基本不等式-完整版PPT

1、3.4基本不等式2002年国际数学家大会会标 创设情境、体会感知：三国时期吴国数学家赵爽ICM2002会标赵爽：弦图一、新课引入ADCBHGFEab问2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角形，它们的面积和是S=问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S=，问3：S与S有什么样的大小关系？ 从图形中易得，s s,即探究1探究2问题1：s, S有相等的情况吗？何时相等？ 图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 形的角度数的角度a2+b22ab=(ab)2=0 a=b结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有

2、 当且仅当a=b时，等号成立此不等式称为重要不等式探究2问题2：当 a,b为任意实数时， 成 立吗？2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数2.代数证明:3.几何意义：半弦长小于等于半径（当且仅当a=b时，等号成立）二、新课讲解算术平均数几何平均数3.几何证明:从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项1.思考:如果当 用 去替换 中的 ,能得到什么结论? 基本不等式探究3其中a,bR？a0，b0证明:要证只要证 ( ) 要证，只要证 ( ) 要证，只要证（ ) 显然: 是成立的,当且仅当 时中的等号成立.证明:当 时, . 探究oabABPQ1.如图,AB是圆o的直径，Q是AB

3、上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则半弦PQ=_ _,半径AO=_几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长探究4你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?2.PQ与AO的大小关系怎样?基本不等式：当且仅当a =b时，等号成立.当且仅当a=b时，等号成立.重要不等式：注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。例1(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园, 问该矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短，最短的篱笆是多少? 应用解: (1)设矩形菜园的长为 ,宽为 , 则 , 篱笆的长为 . 由等号当且仅当 时成立,此时因此,这个矩

4、形的长和宽都是10m时,所用的篱笆最短,最短为40m得即结论1.两个正数积为定值，则和有最小值例1：(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？三、例题解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则 2(x + y)= 36 , x+ y =18矩形菜园的面积为xy m2=18/2=9得 xy 81当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 菜园面积最大，最大面积是81m2结论2.两个正数和为定值，则积有最大值最值定理：若x、y皆为正数，则（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy

5、有最 大值_；（2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最 小值_.注意：各项皆为正数； 和为定值或积为定值； 注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”和定积最大，积定和最小三、例题注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定21四、练习2. 当 x0 时， 的最小值为 ，此时x= 。思考：当 x0，y0，(1).若xy=36，则x+y的最小值是_，此时x=_，y=_；(2).若x+y=18，则xy的最大值是_，此时x=_，y=_；(3).若x+2y=4，则xy的最大值是_，此时x=_，y=_；22112668199课本100页，练习1,2课本100页，练习3,4课本100页，A组 2，3构造条件三、应用例1、若 ,求 的