2022年圆的方程知识点及题型归纳总结

1、圆的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.二、基本性质、定理与公式1.圆的四种方程（1）圆的原则方程：，圆心坐标为(a,b)，半径为（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是（4）圆的参数方程：的参数方程为（为参数）；的参数方程为（为参数）.注 对于圆的最值问题，往往可以运用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，(a,b)为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后运用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.2.点与圆的位置关系判断（1）点与圆的

2、位置关系：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内.（2）点与圆的位置关系：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内.题型归纳及思路提示题型1 求圆的方程思路提示（1）求圆的方程必须具有三个独立的条件，从圆的原则方程上来讲，核心在于求出圆心坐标(a,b)和半径r；从圆的一般方程来讲，必须懂得圆上的三个点.因此，待定系数法是求圆的方程常用的措施.（2）用几何法来求圆的方程，要充足运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等.例9.17 根据下列条件求圆的方程：（1）的三个顶点分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圆的方程；（2）通过点

3、A(6,5),B(0,1),且圆心在直线3x+10y+9=0上；（3）通过点P(-2,4),Q(3,-1),且在x轴上截得的弦长等于6.分析 根据待定系数法求出相应的量即可.解析 （1）解法一：设所求圆的方程为，则由题意有，解得故所求圆的方程为解法二：由题意可求得AC的中垂线方程为x=2,BC的中垂线方程为x+y-3=0，因此圆心是两条中垂线的交点P(2,1),且半径因此所求圆的方程为即（2）AB的中垂线与AB垂直，则斜率AB的中点(3,3)，则由点斜式可得，即线段AB的中垂线方程为3x+2y-15=0由，解得，因此圆心为C(7,-3),又故所求的圆的方程为（3）设圆的方程为，将点P，Q的坐标

4、分别代入，得，又令y=0,得.设是方程的两根，则由韦达定理有，由有，即解得或故所求圆的方程为或评注 圆的方程有两种形式：原则方程和一般方程.求圆的方程问题一般采用待定系数法，并有两种不同的选择，一般地，已知圆 上的三点时用一般方程；已知圆心或半径关系时用原则方程.即一方面设出圆的方程（原则方程或一般方程），然后根据题意列出有关圆的方程中参数的方程（组），解方程或方程组即可求得圆的方程.一般地，拟定一种圆需要三个独立的条件.变式1 求过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线上的圆的方程.变式2 在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程例9.18 已知圆的半径为，圆

5、心在直线y=2x上，圆被直线y=x截得的弦长为，求此圆的方程.分析 求圆的原则方程，就是求中的a,b,r，可优先考虑待定系数法.解析 解法一：设圆的方程为.由圆心在直线y=2x上，得b=2a（）由圆在直线y=x上截得的弦长为，将y=x代入，整顿得由弦长公式，得即，化简得（）由式可得或故所求圆的方程为或解法二：据几何性质，半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形，可得弦心距，又弦心距等于圆心(a,b)到直线x-y=0的距离，即，又已知b=2a，解得或故所求圆的方程为或评注 注意灵活运用垂径定理来简化圆中弦长的求解过程.变式1 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为的

6、圆的方程例9.19 圆有关直线2x-y+3=0对称的圆的方程是（ ）A.B.C.D.解析 解法一：（推演法）将圆的方程化为原则方程，得圆心为(1,0)，半径为，设对称圆的圆心坐标为(a,b)，则,得.故对称圆的方程是解法二：（排除法）将圆的方程化为原则方程,得,则对称圆的半径也应为，故排除选项A,B，在选项C中，圆心为(-3,2)，验证两圆圆心所在的直线的斜率为，与直线垂直.故选C评注 根据圆的性质求圆有关直线的对称圆的方程问题，一般转化为求圆心有关直线对称点的问题，半径保持不变.变式1 若不同两点P,Q的坐标分别为，,则线段PQ的垂直平分线l的斜率为_，圆有关直线l对称的圆的方程为_题型2

7、直线系方程和圆系方程思路提示求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是运用它们的直线系方程（圆系方程）.（1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为：简记为： 当时，简记为：（不含）（2）圆系方程：若圆与圆相交于A,B两点，则过A,B两点的圆系方程为：简记为：，不含当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）注 与圆C共根轴l的圆系例9.20 （1）设直线与直线相交于点P,求过点P且与直线平行的直线的方程.（2）求圆心在直线上且过两圆与的交点的圆的方程.分析 把两条直线（圆）的方程联立，解得直线（圆）的交点坐标的措施看似平常，实则复杂难

8、解，而运用直线系（圆系）方程的概念，则较易求得答案.解析 （1）解法一：由，得交点.由于，故设，又过点，故，得即解法二：设，即由于，因此，得，故(2)设所求圆为化为一般式因此，故圆心为代入直线中，得解得，把代入所设的方程中，得故所求圆的方程为评注 直线系或圆系是具有共同性质的直线或圆的集合，在解题过程中合适运用直线系或圆系方程，往往可以简化运算，迅速得出结论.变式1 过直线和圆的交点且面积最小的圆的方程是_变式2 （1）设直线与直线相交于点P，求过点P且与直线垂直的直线的方程.（2）已知圆，若直线与圆C相交于A,B两点，且（O为坐标原点），求m的值和以AB为直径的圆的方程.题型3 与圆有关的轨

9、迹问题思路提示要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x,y的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的核心所在.例9.21（北京丰台高三期末理18）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点P与两个定点的距离之比为.（1）求动点P的轨迹W的方程；（2）若直线与曲线W交于A,B两点，在曲线W上与否存在 一点Q，使得，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，阐明理由.解析 （1）设点P的坐标为，由题意知，即即（2）由于直线与曲线W相交于A,B两点，因此即或 假设曲线W上存在点Q，使得由于A,B在圆上，因此，且由向量加法的平行四边形法则可知四边形OA

10、QB为菱形，因此OQ与AB互相垂直平分.故，即，解得，符合式因此存在点Q，使得评注 在平面上到两定点的距离之比不为1的正数的动点轨迹为圆.变式1 在中，若，则的最大值为_变式2 （北京石景山一模理8）如图9-10所示，已知平面是l上的两个点，C,D在平面内，且,AD=4,AB=6,BC=8，在平面上有一种动点P，使得，则P-ABCD体积的最大值是（ ）A.B.16C.48D.144例9.22 如图9-11所示，已知P(4,0)是圆内的一点，A,B是圆上两动点，且满足，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程解析 解法一：设AB的中点为R,点Q的坐标为(x,y),则在中，又由于R是弦AB的中点，由垂径定

11、理，在中，又(*),得,故则矩形的顶点Q的轨迹方程是解法二：设AB的中点为R，Q的坐标为(x,y),则，在矩形中有在中，则，即评注 式（*）的根据是，平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和.在矩形APBQ中，O为矩形外一点，有变式1 已知圆上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内的一定点，P，Q为圆上的动点.（1）求线段AP中点M的轨迹方程；（2）若，求线段PQ中点N的轨迹.变式2 已知点P(0,5)及圆（1）直线l过P且被圆C截得的线段长，求l的方程；（2）求过点P的圆C的动弦的中点M的轨迹方程.题型4 用二元二次方程表达圆的一般方程的充要条件思路提示方程表达圆的充要条件是，故在解决圆的

12、一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为，半径例9.23方程表达圆，则a的取值范畴是（ ）A.B.C.D.解析 由可得即，得 .故选D评注 对于用二元二次方程表达圆的方程的充要条件的不等式不需要记忆，只需通过配方，然后让右边不小于零即可变式1 方程表达圆的方程的充要条件是（ ）A.B.C.D. 变式2 若圆有关直线对称，则实数a 的值为_题型5 点与圆的位置关系判断思路提示在解决点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式相应的不同判断措施，此外还应注意其她约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约.例9.24 若点A(1,1)在圆的内部，则实数a 的取值范

13、畴是（ ）A.B.C.D.解析 点A(1,1)在圆内部，满足，即，解得故选A评注 判断点与圆的位置关系的代数措施为若点在圆上,则；若点在圆外,则；若点在圆内,则.反之也成立.变式1 点A(1,0)在圆上，则a的值为_变式2 过占P(1,2)可以向圆引两条切线，则k的范畴是（ ）A.B.C.D.题型6 与圆有关的最值问题思路提示解决此类问题，应综合运用方程消元法、几何意义法、参数方程法等多种思想和措施求解，才干做到灵活、高效.例9.25 已知实数x,y满足方程（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值分析 方程表达圆心为（2，0），半径为的圆.的几何意义是圆上一

14、点M(x,y)与原点连线的斜率；设y-x=b，可看作直线y=x+b在y轴上的截距；是圆上一点与原点距离的平方，可借助于平面几何知识，运用数形结合的措施求解.解析 （1）原方程可化为，表达以点（2，0）为圆心，觉得半径的圆.设，即.当直线与圆相切时，斜率最大值和最小值，此时，解得故的最大值为，最小值为（2）设y-x=b，即y=x+b，当y=x+b与圆相切时，纵截距b获得最大值和最小值，此时，即，故y-x的最大值为，最小值为（3）解法一：（几何法）表达圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点与圆心连线与圆的两个交点处获得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故,解法二：（参数方程法）把圆

15、的方程化为原则方程设（为参数,）则故当时，当时，解法三：（方程消元法）由圆的原则方程为，可得且故由故故所求最大值为，最小值为评注 波及与圆有关的最值，可借助图形性质，运用数形结合求解.一般地：（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题变式1 若圆上任意一点(x,y)都使不等式恒成立，则实数m的取值范畴是（ ）A.B.C.D.变式2 若圆上任意一点(x,y)都使不等式恒成立，则实数m的取值范畴是（ ）A.B.C.D.题型7 数形结合思想的应用思路提示研究曲线的交

16、点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像.在此过程中，特别要注意需对代数式进行等价变形，以防浮现错误.例9.26 方程表达的曲线是（ ）A.一条射线B.一种圆C.两条射线D.半个圆分析 对于方程的变形要注意等价性，即在变形前，先制约变量的取值范畴解析 由题可知，且，故原方程表达圆心在（0，0），半径为5的下半圆.故选D变式1 方程表达的曲线是（ ）A.一条射线B.一种圆C.两条射线D.半个圆例9.27 直线与曲线有且仅有一种公共点，则b的取值范畴是（ ）A.B.C. D.分析 运用数形结合法求解解析 将曲线方程变形为，当直线与曲线相切时，满足，整顿可得，即.如图9-12所示，可得当或

17、时，直线与曲线有且仅有一种公共点.故选B变式1 当曲线与直线有两个相异交点时，实数k的取值范畴是（ ）A.B.C.D.变式2 若直线与曲线有公共点，则b的取值范畴是（ ）A.B.C.D.变式3 设集合,，若，则实数m的取值范畴是_有效训练题1.若直线y=kx与圆的两个交点有关直线x+y+b=0对称，则（ ）A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=-1,b=2D.k=-1,b=-22.若点(4a-1,3a+2)不在圆的外部，则a的取值范畴是（ ）A.B.C.D.3.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（ ）A.必在圆内B.必在圆上C.必在圆外D.以上三种情形均有也许4.已知圆，过点A(4,0)作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 5.已知两点A(-1,0),B(0,2)，点P是圆上任意一点，则面积的最大值与最小值分别是（ ）A.B.C. D. 6.已知圆C的方程为，当圆心C到直