（本科）微积分下册第七章教学课件

1、正版可修改PPT课件（本科）微积分下册第七章教学课件第七章 多元函数微分学第一节 多元函数 第二节 偏 导 数 第三节 全 微 分 第四节 多元函数微分学在几何 上的应用 第一节 多元函数 一、多元函数的概念二、二元函数的极限三、二元函数的连续性一、多元函数的概念1预备知识（1）平面点集和n维空间 平面点集是指平面上满足某个条件 的一切点构成的集合 n元有序数组所组成的集合，称作n维空间. 请同学举例说明.（2）邻域 设 是平面上一点， ，以 为中心，为半径的圆的内部点 的全体构成的点集，叫做点 的 邻域，记作 ,即在点 的 邻域内，如果去掉中心点 ，则称为点 的 去心邻域，记作 ,即（3）内

2、点、外点、边界点1）内点：设 是平面点集， 是平面上一点，如果存在 的某一邻域，此邻域内的点都属于 ，则称点 为点集 的内点（图7-2）2）外点：设 是平面点集， 是平面上一点，如果存在 的某一邻域，此邻域内的点都不属于 ，则称点 为点集 的外点（图7-3）3）边界点：设 是平面点集， 是平面上一点，如果 的任一邻域，此邻域内的点既有属于 的点，又有不属于 的点，则称点 为点集 的边界点（图7-4） 的边界点的全体称为 的边界 E图 7-4P图 7-3EPE图 7-2P（4）开集和连通集如果集合 中的每个点都是内点，则称 是开集对于开集 ，如果 中的任何两点，都可以用 中的折线连接起来，则称

3、是连通集（5）区域和闭区域连通的开集称为区域或开区域开区域连同它的边界一起称为闭区域（6）有界区域和无界区域对于平面区域 ，如果存在某一正数 ，使得其中O是坐标原点，则称区域 为有界区域否则，称区域 为无界区域2 二元函数的定义定义1 设有三个独立的变量 、 、 和非空点集 ，如果当变量 在其给定的范围 内，任取一对数值 时，变量 就按某一确定的对应法则 ，总有确定的数值与它们对应，那么，变量 就称为变量 的二元函数，记为 其中 称为自变量，函数 也叫做因变量，自变量 的取值范围 称为函数的定义域二元及其以上的函数统称为多元函数 二元函数的定义域 以解析式表示的二元函数，其定义域就是使该式子有

4、意义的自变量的变化范围对于实际问题，在求定义域时，除使该式子有意义外，还要符合具体问题的实际意义二元函数的定义域比较复杂，可以是全平面，可以是一条曲线，也可以是由曲线围成的部分平面等二元函数的定义域的求法同一元函数，其表示可用不等式组或集合的形式二元函数的几何意义 二元函数（亦即三元方程），由空间解析几何知识知道，它在空间直角坐标系中一般表示曲面定义域 就是曲面 在面上的投影区域(如图7-8） MDPzyxO图 7-8二、二元函数的极限定义2 设函数 在点 的某一邻域内有定义（点 可以除外），如果对于任意给定的小正数 ，都存在小正数 ，当 时，恒有 ，则称常数A为函数 当 时的极限，记为 或

5、.注 在一元函数 的极限定义中，点x只是沿x轴从x0的左右两侧趋向于点x0，但是，在二元函数极限的定义中，若极限存在，要求点 以任意方式、任意方向无限趋向于点 (可以沿任何直线，也可以沿任何曲线趋于点 )时，函数都无限趋于同一常数A 如果当点 以不同的方式或不同方向趋于点 时，函数趋于不同的值，那么，就可以断定此函数的极限一定不存在由此我们可以证明二元函数的极限不存在 三、二元函数的连续性1二元函数连续的定义定义3 设函数 在点 的某一邻域内有定义，如果当点 趋向于点 时，函数 的极限存在，且等于它在点 处的函数值，即 或则称函数 在点 处连续否则，称函数 在点 处间断，点 称为该函数的间断点

6、 函数 全增量：当自变量 分别有增量 时，函数 有增量称为函数 在点 的全增量，记为 ，即定义4 设函数 在点 的某一邻域内有定义，如果当自变量 的增量 趋向于零时，对应的函数 的全增量 也趋向于零，即则称函数 在点 处连续 一元函数连续性的运算法则和结论都可以推广到二元连续函数（证明从略）（1）二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数；（2）二元连续函数的复合函数仍是连续函数；（3）二元初等函数在其定义区域内都是连续的；所谓定义区域是指包含在定义域内的区域；（4）二元连续函数在连续点的极限等于该点的函数值，即 或 对于二元函数与一元函数不同的是：它不仅有间断点，有时还会有间断线

7、 2有界闭区域上连续函数的性质（1） 最大值、最小值定理 在有界闭区域 上连续的二元函数 在该区域上一定能取到最大值和最小值即一定可以找到点 ，使其中 和 分别为函数 在 上的最大值和最小值（2） 介值定理 在有界闭区域 上连续的二元函数 必能取得介于最大值和最小值之间的任何值.第二节 偏 导 数一、偏导数二、高阶偏导数三、复合函数与隐函数的求导法则四、二元函数的极值及其求法一、偏导数1 偏导数的定义定义1设有二元函数 在点 的某一邻域内有定义，当y固定在y0而让x在x0处有增量x，相应地，函数 有增量(称为对x的偏增量) 如果极限 （7-2）存在，那么，此极限值称为函数 在 处对x的偏导数记

8、作 或 . 类似地， 请同学们给出函数 在点 处对y的偏导数. 如果函数 在区域 内的每一点 处对 的偏导数都存在，那么，这个偏导数仍是 的函数，此函数称为函数 对自变量 的偏导函数，记作 或 类似地，可以定义函数 对自变量的偏导函数，记作 或2 偏导数的求法 由偏导数的定义可以看出，多元函数对某一个变量求偏导，实质上就是将其余自变量看作常数，而对该变量求导数所以，求多元函数的偏导数，只要把其余自变量看作常数，而对该变量按一元函数的求导法则和求导公式去求导即可 3偏导数的几何意义二元函数 在 处的偏导数 ，在几何上表示曲线 在点 对应点 处的切线 对 轴的斜率同样 表示曲线 在点 的切线 对

9、轴的斜率（见图7-10） 图 7-10 xMOzyy0 x0TyTxz=f (x, y)M0(x0, y0)二、高阶偏导数定义2 设函数 的两个偏导数为 和 一般来说它们仍然是 的函数，如果这两个偏导函数对 的偏导数也存在，则称它们（一阶偏导数）的偏导数是函数 的二阶偏导数 （7-4）其中 及 称为二阶混合偏导数定理1 如果函数 在区域 上的两个二阶混合偏导数 连续，则在区域 上有注 定理1说明：当二阶混合偏导数在区域 上连续时，求导结果与求导次序无关这个定理也适用于三元及三元以上的函数 三、复合函数与隐函数的求导法则 1多元复合函数的求导法则（1）多元复合函数的全导数定理2 设一元函数 与

10、在 处均可导，二元函数 在 的对应点 处有一阶连续偏导数 ，则复合函数对 的导数存在，且有 应用上述公式时，可通过图7-11表示函数的复合关系和求导的运算途径来进行在图7-11中，一方面，从 引出的两个箭头指向 表示是 的函数；同理， 又同是 的函数另一方面，从 到 的途径有两条，表示 对 的导数包括两项；每条途径有两个箭头组成，表示每项由两个导数相乘而得，其中，每个箭头表示一个变量对某变量的偏导数如 分别表示 对一元函数取导数符号，对多元函数取偏导数符号图 7-11 xvuZ（2）多元复合函数的偏导数定理3 设函数 关于 具有一阶连续的偏导数，而 与 它们关于 、的一阶偏导数都存在，则复合函

11、数 对于 、 的偏导数存在，且应用定理3的结论时，可通过图7-12表示的函数复合关系和求导运算途径去求导图 7-12 yxvuZ当 时，则其求导公式参考关系图7-13得 y x w图 7-13 v u Z当 时，则其求导公式参考关系图7-14得图 7-14 v y t x u Z当 ， ， 时，则其求导公式参考关系图7-15得其中， 通往 的途径只有一条，因此 只有一项. 图 7-15 y x v u Z2隐函数的求导公式 （1）一元隐函数的求导公式设二元方程 确定了一元函数 ，若 ，则（2）二元隐函数的求导公式 设三元方程 确定了二元隐函数 ，若 连续，且 ，则 四、二元函数的极值及其求法1

12、 二元函数的极值概念定义3 设二元函数 在点 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内异于 的点 都有 （或 ），则称 为二元函数 的极大值（或极小值）极大值和极小值统称为极值使二元函数 取得极大值（或极小值）的点 称为极大值点（或极小值点），极大值点和极小值点统称为极值点2 二元函数极值的必要条件定理4 （极值存在的必要条件）设函数 在点 的偏导数 、 存在，且在 点处有极值，则在 点处的偏导数必为零，即 3 二元函数极值的充分条件定理5 （极值存在的充分条件）设 是二元函数 的驻点，且二元函数在 点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续的偏导数，令则二元函数 在点 处是否取得极值的条件如下：（1）当

13、且 时， 是极大值，当 且 时， 是极小值；（2）当 时， 不是极值；（3）当 时，函数 在点 可能有极值，也可能没有极值 求二元函数 极值的步骤（1）先求偏导数 ；（2）解方程组 求出驻点；（3）求出驻点处的值及 的符号，据此判定出极值点，并求出极值 4 最大值与最小值求有界闭区域 上二元函数的最大值和最小值时，首先要求出函数在 内的驻点、一阶偏导数不存在点处的函数值及该函数在 的边界上的最大值、最小值，比较这些值，其中最大者，就是该函数在闭区域 上的最大值，最小者就是该函数在闭区域 上的最小值求二元函数在区域 上的最大值和最小值，往往比较复杂，因为边界上有无数多点，但是如果根据问题的实际意

14、义，知道函数在该区域 内存在最大值（或最小值），又知函数在 内具有一阶及二阶连续的偏导数，且只有唯一的驻点，则驻点处的函数值就是所求的最大值（或最小值）5 条件极值在许多实际问题中，求多元函数的极值时，其自变量常常受一些条件的限制，这类问题称为条件极值问题当约束条件比较简单时，条件极值问题可直接化为无条件极值问题来处理解决一般条件极值问题的一种方法拉格朗日乘数法 求函数 在条件 下的极值1. 构造辅助函数 称为拉格朗日函数， 称为拉格朗日乘数；2. 建立方程组即 解方程组得可能的极值点 在实际问题中，往往就是所求的极值点第三节 全 微 分 一、全微分的概念 二、全微分形式的不变性三、全微分在近

15、似计算中的应用一、全微分的概念 为二元函数 在点 处的全增量. 上面两式分别称为二元函数 对 和对 的偏增量. 定义 如果二元函数 在点 处的全增量 可以表示成 （7-18）其中 与 无关仅与 有关， 是较 的高阶无穷小，即 ，则称 为函数 在点 处的全微分，记为 ，即对于二元函数 连续、可导与可微三者之间的关系又如何呢？在第二节我们知道了函数 在点 处偏导数存在，不能保证函数 在点 处连续，若函数在点 处可微能否保证函数 在点 处连续且偏导数存在呢？定理1 如果函数 在点 处可微，则函数 在点 处连续 定理2（可微的必要条件） 如果函数 在点 处可微，则函数 在点 处的偏导数 存在，而且有上

16、式的右端分别称为二元函数 对 和对 的偏微分注 一元函数中，可微与可导是等价的，但在多元函数中，这个结论并不成立 定理3（可微的充分条件） 如果函数 在点 处的偏导数 连续，则函数 在点 处可微二元函数全微分的概念可以类似地推广到三元及其以上的函数设三元函数 ，如果三个偏导数 都连续，则它可微且其全微分为二、全微分形式不变性设函数 具有连续的一阶偏导数，则有全微分 无论 是自变量还是中间变量，全微分形式都是一样的这个性质就是全微分形式不变性 利用全微分形式不变性可以降低复合函数求导的难度，在第十章学习微分方程知识时还要用到 *三、全微分在近似计算中的应用 第四节 多元函数微分学 在几何上的应用 一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线一、空间曲线的切线与法平面定义1 设 是空间曲线 上的一点， 是 上的另一点（图7-16）则当点 沿曲线 趋向于点 时，割线 的极限位置 （如果存在），称为曲线 在点 处的切线过点 且与切线垂直的平面，称为曲线 在点 处的法平面M0MTOzyx图 7-161. 设曲线 的参数方程为则曲线 在点 处的切线 的方程为切线 的方向向量 为 曲线 在点 处的法平面的方程为 2设空间曲线 的方程为曲线 在点 处的切线方程为 曲线 在点 处的法平面方程为曲线 在点 处的法向量为二、 曲面的切平面与法线定