苏教版八年级下册数学(中心对称图形-平行四边形全章复习与巩固（提高）知识点整理及重点题型梳理)

1、苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中心对称图形平行四边形全章复习与巩固（提高）1. 掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角.2. 理解中心对称图形的定义和性质.3. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.4. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.5. 掌握三角形中位线定理.【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转的概念和性质将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应

2、点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.要点二、中心对称与中心对称图形一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.把一个图形绕某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心要点三、平行四边形1定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形.3面积：4

3、判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点四、矩形1定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等； （4）中

4、心对称图形，轴对称图形.3面积：判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半要点五、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形.3面积：4判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱

5、形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点六、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3面积：边长边长对角线对角线4判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类

6、型一、旋转与中心对称图形1、如图，在ABC中，CAB=75，在同一平面内，将ABC绕点A旋转到ABC的位置，使得CCAB，则BAB=（）A30 B35 C40 D50【思路点拨】根据旋转的性质可得AC=AC，BAC=BAC，再根据两直线平行，内错角相等求出ACC=CAB，然后利用等腰三角形两底角相等求出CAC，再求出BAB=CAC，从而得解【答案】A；【解析】解：ABC绕点A旋转到ABC的位置，AC=AC，BAC=BAC，CCAB，CAB=75，ACC=CAB=75，CAC=180-2ACC=180-275=30，BAB=BAC-BAC，CAC=BAC-BAC，BAB=CAC=30故选A【总结

7、升华】本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质类型二、平行四边形2、（2016菏泽）如图，点O是ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，OBC和OCB互余，求DG的长度【思路点拨】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EFBC且EF=BC，DGBC且DG=BC，从而得到DE=EF，DGEF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）先

8、判断出BOC=90，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可【答案与解析】解：（1）D、G分别是AB、AC的中点，DGBC，DG=BC，E、F分别是OB、OC的中点，EFBC，EF=BC，DG=EF，DGEF，四边形DEFG是平行四边形；（2）OBC和OCB互余，OBC+OCB=90，BOC=90，M为EF的中点，OM=3，EF=2OM=6由（1）有四边形DEFG是平行四边形，DG=EF=6【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形举一反三：【变式】已知ABC中，AB3，AC4，BC5，分别以A

9、B、AC、BC为一边在BC边同侧作正ABD、正ACE和正BCF，求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积【答案】证明： AB3，AC4，BC5，BAC90ABD、ACE和BCF为正三角形， ABBDAD，ACAECE，BCBFFC , 1FBA2FBA6012易证BACBDF（SAS），DFACAE4，BDF90同理可证BACFECABADEF3四边形AEFD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） DFAE，DFBD 延长EA交BD于H点，AHBD，则H为BD中点 平行四边形AEFD的面积DFDH46.类型三、矩形3、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别

10、是OA、OB、OC、OD上的点，且AEBFCGDH（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DGAC，OF2，求矩形ABCD的面积【答案与解析】（1）证明：四边形ABCD是矩形，OA0BOCOD，AEBFCGDH，AOAEOBBFCOCGDODH，即：OEOFOGOH，四边形EFGH是矩形；（2）解：G是OC的中点，GOGC，DGAC，DGODGC90，又DGDG，DGCDGO，CDOD，F是BO中点，OF2，BO4，四边形ABCD是矩形，DOBO4，DC4，DB8，CB，矩形ABCD的面积4【总结升华】本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边

11、形是平行四边形，然后证明对角线相等举一反三：【变式】（2015秋太康县期中）如图，M是ABC的边BC的中点，AN平分BAC，且BNAN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，求ABC的周长【答案】解：延长线段BN交AC于EAN平分BAC，在ABN和AEN中，ABNAEN（SAS），AE=AB=6，BN=NE，又M是ABC的边BC的中点，CE=2MN=21.5=3，ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=254、在RtABC中，ACB=90，BC=4过点A作AEAB且AB=AE，过点E分别作EFAC，EDBC，分别交AC和BC的延长线与点F，D若FC=5，求四边形ABDE的周

12、长【思路点拨】首先证明ABCEAF，即可得出BC=AF，AC=EF，再利用勾股定理得出AB的长，进而得出四边形EFCD是矩形，求出四边形ABDE的周长即可【答案与解析】解：ACB=90，AEAB，1+B=1+2=90B=2EFAC，4=5=903=4在ABC和EAF中，ABCEAF（AAS）BC=AF，AC=EFBC=4，AF=4FC=5，AC=EF=9在RtABC中，AB=.AE=EDBC，7=6=5=90四边形EFCD是矩形CD=EF=9，ED=FC=5四边形ABDE的周长=AB+BD+DE+EA=+4+9+5+=18+2【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股

13、定理等知识，根据已知得出AC=EF=9是解题关键类型四、菱形5、如图，平行四边形ABCD中，ABAC，AB1，BC对角线AC，BD 相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.（1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数【思路点拨】（1）当旋转角为90时，AOF=90，由ABAC，可得ABEF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；（2）证明AOFCOE即可；（3）当EFBD时，四边形B

14、EDF为菱形，又由ABAC，AB=1，BC=，易求得OA=AB，即可得AOB=45，求得AOF=45，则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45【答案与解析】（1）证明：当AOF90时，ABEF，又AFBE，四边形ABEF为平行四边形 （2）证明：四边形ABCD为平行四边形，AOCO，FAOECO，AOFCOE.AOFCOEAFCE（3）四边形BEDF可以是菱形 理由：如图，连接BF，DE， 由（2）知AOFCOE，得OEOF，EF与BD互相平分当EFBD时，四边形BEDF为菱形 在RtABC中，OA1AB，又ABAC，AOB45， AOF45，AC绕点O顺时针旋转45时，四边形BEDF为

15、菱形【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三：【变式】已知:如图所示，BD是ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形. 【答案】证明：EF是BD的垂直平分线，EB=ED，EBD=EDB.又EBD= FBD，FBD=EDB，EDBF. 同理，DFBE， 四边形BFDE是平行四边形.又EB=ED，四边形BFDE是菱形.6、在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点连接BE、EF（1）求证：EF=BF；（2）在上述条件下

16、，若AC=BD，G是BD上一点，且BG：GD=3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论【思路点拨】（1）根据平行四边形性质推出BD=2BO，推出AB=BO，根据三线合一定理得出BEAC，在BEC中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF即可；（2）根据矩形性质和已知求出G为OD中点，根据三角形中位线求出EGAD，EG=BC，求出EGBC，EG=BC，求出BF=EG，BFEG，EG=GF，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可【答案与解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，BD=2BO，BD=2AB，AB=BO，E为OA中点，BEAC，BEC=90，F为

17、BC中点，EF=BF=CF，即EF=BF；（2）四边形EBFG是菱形，证明：连接CG，四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，四边形ABCD是矩形，AD=BC，AB=CD，ADBC，BD=2BO=2OD，BD=2AB=2CD，OC=CD，BG：GD=3：1，OB=OD，G为OD中点，CGOD（三线合一定理），即CGB=90，F为BC中点，GF=BC=AD，E为OA中点，G为OD中点，EGAD，EG=AD，EGBC，EG=BC，F为BC中点，BF=BC，EG=GF，即EGBF，EG=BF，四边形EBFG是平行四边形，EG=GF，平行四边形EBFG是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）【总结升

18、华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半类型五、正方形7、正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且EDF45将DAE绕点D逆时针旋转90，得到DCM（1）求证：EFFM；（2）当AE1时，求EF的长【答案与解析】解：（1）证明：DAE逆时针旋转90得到DCM，DEDM，EDM90，EDFFDM90，EDF45，FDMEDF45，在DEF和DMF中，DEFDMF（SAS），EFMF； （2）设EFMF，AECM1，且BC3，BMBCCM314，BFBMMFBMEF4，EBABAE312，在RtEBF中，由勾股定理得EB2BF2EF2，即，解得：，则EF 【总结升华】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键 举一反三：【变式】如图（1），正方形ABCD和正方形CEFG有一公共顶点C，且B、C、E在一直线上，连接BG、DE（1）请你猜测BG