.但是比值代换并不是一种万能的 解决极值点偏移问题的方法，有时利用比值代换是行不通的，下面举例说明./sii o 函新f x)= ex 一 ax + a 苴蜃|拿！匕 x 在南奇干* 占 A x，。)B x，。)苴由 x 0 例8.设函数，其图豕与 轴乂于点1 ，2 ，其中 1，x 0 证明 f -x x X 02.证明：，V 1 2.证明：广G)=exa，当a0，f(x)在R上单调递增，至多有一个零点，不符合题意，故a 0，当x6(8，lna)时，广G)v0，f G)单调递减，当x An a，+ 8)时，f (x ) 0，f (x)单调递增，且 x 8 时，f (x)+8，x +8 时，f (x)+8，因为函数f G)有两个零点，所以 f (ln a)= a(2