随机变量及其分布测试题

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业计数原理与概率、随机变量及其分布理概率文(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是 ()A对立事件 B不可能事件C互斥但不对立事件 D以上答案均不对解析：四张纸牌分发给四人，每人一张，甲和乙不可能同时分得梅花，所以是互斥事件，但也有可能丙或丁分得梅花，故不是对立事

2、件答案：C2有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为 ()解析：A游戏盘的中奖概率为，B游戏盘的中奖概率为，C游戏盘的中奖概率为，D游戏盘的中奖概率为 ，A游戏盘的中奖概率最大答案：A3理某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ()A14 B24 C28 D48解析：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数 Ceq oal(1,2)Ceq oal(3,4)Ceq oal(2,2)Ceq oal(2,4)241614.法二：从4男2女中选4人共有C

3、eq oal(4,6)种选法，4名都是男生的选法有Ceq oal(4,4)种，故至少有1名女生的选派方案种数为Ceq oal(4,6)Ceq oal(4,4)15114.答案：A4.文在ABC中，D是BC的中点，向ABC内任投一点那么点落在ABD内的概为()A.eq f(1,3)B.eq f(1,2) C.eq f(1,4) D.eq f(1,6)解析：因为D是BC的中点，所以SABDeq f(1,2)SABC，所以点落在ABD内的概率为eq f(1,2).答案：B5理(2009辽宁高考)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ()

4、A70种 B80种 C100种 D140种解析：分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共有：Ceq oal(2,5)Ceq oal(1,4)Ceq oal(1,5)Ceq oal(2,4)70种答案：A6.文两个骰子的点数分别为b、c，则方程x2bxc0有两个实根的概率为 ()A.eq f(1,2) B.eq f(15,36) C.eq f(19,36) D.eq f(5,6)解析：共有36个结果，方程有解，则b24c0，b24c，满足条件的数记为(b2,4c)，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25

5、,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，(36,24),19个结果，Peq f(19,36).答案：C7理(2009重庆高考)eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(2,x)8的展开式中x4的系数是 ()A16 B70 C560 D1 120解析：由二项展开式通项公式得Tk1Ceq oal(k,8)(x2)8keq blc(rc)(avs4alco1(f(2,x)k2kCeq oal(k,8)x163k.由163k4，得k4，则x4的系数为24Ceq oal(4,8)1 120

6、.答案：D文某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过(假设每一辆带走站上的所有乘客)，乘客到达汽车站的时间是任意的，则乘客候车时间不超过3分钟的概率为 ()A.eq f(2,5) B.eq f(3,5) C.eq f(1,2) D.eq f(3,4)解析：Peq f(52,5)eq f(3,5).答案：B8.若A、B为一对对立事件，其概率分别为P(A)eq f(4,x)，P(B)eq f(1,y)，则xy的最小值为()A9 B10 C6 D8解析：由已知得eq f(4,x)eq f(1,y)1(x0，y0)，xy(xy)(eq f(4,x)eq f(1,y)5(eq f(4y,x)eq f(x,y)

7、9.答案：A9理从数字0,1,2,3,5,7,8,11中任取3个分别作为AxByC0中的A，B，C(A，B，C互不相等)的值，所得直线恰好经过原点的概率为 ()A.eq f(41,335) B.eq f(1,8) C.eq f(5,28) D.eq f(3,8)解析：Peq f(76,876)eq f(1,8).答案：B10.文一块各面均涂有油漆的正方体被据成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是 ()A.eq f(1,12) B.eq f(1,10) C.eq f(3,25) D.eq f(12,125)解析：每条棱上有8块，

8、共81296块概率为eq f(812,1 000)eq f(12,125).答案：D11在区域eq blcrc (avs4alco1(xyr(2)0，,xyr(2)0，,y0)内任取一点P，则点P落在单位圆x2y21内的概率为()A.eq f(,2) B.eq f(,8) C.eq f(,6) D.eq f(,4)解析：区域为ABC内部(含边界)，则概率为P=答案：D12理在(x2eq f(1,x)n的展开式中，常数项为15，则n ()A3 B4 C5 D6解析：对于二项式的展开式问题，关键要考虑通项，第k1项Tk1Ceq oal(k,n) (eq f(1,x)kCeq oal(k,n)应有2

9、n3k0，neq f(3k,2)，而n是正整数，故k2,4,6.结合题目给的已知条件，常数项为15，验证可知k4，n6.答案：D13.文已知直线yxb的横截距在2,3范围内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是 ()A.eq f(1,5) B.eq f(2,5) C.eq f(3,5) D.eq f(4,5)解析：Peq f(21,2(3)eq f(1,5).答案：A14理用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 ()A40 B60 C80 D10解析：若个位数是偶数，当2在个位时，则1在十位，共有Aeq oal(

10、2,2)Aeq oal(2,2)4(个)，当2不在个位时，共有Aeq oal(1,2)Aeq oal(1,2)Aeq oal(2,2)Aeq oal(2,2)16(个)，所以若个位是偶数，有41620个六位数同理，若个位数是奇数，有20个满足条件的六位数，因此，这样的六位数的个数是40.答案：A15.文若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，由书架上抽出一本外文书的概率为 （ ） A.eq f(1,5) B.eq f(3,10) C.eq f(2,5) D.eq f(1,2)解析：Peq f(5,10)eq f(1,2).答案：D16理口袋中有4个白球，n个红球，从中随机地摸出两个球，

11、这两个球颜色相同的概率大于0.6，则n的最小值为 ()A13 B14 C15 D16解析：由已知条件可得eq f(Coal(2,4)Coal(2,n),Coal(2,n4)0.6，解之得n12或n90时的概率为.解析：P=答案：4.理(2010安徽师大附中模拟)a (sinxcosx)dx则二项式(aeq r(x)eq f(1,r(x)6展开式中含x2的项的系数是_解析：a (sinxcosx)dx(sinxcosx)eq x(|oal(,0)(sincos)(sin0cos0)(01)(01)2.又Tr1Ceq oal(r,6)(aeq r(x) (eq f(1,r(x)rCeq oal(r

12、,6) (1)rx(eq f(6r,2)eq f(r,2)Ceq oal(r,6) (1)r.由3r2，解r1，x2项的系数为Ceq oal(1,6)a5192.答案：1925.文如图所示，a，b，c，d是四处处于断开状态的开关，任意将其中两个闭合，则电路被接通的概率为.解析：上个开关任意闭合2个，有ab、ac、ad、bc、bd共6种方案， 电路被接通的条件是：开关d必须闭合；开关a，b，c中有一个闭合即电路被接通有ad、bd和cd共3种方案，所以所求的概率是答案：6已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mxy0，若m在集合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任意取一个值，使得双曲

13、线的离心率大于3的概率是_解析：由题意知meq f(b,a)，eeq r(1m2)，仅当m1或2时，1e3时的概率Peq f(7,9).答案：eq f(7,9)三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)7(本小题满分12分)设A(x，y)|1x6,1y6，x，yN*(1)求从A中任取一个元素是(1,2)的概率；(2)从A中任取一个元素，求xy10的概率；(3)理设Y为随机变量，Yxy，求E(Y)解：(1)设从A中任取一个元素是(1,2)的事件为B，则P(B)eq f(1,36)，所以从A中任取一个元素是(1,2)的概率为eq f(1,36).(2)设从

14、A中任取一个元素，xy10的事件为C，则有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)共6种情况，于是P(C)eq f(1,6)，所以从A中任取一个元素，xy10的概率为eq f(1,6).(3)理Y可能取的值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.P(Y2)eq f(1,36)，P(Y3)eq f(2,36)，P(Y4)eq f(3,36)，P(Y5)eq f(4,36)，P(Y6)eq f(5,36)，P(Y7)eq f(6,36)，P(Y8)eq f(5,36)，P(Y9)eq f(4,36)，P(Y10)eq f(3,36)，P(Y11)eq f(

15、2,36)，P(Y12)eq f(1,36).则E(Y)2eq f(1,36)3eq f(2,36)4eq f(3,36)5eq f(4,36)6eq f(5,36)7eq f(6,36)8eq f(5,36)9eq f(4,36)10eq f(3,36)11eq f(2,36)12eq f(1,36)7.8(本小题满分12分)如图，已知AB是半圆O的直径，AB8，M、N、 P是将半圆圆周四等分的三个分点(1)从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；(2)在半圆内任取一点S，求三角形SAB的面积大于8eq r(2)的概率解：(1)从A、B、M、N、P这5个点中

16、任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM、ABN、ABP、AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP，其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP 3个，所以这3个点组成直角三角形的概率Peq f(3,10).(2)连结MP，取线段MP的中点D，则ODMP，易求得OD2eq r(2)，当S点在线段MP上时，SABS=28=8，所以只有当S点落在阴影部分时，三角形SAB面积才能大于8，而S阴影=S扇形OMP-SOMP=42-42=4-8，所以由几何概型公式得三角形SAB的面积大于8的概率P=9理(本小题满分12分)某车间准备从10名工人中选配4人到某生产线工作，为了安全生产，工厂

17、规定：一条生产线上熟练工人数不得少于3人已知这10名工人中有熟练工8名，学徒工2名(1)求工人的配置合理的概率；(2)为了督促其安全生产，工厂安全生产部门每月对工人的配备情况进行两次抽检，求两次检验得到的结果不一致的概率解：(1)一条生产线上熟练工人数不得少于3人有Ceq oal(4,8)Ceq oal(3,8)Ceq oal(1,2)种选法工人的配置合理的概率eq f(Coal(4,8)Coal(3,8)Coal(1,2),Coal(4,10)eq f(13,15).(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出工人的配置合理的概率均为eq f(13,15)，故“两次检验得出

18、的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为Ceq oal(1,2)eq f(13,15)(1eq f(13,15)eq f(52,225).10.文(本小题满分12分)投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标(1)求点P落在区域C：x2y210内的概率；(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2

19、,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)， (4,2)，(4,4)，共9种，其中落在区域C：x2+y210上的点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)，共4种故点P落在区域C：x2+y210内 的概率为.(2)区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10，则豆子落在区域M上的概率为.11理(本小题满分12分)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花.(1)求恰有两个区域用红色鲜花的概率；(2)记花圃中红色鲜花区域的块数为X，求X的分布列及其数学期望解：(1)设M表示事件“恰有两个区

20、域用红色鲜花”，如图，当区域A、D同色时，共有54313180种；当区域A、D不同色时，共有54322240种；ABCED因此，所有基本事件总数为：180240420种它们是等可能的又因为A、D为红色时，共有43336种；B、E为红色时，共有43336种；因此，事件M包含的基本事件有：363672种所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率P(M)eq f(72,420)eq f(6,35).(2)随机变量X的取值分别为0,1,2.则当X0时，用黄、蓝、白、橙四种颜色来涂色，若A、D为同色时，共有4321248种；若A、D为不同色时，共有4321124种；即X0所包含的基本事件有482472种，所以P

21、(X0)eq f(72,420)eq f(6,35)；由第(1)问得P(X2)eq f(6,35)；所以P(X1)1eq f(6,35)eq f(6,35)eq f(23,35).从而随机变量X的分布列为：X012Peq f(6,35)eq f(23,35)eq f(6,35)所以，E(X)0eq f(6,35)1eq f(23,35)2eq f(6,35)1.12.文(本小题满分12分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记z|x2|yx|.求z的所有可能的取值，并求出z取相应值时的概率解：z的所有可能取值为0,1,2,

22、3.当z0时，只有x2，y2这一种情况，当z1时，有x1，y1或x2，y1或x2，y3或x3，y3四种情况，当z2时，有x1，y2或x3，y2两种情况，当z3时，有x1，y3或x3，y1两种情况，有放回地抽两张卡片的所有情况有9种P(z0)eq f(1,9)，P(z1)eq f(4,9)，P(z2)eq f(2,9)，P(z3)eq f(2,9).13理(本小题满分12分)(2009陕西高考)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示据统计，随机变量X的概率分布如列下：(1)求a的值和X的数学期望；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概

23、率.X0123P0.10.32aa解：(1)由概率分布的性质有0.10.32aa1，解得a0.2.X的概率分布列为X0123P0.10.30.40.2E(X)00.110.320.430.21.7.(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”则由事件的独立性得P(A1)Ceq oal(1,2)P(X2)P(X0)20.40.10.08，P(A2)P(X1)20.320.09，P(A)P(A1)P(A2)0.080.090.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.14

24、.文(本小题满分12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由解：(1)基本事件空间与点集S(x，y)|xN*，yN*,1x5,1y5中的元素一一对应因为S中点的总数为5525(个)，所以基本事件总数为n25.事件A包含的基本事件数共5个：(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)，所以P(A)eq f(5,25)eq f(1,5).(2)B与C不是互斥

25、事件，因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次(3)这种游戏规则不公平由(1)知和为偶数的基本事件为13个，所以甲赢的概率为eq f(13,25)，乙赢的概率为eq f(12,25)，所以这种游戏规则不公平15理(本小题满分14分)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，记事件A“恰有一个红球”，事件B“第3个是红球”求：(1)不放回时，事件A、B的概率；(2)每次抽后放回时，A、B的概率解：(1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中取一个，第二次只能从5个球中取一个，第三次从4个球中取一个，基本事件共654120个，又事件A中含有基本事件324372个，(第一

26、个是红球，则第2,3个是黄球，取法有243种，第2个是红球和第3个是红球取法一样多)，P(A)eq f(72,120)eq f(3,5).第3次取到红球对前两次没有什么要求，因为红球数占总球数的eq f(1,3)，每一次取到都是随机地等可能事件，P(B)eq f(1,3).(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中取一个，有取法63216种，事件A含基本事件324496种P(A)eq f(96,216)eq f(4,9).第三次抽到红球包括B1红，黄，红，B2黄，黄，红，B3黄，红，红，B4红，红，红四种两两互斥的情形，P(B1)eq f(2,27)，P(B2)eq f(242,216)eq f(

27、442,216)eq f(4,27)，P(B3)eq f(422,216)eq f(2,27)，P(B4)eq f(222,216)eq f(1,27)，P(B)P(B1)P(B2)P(B3)P(B4)eq f(2,27)eq f(4,27)eq f(2,27)eq f(1,27)eq f(1,3).16.文(本小题满分14分)一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字(1)若抛掷一次，求能看到的三个面上数字之和大于6的概率；(2)若抛掷两次，求两次朝下面上的数字之积大于7的概率；(3)若抛

28、掷两次，以第一次朝下面上的数字为横坐标a，第二次朝下面上的数字为纵坐标b，求点(a，b)落在直线xy1下方的概率解：(1)记事件“抛掷后能看到的数字之和大于6”为A，抛掷这颗正四面体骰子，抛掷后能看到的数字构成的集合有2,3,4，1,3,4，1,2,4，1,2,3，共有4种情形，其中，能看到的三面数字之和大于6的有3种，则P(A)eq f(3,4).(2)记事件“抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于7”为B，两次朝下面上的数字构成的数对共有16种情况，其中能够使得数字之积大于7的为(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)共6种，则P(B)eq f(6,16)eq

29、f(3,8).(3)记事件“抛掷后点(a，b)在直线xy1的下方”为C，要使点(a，b)在直线xy1的下方，则需ba1，当b1时，a3或4；当b2时，a4.则所求的概率P(C)eq f(3,16).一、选择题1袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是()A5B9 C10 D25解析：号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种答案：B2设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X101P0.512qq2则q等于 ()A1 B1eq f(r(2),2) C1eq f(r(2

30、),2) D1eq f(r(2),2)解析：由分布列的性质得eq blcrc (avs4alco1(012q1,0q21,0.512qq21)eq blcrc (avs4alco1(0qf(1,2)，,q1f(r(2),2).)q1eq f(r(2),2).答案：C3已知随机变量X的分布列为P(Xk)eq f(1,2k)，k1,2，则P(2X4)等于()A.eq f(3,16) B.eq f(1,4) C.eq f(1,16) D.eq f(5,16)解析：P(2X4)P(X3)P(X4)eq f(1,23)eq f(1,24)eq f(3,16).答案：A4一盒中有12个乒乓球，其中9个新的

31、，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X4)的值为()A.eq f(1,220) B.eq f(27,55) C.eq f(27,220) D.eq f(21,55)解析：X4表示取2个旧的，一个新的，P(X4)eq f(Coal(2,3) Coal(1,9),Coal(3,12)eq f(27,220).答案：C5若离散型随机变量X的分布列为：X01P9c2c38c则常数c的值为 ()A.eq f(2,3)或eq f(1,3) B.eq f(2,3) C.eq f(1,3) D1解析：由eq blcrc (avs4alc

32、o1(9c2c0，,38c0，,9c2c38c1，)ceq f(1,3).答案：C6一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab的最大值为 ()A.eq f(1,48) B.eq f(1,24) C.eq f(1,12) D.eq f(1,6)解析：由已知3a2b0c1，3a2b1，abeq f(1,6)3a2beq f(1,6)eq f(3a2b)2,4)eq f(1,24)，当且仅当aeq f(1,6)，beq f(1,4)时取“等号”答案：B二、填空题7设随机变量X等可能取值

33、1,2,3，n，如果P(X4)0.3，那么n_.解析：P(Xk)eq f(1,n)(k1,2，n)，0.3P(X4)P(X1)P(X2)P(X3)eq f(3,n)，n10.答案：108从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为X012P解析：当2球全为红球时eq f(Coal(2,3),Coal(2,5)0.3，当2球全为白球时eq f(Coal(2,2),Coal(2,5)0.1，当1红、1白时eq f(Coal(1,3)Coal(1,2),Coal(2,5)eq f(6,10)0.6.答案：0.10.60.39设某项试验的成功率为失败率的2倍

34、，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0)的值为_解析：设X的分布列为：X01Pp2p即“X0”表示试验失败，“X1”表示试验成功，设失败的概率为p，成功的概率为2p，由p2p1，则peq f(1,3).答案：eq f(1,3)三、解答题10某重点高校数学教育专业的三位毕业生甲、乙、丙参加了一所中学的招聘面试，面试合格者可以正式签约，毕业生甲表示只要面试合格就签约，毕业生乙和丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是eq f(1,3)，且面试是否合格互不影响，求：(1)至少有1人面试合格的概率；(2)签约人数X的分布列解：(1)至少有1人面试合格的

35、概率为P1eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)3eq f(19,27).(2)P(X0)eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(1,3)eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(1,3)eq f(16,27).P(X1)eq f(1,3)eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(1,3)eq f(2,3)eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(2,3)eq f(8,27)，P(X2)eq f(2,3)eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(2,27).P(X3)eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,27)