高数(上)总复习课件

1、高数(上)总复习高数(上)总复习期末复习基本概念,基本定理,基本方法期末复习基本概念,基本定理,基本方法概念罗列函数(有确定对应规则),自变量,定义域及求法,有(上,下)界,无界,奇、偶函数,单调(增、减)函数,复合函数,直接函数与反函数(关于y=x对称),基本初等函数及对应图形,初等函数;极限,左右极限,单侧极限,无穷大与无穷小,无穷小的阶(高阶,低阶,同阶,数量阶),等价无穷小,连续(3定义),间断,间断点分类,导数的定义及几何意义K切, K法=-/K切,高阶导数,变化率,相关变化率,微分(线性主部).极值,驻点,最值,曲率定义及2个计算公式,垂直渐近线,水平渐近线,斜渐近线.概念罗列不定

2、积分(原函数族),原函数 -已知.定积分(和式的极限是数).反常积分,奇点(特别注意积分里有无奇点).不定积分(原函数族),原函数 基本定理极限及无穷小的性质,无穷小与极限的关系,极限性质:惟一,有界,保号,局部服从全体(判极限不存在).极限的四则运算与复合运算性质(参与的变量极限一定要存在);连续函数经+,-,*,/与复合运算后仍连续;闭区间上连续函数的两类性质:有界,介值.可导必连续,连续不一定可导.左右极限,左右连续,左右导数.可导充要条件是可微.dy=ydx.4个微分中值定理+1个拉氏定理推论.基本定理不定积分基本方法线性,24个基本积分公式,直接积分法(要巧拆).第一类换元,凑微分法

3、(要巧凑).第二类换元,变量代换(要巧换).分部积分法(要巧分).递推,解方程,凑成微分尽量用有理函数:待定系数法分解;三角函数有理式:万能代换.(一般不用)不定积分基本方法定积分基本定理与基本方法与积分变量无关,线性,区间可加性,单调性,估值Th,积分中值Th.定积分的换元法,分部积分法.定积分基本定理与基本方法（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念主要内容：第一章 函数与极限（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念主要内容：第函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函 数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数函数的定

4、义反函数隐函数反函数与直接基本初等函数复合函数初等函极限的7个定义,无穷大与无穷小的相应定义 ,当 时,有设 f (x) 在 | x | 充分大时有定义. 如果对于 X 0 ,当 | x | X 时,恒有则称 是 f (x) 当 x 时的极限, 记作或极限的7个定义, ,当 时,有设 f 设 在 的某一去心邻域内有定义. 如果对于 当 时， 有 或 设 在 的某一去心邻域内有定义. 如果对于 当 时， 有 或 设 在 的某一去心邻域内有定义. 或极限的求法:若函数连续: (最常用),初等函数在定义区间内连续.四则运算,有理函数在 的计算公式,去0 因子,及有理化;变量代换,有界与无穷小之积是无

5、穷小.无穷大与无穷小(除0外)互为倒数关系.两准则:夹逼,单调有界;凑两个重要极限;等价无穷小替换(注:只用于乘除, 加减不能用)洛必达法则(最有效).极限的求法:注1:lim的使用:变量未消失时,一定有lim.变量已消失时,一定没有lim.注2:分毋为0肯定是无意义.具体运算时,不要出现0/0,1/0等.注1:lim的使用:变量未消失时,一定有lim.变量已消失时一、第二章内容提要1、导数的定义2、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式16个）3、求导法则4、高阶导数(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)5、微分的定义6、导数与微分的关系7、微分的求法8、微分的基本法则（7个）一、第二章

6、内容提要1、导数的定义2、基本导数公式（常数和基本导数的求法定义(导数是切线斜率)多用于抽象函数或分段函数在固定点.初等函数求导,基本初等函数求导公式,求导(+-*/)运算法则,复合函数求导公式,反函数求导公式;隐函数求导公式,对数求导法,参数方程求导公式,高阶导数公式.导数的求法隐函数求导要点:方程两端同时关于x求导,遇到y时,将y当作中间变量,先对y求导,然后,马上乘以y, 最后解出y.对数求导注意点:要充分地使用对数性质.将对数性质发挥至极致.适用于(1)幂指函数;(2)多因子乘积.参数方程求导注意点: y,y是t的函数,对t求导后一定要及时除以xt.隐函数求导要点:方程两端同时关于x求

7、导,遇到y时,将y当作中（4）莱布尼茨（Leibniz）公式高阶导数公式（4）莱布尼茨（Leibniz）公式高阶导数公式洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法.导数的应用第三章 微分中值定理与导数应用 主要内容洛必达法则RolleLagrange常用的CauchyTay微分中值定理的特点条件: 满足：（1）在闭区间 a ,b 上连续；（2）在开区间 (a ,b) 内可导；（3）结论: 在开区间(a ,b) 内至少有一点 ，使微分中值定理的特点条件: 满足：（1）在闭区

8、间 a罗尔中值定理适用于有关方程的根(在端点处给出函数值及牵涉到一个函数);拉格朗日中值定理的适用于有关函数的改变量或差;拉格朗日中值定理的推论(导数为零的函数是常数)适用于关于恒等式;柯西中值定理适用于有关方程的根(没给出函数值及牵涉到两个函数差之比);泰勒中值定理涉及函数的高阶导数.罗尔中值定理适用于有关方程的根(在端点处给出函数值及牵涉到一使用洛必达法则注意:必须是 或 型的不定式;必须对分子和分毋,分别及同时求导;每次求导前必须整理和简化,若有可约去因子,或有非零的极限因子,要先行约去或提出.有时,也要与无穷小替换等方法联合使用.条件是充分的而非必要.使用洛必达法则注意:导数应用用一阶

9、导数判别单调性与极值.极值的必要条件是驻点或导数不存在点.判别极值的三个充分条件.用二阶导数判别凹凸性与拐点. 拐点的必要条件是二阶导数为0的点或二阶导数不存在点.也有三个充分条件.判别不等式的4种方法: 1)单调性;2)拉氏Th;3)凹凸性;4)最值.导数应用用一阶导数判别单调性与极值.极值与最值区别极值是局部的,而最值是全局的.极值点处的函数值必须与两侧的函数值比较,最值可以与一侧的比较即可以在边界处取得.应用题中求最值题,在求得驻点后,必须讨论得到最值,讨论最值的四种办法:1)比较大小;2)单调性;3)惟一驻点,用二阶导数判别极值;4)实际问题,惟一驻点.极值与最值区别极值是局部的,而最值是全局的.积分法原 函 数选择u有效方法基本积分表第一换元法 第二换元法直接积分法分部积分法不 定 积 分几种特殊类型函数的积分第四章 不定积分 主要内容积分法原 函 数选基第一换元法 直接分部不 定 积 分几问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程存在定理广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式第五章 定积分 主要内容问题1:问题2:存在定理广义积分定积分定积分定积分的牛顿-莱第六章 定积分的应用 主要内容1、定积分的元素法2、定积分的几何应用(1) 平面图形的面积(2) 立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积：旋转体的体积：3、定积分的物理应用:做功,水