(整理)微积分习题库

1、精品文档精品文档精品文档精品文档1 .确定下列函数的定义域:y =loga arcsin x ;(4)x - 12、y =arccos loga(4 - x )2(3) y =sin 刀x2.求函数1 sin 一x0(x=0)(x =0)的定义域和值域。3.下列各题中，函数 f (x)和g(x)是否相同?(1) f (x) =x,g(x) =4x2 ;x2 -1, 、(3)f(x)=,g(x)=x_1；x 12 二(2) f (x) =cosx, g(x) =12sin ;2x0(4) f (x) =，g(x)=x。x4.设f (x) =sin x 证明：f (x lx) - f (x)5.设

2、 f (x) =ax2+bx+5且 f (x+1) _ f (x) =8x+3 ,试确定 a,b 的值。6.下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？22、- 23(1) y =x (1 x )(2) y =3x -x ；(4) y =x(x-1)(x+1) ;(5) y =sinx-cosx+1.设f(x)为定义在(,+与上的任意函数，证明：F1(x) =f (x)+f (-x)偶函数；(2) F2(x) = f (x) - f (一x)为奇函数。.证明：定义在(3,+9)上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。(3) y =(6) y =-2，1 xx .

3、x a a2.设f(x)定义在(-L, L)上的奇函数，若f(x)在(0,L)上单增，证明：f (x)在(-L,0) 上也单增。.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：y =cos(x2)(2)y=cos4x;(3)y=1+sinnx;(4)y=xcosx;(5)y=sin2x(6)y =sin 3x+tanx。精品文档精品文档精品文档.下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。(1) y =x3,x =sinty = JU, u =sin x -2(2) y=aU,u=x2；y = . u ,u = x3(3)y =lOgaU，Uy

4、=lOgaU，U= 3x2 +2 ;=x2 - 2。.下列函数是由哪些简单函数复合而成的?(1) y =V(1 +x)2 +1y=sin2(3x+1)13.求下列函数的反函数: y=3(x)2y = 3oga cos2 x。y =2sin x ;y =1 +喻2)；2xy x21习题131.利用数列极限定义证明:如果lim Un =A ,则 im |un n )二二n ：.RA|,并举例说明反之不然。习题1422x2(x 1)(1)作函数y = f(x)的图形;(2)根据图形求极限lim f (x)与 lim , f (x);x_1 (3)当xt 1时，f(x)有极限吗?2.求下列函数极限：(

5、1) lim x-;x 0 | x |3.下列极限是否存在? lim/-2-x- ；x0 x |x|为什么？(3)limo|x|lim sin x ;x )二lim arctan x ;xJ 二二lim cos1x0 xlim(1+e=)； x j二二(5)limx ：1|x1 .x -1(6)lim e2。x)二习题15n(n +1) J； 2.lim I1 +).x-m-1 b b2 +bn ;(|a|1,|b1)(4) lim(-2)n 2X一尸：(一2)nn -彳(5)(6)24x -1lim -2,x )16x -5x 1.求下列极限:(2)x sin x人-.x r(3) lim

6、-sin n71 ；n- n1 lim x cos x 0 x精品文档精品文档精品文档-x55)lim ；x arctanx(6) lim e arctan x。x_二6.下列各题的做法是否正确？为什么?lim 一x P x 92 lim (x2 -9) 二 x9(3)1lim (x 1 x -1cosxlim x xlim (x -9)x91)=lim -lim2x2 -1x1 x -1 x ：1 x2 -1.1n=lim cosxlim-=0。xx.x二-二-0.证明：当 xt 0时，arcsinx x,.利用等价无穷小的性质，求下极限：arctanx x。sin 2x(1) lim ；J

7、0 sin 3xn(3) lim -(m, n 为正整数)；x Q(sinx)m.39.当 xt 1 时，xsin 2xlim ；J0 arctan xlim 一x 5.1-cosx10.当XT七C时,-3x +2是x 1是多少阶无穷小?二_1是1是多少阶无穷小？x 1 xIsin1是工是多少阶无穷小？ x x x习题181.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形:(1) f(x)=x； x f(x) =，2_x (0 x1)2 f (1 : x _ 2)(3) f(x) =(|x”(|x| 1)|x| (x0)。J (x=0)2 .指出下列函数的间断点, 充或改变函数的定义使它连续。-、x2

8、 -1(1) y =-;x -3x 2说明这些间断点属于哪一类？如果是可去间断点，则补(2)3. a为何值时函数f (x)n;tanx(0 x 工 1)(1 :二 x 0);(11)limx-)二;(6)limx 0ln(1+3x)；3lim (x +2x 1)；x J .二二习题1 10.证明：方程 x5 -3x=1在区间(1,2)上至少有一个根。.设f (x)在闭区间a, b上连续，x1, x2，xn是m，b内的n个点，证明: 如a, b,使得J TN )n习题21.用导数定义求下列函数的导数：1y=ax+b (a, b 是常数)；(2) f(x)=cosx；(3) y = 。x.下列各题

9、中假定 f(xo)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么？(1)胪 f (Xo -? - f(xo) = A ;(2) lim A,其中，f(0) = 0；.x0 xx )0 xf (x0 h) -f(x0 -h)3) lim = A oh 0h.利用备函数求导数公式，求下列函数的导数： y =x2 7x ;(2) y = x1.6 4x2 ； TOC o 1-5 h z (3)y ；(4)x1.已知函数 f (x)=,求 f (1), f (-2)。 x.已知函数f(x)=&，求f (2), f (4)。12、.自由落体运动 s=gt(4) y =x cosx ； (g=9.8米/秒

10、)。2(1)求在从t =5秒到(t +d )秒时间区间内运动的平均速度，设& =1秒，0.1秒,0.001 秒；(2)求落体在5秒末的瞬时速度；(3)求落体在任意时刻t的瞬时速度。.函数在某点没有导数，函数所表示的曲线在该点是不是就没有切线？举例说明。2_x (x 1)么值？2.求曲线y =sin x在x =n及x =互处的切线斜率。3.求曲线y =x3上取横坐标为Xi =1及x2=3的两点，作过这两点的割线。问该抛 物线上哪一点的切线平行于这条割线？D.证明函数数f(x)=xsinx (xk0)在x=0处连续，但不可导。0 (x=0).函数yqsinx|在x=0处的导数是否存在，为什么?.讨

11、论下列函数在指定点处的连续性与可导性：2_ 1, 八f(x)=x sin； (x#0)在点 x=0处；0 (x =0)，一、x 1 .y=在点 x=1 处；x -1y gx +2|在点 x = 2处。1y =人;(8)1 x x2.求下列函数在指定点处的导数：(3) f(v)=(v+1)2(v-1)；/ 、x 2(6) y = 3a ； x(9) y = (2 +sect) sint 。.求下列函数的导数：.y =ax +bx +c ;习题22y =x2(2 + Jx);(5)P() =sin 中；1 sin ts =;1 sin tf (1)；(1) f (x) = anxn +anqxn4

12、 + +ax +aO ,求 f (0),精品文档(2) y =x2sin(x -2),求 y 。3.求下列函数的导数（其中x,t是自变量，a,b是大于零的常数）(4)(10)(13)(16)(19)(22)(25)(28)(31)(34)(37)1,a2 -x2 1x2y =sin V1 +x2 ；2 ,2 、y =cos (cos x)(2)(5)；(8)(11)(14)二2二e,x/ln x ；-3 sin x(17)(20)1=arccos一； x(23)= xarccosx - . 1 -x1=arcsin1 -x1 x= cosarccos.2 1-sin-=e x ；= shxec

13、hx ；.求与曲线.求曲线y.抛物线y7.求过曲线 离。2xy 二22.x - a(3)(6)y = V1 + ln 2 x ;一 2x ,x y = sin cot 32(9).2y =sin (2x 1)；y =cot%1 + x2 ;=t3 -3t.3 / 2、=ln (x )；x2 i* 2(12) y=sine ；(15) y =11 +tan x 十一 ；x(18) y = ln(1+x+4 2x + x2);(21)y = lnln(ln t);=arccosV1 -3x ；(24)arcsin x(26) y =-= ;(27)-.1 -x2(29)(32)(35)(38)y

14、= Jx arctanx ；1 2arccos-ex2arcsin xy =ln(arctanv1+x )； (30) y=；arccosxarcsin xxy =e + arctan e ； (33)y =ch(sh x);y = arctan(th x)(36)(39)y=x2+5相切且通过点（1, 2）的直线方程。= xln x的平行于直线2x2y +3 =0的法线方程。2 .=x上哪一点的切线与直线 3x-y+1 =0交成45y =e2x +x2上横坐标8.设f （x）对x可导，求ia x ib ix byylb 八 xWy = th(ln x)；1y = ln(ch x)+2。2ch

15、 x角。=0的点处的法线方程，并求从原点到该法线的距(1) y=f(x2)；(3) y=ff(x)(2)(4)= f(ex)ef(x)；=f (sin 2 x) + f (cos2 x) o习题231.求下列函数的二阶导数:精品文档精品文档精品文档精品文档(1) y = x cosx ;(4) y =tan x ; y =ln sin x ;(2)(5)(8)2 2 .y = va x ,2、，y =(1 +x ) arctan x ；2x3 x 4(3) y =：x(6) y =e x ；y =sinx sin 2x，sin3x ; (9) y = ln(x+Jx2 _a2)。.验证函数y=

16、Cieb+C2eN（九,Ci,C2是常数）满足关系式 y Xy =0。.验证函数y =ex sin x满足关系式y2y+2y =0。.求下列函数的高阶导数:(1)2 2x(20)=x e ，求 y ；(2) y =x2 sin 2x ,求 y(50)。5 .若f x）存在，求下列函数y的二阶导数(3) y = ln f (x)。(3) xy=ex4y;(6) arctan = ln x2 + y2。 x1(3) y=xx；x(x2 1)(6)y=3；-4- .(x -1)y = f(x2)(2) y = f(sin2x)；6,试从四=上导出空=一dy y dy2(y)3习题24.求下列方程所确

17、定的隐函数y的导数d1 :d x(1)x2+y2=R2;(2) x2+xy+y2=a2;(4)xy =yx(5) xcosy =sin(x + y);.利用对数求导法求下列函数的导数：(1)y=2xx ；y =(lnx)x ；(4)y=(sinx)cosx；(5)y=：3x-2.(5-2x)(x-1).求圆（x1）2 +（y+3）2 =17过点（2, 1）的切线方程。.设 y =sin(x +y),求 y 。s.设 s =1 +te，求 st。,2,26,已知卜=，求驾驾。y =4td x d x27.已知星形线3 , x=acos t cc、3 j =asin t8.已知摆线x =a(邛-s

18、in 中) y =a(1 cos 中)dy d2 y d x , d x22 d y d y dx, dx29.求下列曲线在给定点处的切线和法线方程: TOC o 1-5 h z x = a cos 二 +-,在8=处;y =bsin 143atX =2+t，在 t =2处。 3at210.已知质点运动方程为x =1 +2t -ty =4t(1)求质点出发时所在的位置；(2) t =2秒时的水平与铅直方向的速度；(3)求水平方向加速度与铅直方向加速度。11 .验证参量方程-t cx =e sin t，t .y =e cost所确定的函数y满足关系式d2 yd x2dy(x y)2 二2、,y

19、y。. 一架直升机离开地面时，距离一观察者120米，它以40米/秒的速度垂直上飞，求起飞后15秒时，飞机飞离观察者的速度？.将水注入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器中，其速率每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速度为多少？.有一长为5米的梯子，靠在墙上，若它的下端?&地板以 3米/秒的速度离开墙脚滑 动，问：(1)当其下端离开墙脚多少米，梯子的上、下端滑动的速率相同？(2)它的下端离开墙脚1.4米时，梯子上端下滑的速率是多少？(3)何时它的上端下滑的速率为4米/秒？习题25.求下列函数的微分y =5x2 +3x +1 ；(4) y =2ln2 x +x ；2.求下列函数在指定点的微分

20、:(5)y =(x2 +2x)(x -4)； y =ln(sect +tan t);2y =arcsin(2x 1)；y =arcsin & ,在 x =二和 x =2x , 一y =2 ,在 x =0 和 x =1 处。1 x3.求下列函数在指定条件下的微分：1二、一，61 二一，(1) y =x x, x =10，& =0.1 ；(2)y=当 x 从一变到时。(tan x 1)263604,若函数y =x2 +1 ,(1)在 x =1 处，Xx =0.01,试计算 d y,Ay 及 Ay d y ;(2)将点x处的微分dy,增量Zky和Ay_dy在函数图形上标出。5.填空：(1) d( )

21、 =2xdx ;d( ) =edx ；2- d( ) =ex dx =(2) d(d(1,、)=dx (3) d( x)=sin2xdx ; ( 6) d(、1 ,) 2- d x， x)=_dx)-2.x)d x ; (8) d(sin x +cosx) =d()+d(cosx) =()d x。习题31.验证F(x)=lnsinx在旧，电1上满足Rolle定理的条件，并在 电，至；上，找出使 6 66 6f肉=0的t。.以定义在1, 3上的函数f(x) =(x 1)(x 2)(x3)为例，说明Rolle定理是正确的。.已知函数f(x) =1 3r x2, f (1) =f (1),但在-1,

22、 1没有导数为零的点，这与 Rolle 定理是否矛盾？为什么？.验证函数f(x) = arctanx在0, 1上满足Lagrange中值定理的条件，并在区间(0,1)内找出使f(b) f(a)=f()(ba)成立的之。 1.当ab0时，对于函数f (x)= 一在(a , b )上能否找到满足有限增重公式的一点？x这与Lagrange中值定理是否矛盾？.不用求出函数f(x) =(x 1)(x2)(x 3)(x 4)的导数，说明方程f(x)=0有几个实 根？并指出它们所在的区间。7,证明恒等式：arcsin x+arccosx = (-1 x 1) 2.若方程anxn +anxn二十一 +a1x

23、= 0有一个正根x=x0,证明：方程 annxn +an(n - 1)xn +o+a1 =0必有一个小于x0的正根。.若函数f (x)在(a, b)上具有二阶导数，且f (%) = f (x2) = f (x3)其中， a Xi x2 x3 1 时，ex ex 。习题32.求下列各题的极限：(1)limln(lx). Hmdi(aA0)；( 3)x 0 xxa x .-ax 0 ln sin x(4)x_xlim e -e ；(5) lim x2 e1/X ;x 0 sin xx0lim In x ln(x1); (8) lim 1x !xix_i x -1 ln x(10)n(11)lim

24、工(a1,n0);J：； ax1 ln 1 -(6)lim 0 3(12) lim W。x 0 x2 .验证lim x sinx存在,但不能用L Hospital法则计算。 x. x - cos x习题33.将x的多项式x4 -5x3 +x2 -3x +4表为(x -4 )的多项式。.应用Maclaurin公式，将函数 f (x) =(x3 3x+1)3表示为x的多项式。.当x0 =4时，求函数y = Jx的三阶Taylor公式。 , 一1 ,. 一.当x0=-1时，求函数f(x)=的n阶Taylor公式，并写出拉格朗日型余项。x习题34.判定函数f(x)=x+cosx (0 Ex E2n)的

25、单调性。.证明：y =x3 +x单调增加。.判定函数 f(x) =arctanxx的单调性。、rx2 -1 ,.证明：y=在不含点x=0的任何区间都是单调增加的。x.求下列函数的单调区间:, 、_ 3 一 2 一(1) y =2x3 -6x2 -18x -7；10y ；4x 9x6x(5) y =2x2 -ln x ；(2)(6)6.证明下列不等式：，八1(1) 1 +-xV1 +x (x 0)；2/c、.八冗、sinx+tanx2x0 x0);y =ln(x + v 1 + x2)。(2) 1 xln(x 1 - x2)1 - x2arctan x 之x (xW0)。(x0);.试证方程si

26、nx =*只有一个实根。.试确定方程x3 -3x2 -9x+2 =0的实根个数，并指出这些根所在范围。9.单调函数的导函数是否必为单调函数？(研究:f (x) =x +sin x)精品文档习题3 精品文档精品文档习题3 精品文档1.求下列函数的极值:(1) y =2x3 3x* 2 ；1y =xx ；/c、1 3x y 二 j 尸;.4 5xy =2ex e；(3) y =x -ln(1 +x2)；(6) y = x + tan x。.求下列函数在指定区间上的最大值和最小值:y =x5 -5x4 +5x3 +1 ,d21 -x xy =21 x -x-1,2；0,1;2 j 2a by =+,

27、x 1 fy =x +J1 -x ,(5) y =sin2x -x ,(6),1 -x y = arctan,1 x f(x) Mx2 -3x +2|,(0,1), (ab0);31；n7 ,2)0,1；10,10。x1 r2，Xcxn时，所产生的误差的平方和：oj米S 3- 5- 3S 3. 5. 4.将8分为两部分，怎样分才使它们的立方之和为最小?.设一球的半径为 R,内接于此球的圆柱体的最高为h ,问h为多大时圆柱的体积最大？.过平面上一已知点 P（1,4）引一条直线，要使它在 二坐标轴上的截距都为正，且它们之和为最小，求此直线 的方程。.对某个量 x进彳f n次测量，得到 n个测量值

28、Xi , x2，xn ,试证：当 x取这n上数的算 术平均值1.求下列各函数的凹凸区间及拐点：(1) y =x3 -5x2 +3x -5 ；(3) y =x5 ；arctanx(5) y =e； y =x4(12lnx7)；.问a和b为何值时，点(1,3)2,2x =t 一一 .求曲线 的拐点。y =3t +t3(2)(4)(6)(8)3xx2 3a2(a为任意正数)4 xy =(x +1) +e ；,，2，、y =ln(x +1)；_ -xy =xe 。为曲线y =ax3 +bx2的拐点?4.试确定y=k(x2 -3)2中的k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。习题37求下列曲线的渐近线:1

29、 - y =-2x -4x -5x2 ,(1 x)(1 -x)3.(1 x)3xy =2x + arctan一。2习题38描绘下列函数的图形：1 . y =- (x4 -6x2 +8x +7)。5/ 2y = 十4x。 x丫飞9与2。y =ln(x2 +1)。9a3y = 22 (a 0)。x ay =exsin x (x 之0)。精品文档精品文档精品文档习题39.求抛物线.计算曲线3.求曲线2y=x 4x+3在顶点处的曲率及曲率半径。y=chx上点(0, 1)处的曲率。33 .x =a cos t .3在t=t0处的曲率。y =asin t4.求曲线，7 =a(cost+t sin t) -

30、 n 在t=处的曲率。y =a(sin tt cost) 25.证明曲线y=ach-在任何一点处的曲率半径为a2匕。a习题3101.试证明方程x5 +5x+1=0在区间（1,0）内有惟一的实根，并用切线法求这个根的近似值，使误差不超过0.01。2.求方程xlgx=1的近似根，使误差不超过0.01。习题41b.定积分f （x）dx的几何意义可否解释为： 介于曲线y = f （x） , x轴与x = a, x = b之 a间的曲边梯形的面积？.设物体沿x轴，在变力F =F（x）的作用上，由点a移到点b（a Mb）,试用定积分概念（积分和式的极限）来表示变力F所作的功W.利用定积分的几何意义，说明下

31、列等式:1JT(3) sinxdx =0 ;-Ji(4)2cosxd x = 2一2TL2 2 cosxdx。- 0sin x d x。- 0.把下列定积分写成积分和式的极限:,、1 1（1）f -dx；01 x2.根据定积分的性质，说明下列积分哪一个的值较大?1(1)1f x2- 02Lx2dx与22 ,I x d x ;- 1222(3) ln xd x与 f (In x) d 1 1x；y .26-求由lex 2dt，I cos(t )dt = 0人、，一，,，d y确定的隐函数y对x的导数d上。d x精品文档7 .计算下列各导数:(1) -d- d x(3) -d-xsin tdt ；

32、 t小十x4 dx ；d y y8 .计算下列各定积分:(4)in-x 2et dt ；-L2dt。(3)3 3x d x;- 112 dx .1-2 1 -x(4)(5)1 -x .i e d x- 0(6)2 二一Jo | sin x | d x ;(8)9.求下列极限102；LnxCOS(t )dt；io.设 f(x)=4(0 ,x _1)(1 ：:x _2)x求B(x)=j f(t)dt在0, 2上的表达式，并讨论 011.求极限97x(1 +Vx) d x ; - 4- 1/ ,3A;1 xtanid-设 f(x)=，limx )二2x (x 1) J02x2 (arctant) d

33、t力(x)在lim (1，2. 31 n)nn 工二习题421.求下列不定积分(其中， a, m, n, g为常数)：(1)(4)xVx d x ;(2)113 u x.6 -1+1 du ;J Ju uj_d2 -x - xd hEx2 1(0,2)内的连续性。(3) J m xn d x ;(6) ( (x -2)2 dx ；(7)(x2 +1)2 dx ；(10) j (1 7)dx ;X xe ex 1 -r dx;(8)(11)114) f at etdt ;(.x 1)( . x3 -1) d x但工1dx;(x2 1(15)d x;2 3x - 5 2x3x(16) j secx

34、(secx-tanx)d x ; (17) j tan2 xdx；(18) d-;cos2xjcos2xdx；(20)cos2x dx； (21)(一230s2x2 dx。cosx -sin xcos x sin x1e2x, exshx和ex chx是否者B是e2x的原函数？2已知曲线上任意一点的切线的斜率为切点横坐标的二倍，求满足上述条件的所有 曲线方程，并求出过点(0, 1)的曲线方程。一物体由静止开始运动，经 t和后的速度是3t2 (米/秒)，问：(1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？(2)物体走完360米需要多少时间？精品文档习题4 精品文档精品文档习题4 精品文档1 .计算下列

35、不定积分:(1) je5tdt；(4)88 -2x d x ；(2)5(1 -2x) d x ；(3) f-d- ;3 -2x(5)声 dt；(6)fex*xdx;tJ(8)d dx；(9) ftan10 xsec2 xd x ;xln xln ln xJ(10)(13)(16)(19)(22)(25)(28)(31)(34)d xsin x cosx2xEx；4 xex(1 二 ex),1 e2x102arccosx. dx ; 1 -x22x d x22a -xxdx ;2 .计算下列定积分1 dx .2 1sin2 xji1dx ；0 1 sin 2 x(10)(13)3dx1 x2 1

36、 x221-te t dt ;- o(11、 d x .(14)x_x 7e -ex2 , 1 x3 dx ；(17)4. 3cos x sin3x ,22 dx；9 x2xdx ;(20)(23) dx .2252x -1(26)2.Jcos (wt +中)dt ;(29)fcos3x cos5xdx;(32)d xLx2.1(35)d x11+以(2)0d x-2 x2 2x 2；(5)二/22cos u d u二/6；(8)(11)a 222x . a - x- 03 d xd x0 , x (1 x)(14)e2dx1 1 ln x(12)J/ 2、，x cos(x )dx ;(15)

37、J2x d x *百，(18)fcosx sin x , 2dx ;1 cos x(21)Jx.42 d x，x4 2x25(24)Jd x(x 1)(x - 2)(27)J tan3 x secx d x ;(30)Jdx(arcsin x)2. 1 - x2(33)Jd x(x21)3 (36)Jd x11 -x2(3)41d x1 x1x/1 x d x ;(6)0(9)2 1 - x2Jx2d X；(12)Ja xdx03a2 -x2 3a xu(15)2n：cosxcos2xd x;精品文档精品文档精品文档精品文档JI 1(16) 产、：cosxcos3 xd x ; (17)3 J

38、L-2n -. ，一f Ji +cos2x d x ; (18) ooex13.利用函数的奇偶性计算下列积分二 4.x sin xd x，-jr(2)flir4 cos4 日 d e ；3 JL-2(3)2(arcsin x)21 .d x ;-2 ,1.x2(4)5 x3 sin2 xx4 2x2 1.设f(x)为连续函数，证明：(a 0)。 TOC o 1-5 h z a 321 a2x f(x ) dx = xf (x)d xo2 - o.设f (x)在4, b上连续，证明：bbf (x) d x = L f (-x) d x。.对于任意常数a,证明：aaf f (x)dx = f f(

39、a -x)d x o001 d x _ x1 x2118.证明：.xmax)n d x = xn (1x)m dx。一一H nn9,证明：sin xdz=2 f2 sin xdx。- 00a l10.设f(x)是以2l为周期的连续函数，证明： 1 f(x)dx的值与a无关。 - a -L7.证明：1-dx1x2(x0)。x11.若f(x)是连续函数目为奇函数，证明： f f(t)dt是偶函数;0 x若f(x)连续函数且为偶函数，证明：f(t)dt是奇函数。习题441 .计算下列不定积分：(1)fxcosmxd x ；(2)Jte，t;(3)Jarcsintdt ；(4)fxln(x -1)dx

40、 ；(5)2Jx In xdx ；(6)2Jx arctanxd x ；Jxtan2 xdx ;(8)J x2 cosx d x ;(9)J(ln x)2 d x ;(10)In x , 2 dx ;(11)(x2 1)sin2xdx;(xsinx cosxdx；(1 -x)、(ln x2)p一dx ;x2xJe dx；ln( x 1),%x;,x 12 .计算下列定积分：e(1) f xln xdx ； - 1/1ln(1 x).(4)f -rdx；0(2-x)2e(sin(lnx)dx；(14) fexsin xd x ;(15) jeaxsinnxdx；2 TOC o 1-5 h z 2

41、2 .(17) fxcos xdx;(18) J(arcsinx) dx ;(20) jx2jx2+a2dx；(21)Jarctanjxdx。x一。(2)-2dx；(3) f (xsinx) dx；7sin2x022-2(5) a arctanJx -1dx； (6) 2e x cosxd x ;104e(8) e exdx ;(9) J 1| lnx |dx。- 0- e 11.求下列不定积分:(4)2x 3“2-dx ；x 3x -10 xd x(2)x5x4 -8(10)(13)(16)(x 1)(x 2)( x 3)d x2l2l(x 1)( x x)1 tan x(x)3 1 dx

42、;%x 11 xJkdx；(5)(8)(11)(14)(17)3dx ;x3 -xx2 12dx ;(x 1) (x -1) d xx 11 sin x cosxx 1 T-dx;,x 1 1 . x(1 x)(18)(3)(6)(9)(12)(15)一 dxx31d x2-2 .，x(x 1)1【二二 dx；x -1d x . 1 + 3x +1元为dx;2.用学过的方法求下列不定积分(4)fx-dx;(1 -x)3ln ln x , dd x ;x(5)11x 63d x ;(6 x6)3d x(10).2 22 5/2(a -x )(6)1 cosxdd x ;x sin x1d:dx

43、;x4 .1 x2x vx sin xx d x ；口n(1 +x2)d x ;.1 cosx ,fdx;sin x3x ,08、2 dx ；(1 x )xcosx3- d x ;sin x11d.d x ;x8 3x4 2习题45精品文档精品文档精品文档精品文档精品文档(13)(16)(19)(22)2x-4dx；1 -x_ sinesin 2xd x ,|：1 一x2 arcsin x d x ；1.4-dx sin xcos x(14)(17)(20)(23)4 二xcos 一2dx；sin xln( x 1 x2)2x arccosx ,- dx;211 - x2 - sin x ,

44、dx ;2 - cos xln x“（(21) J+tanxdx；sin 2x(24) f sinxc0sx dx。sin x cosx习题52.求由下列各曲线所围图形的面积：y =ln x, y =e+1x及直线 y =0 ;(2) y =ex, y =e。及直线 x =1 ;y=lnx,y 轴与直线 y =ln a, y =ln b (0 a b) ;(4) y=x2 与直线 y = x 及 y=2x。.求由下列曲线所围图形的面积：r=2acosl; x =acos3t, y =asin31 ；(3) r =2a(2+cosH)。.求下列各曲线所围图形的公共部分的面积： _r =1 及 r

45、 =1+sin3 ;(2) r = J2sinH及 r2 =cos20)；4.二 dx1(1 -x)习题62判别下列广义积分的敛散性，如果收敛，则计算广义积分的值。dxx2 x -2习题71.在空间直角坐标系中，画出下列各点:(0, 0, 4), (0,3, 4),(屹1,2)。.求点(a,b, c)关于(1)各坐标面，(2)各坐标轴，(3)坐标原点的对称点的坐标。.自点P0(x, y0,z0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。.一边长为a的立方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上，求它各顶点的坐标。.求点P(4,-3,5)到各坐标轴的距离。.在

46、yOz面上，求与三个已知点A(3,1, 2) , B(4, -2, 2)和C(0,5,1)等距离的点。.证明：以三点 A(4,1,9), B(10, -1,6) , C(2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰三角形。习题72.设向量a与x同和y轴的夹角相等，而与 z同的夹角是前者的两倍，求向量 a的方 向余弦。精品文档精品文档精品文档.设向量的方向余弦分别满足下列条件，试问这些向量与坐标轴、坐标面的关系如 何？cosot =0 ;(2) cos P =1 ;(3) cosot = cos P=0.分别求出向量a =(1,1,1), b =(2,3,5)及c =(-2, 1,2)的模，并写出单位向

47、量o , o o a , b , c。.设向量 i =(1,0,0), j =(0,1,0), k =(0,0,1),证明 i, j, k 两两正交。习题73.设a, b为非零向量，问它们分别满足什么条件时，下列等式成立？|a +bRa -b|;(2) =0I a I I b I.设 u =a b +2c, v =a +3b -c,试用 a, b, c表示 2u -3v。.在&BC 中，设M , N, P分别为BC, CA AB的中点，试用a =BC, b =CA, c = AB 表示向量am , BN , CP o1 丁 .设AM =MB ,证明：对任意一点 O,有OM =(OA+OB)。2

48、 .已知两点 Mi(0,1,2)和M2(1, 1,0),用坐标表示式表示向量M1M2及2M1M2。.向量a =4i -4j +7k的终点B的坐标为(2, -1, 7),求它的始点 A的坐标，并求 a的模及其方向余弦。.已知三力F 1=(1, 2, 3), F2=(-2,3, 4), F3 =(3,4,5)同时作用于一点， 求合力F的 大小和方向余弦。.求平行于向量a =(6, 7, -6)的单位向量。习题74.判别下列结论是否成立，为什么？(1)若 a b =0 ,则 a =0 或 b =O ; (2) (a b)c =a(b c) ; (3) (a 2 =|a |2| b |2。.设 a =

49、3i -j -2k, b=i +2j -k ,求a b及a Mb;(2) a b的夹角的余弦。一.设向量a和b的夹角 中=一冗，又| a |二3, | b |=4,试计算(3a -2 b) (a +2 b)。3.已知a, b, c为单位向量，且满足 a +b + c=O ,计算a b +b c +c a。.已知向量a, b, c满足条件a+b+c=O,证明a b =br 0) o.x2 y2 z2 -r24.函数z =y2 2xy22x在何上是间断的?习题10 21.设函数 z =x2 -xy + y ,(1)求函数在点(x0,y0)处的偏增量 &z,AyZ和全增量Ax ；(2)当x从2变到2

50、.1, y从2变到1.9时，求AxZyZ与位的值各为多少?2.设 z =(1xy)y，求名设 f (x, y) =x +y Jx2 +y2 ,求 fx(2,4)。 TOC o 1-5 h z 设 z =ln ,x +，求。 2x J 私 xi-yy =0设 f (x, y) =e，sin(x +2y),求 fxfo,- j及 fy(0,- j。,4 y , 4、一 一 一23 .设 u =ln(1 +x +y +z ),当 x =y =z =1 时，求 ux +uy +uz。x(1) z =ln tan ; yz =、&sin ; x z =arcsin(y Jx)；sin -：xy(5) z

51、=xye *u = Pet*+e+t ；xy(3) z =sin cos; yx(6) z =ln(x + ln y);(9) u=ecos(8-9).求下列函数的偏导数_ ，: + 2 + 2_.求曲线/z=、1 y在点(1川百)处的切线与纵轴正向所成的角度。x =1.求下列函数的全微分:(1) z =exy +ln( x +y)；(2)x y z = arctan1 -xy(4)22x y22x -y(5) z =2xe-y -V3x + ln 3 ;= xyx；(8) u =ln(3x -2y +z);(3) z =sin(xy)x(x2 y2 z2)(6) u =e、，；2(9) u

52、=arctan(x y)。(2) z =xsin(x + y)+ex-y伍JT、4,4j0.求下列函数在给定点处的全微分：(1) z =x4 +y4 4x2y2, (1, 1)；11.试示当 x =2, y=1, Ax =0.02, 量的值。y =-0.01时，函数z =x2y3的全微分及全增精品文档习题10 3精品文档精品文档习题10 3精品文档22.：Z t：Z.设 z =u v -uv , u =xcos y,v =xsin y,求一,一。 ：:x y2XZ - .Z. 设 z=u Inv,u= ,v=3x2y, 求,。 y二 x 二 yxr.设 z =arctan,x =u +v, y

53、 =uv ,证明 y:z；zu -v十=O-22.ut vu v、一 xz - z4 .设 z = , x =u 2v, y =v +2u ,求一,一。y；:u ；:v.设 z=(2x+y)2x+ ,求名，2。二 x 二y.设2=y-r-,其中f可微函数，验证f(x2 -y2)1三 z1:zz十= -2x二xy；yy27.设 z = F (x, y), x =r cos6, y =r sin 日，8.y t . 2t + d z=2，x =e , y =1 e ，求xdt9.设 z =exy, x =sin t, y =t3 ,求 dz。 dt.设 z =arcsin(x-y), x =3t,

54、 y =4t3,求 dz dtx q dz.设 z =arctan(xy), y =e，求 。d x、一21d z12.设 z =tan(3t +2x2 -y), x =-, y =0, y 0, z0 o x y z.从斜边长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。.在半径为a的半球内求一个体积最大的内接长方体。习题121.证明Riemann积分中值定得。习题122.求.求.求JJxexydxdy的值，其中,D皿2的值，其中, d (x-y)2JJex* dxd y的值，其中,D0 Mx 1 D:-1 My 01 x 2 D : /3y 40 _x _1D:。0 _ y _1c j

55、 j兀0 x 0)所围成的区域。D8 .把下列直角坐标形式的累次积分变为极坐标形式的累次积分：2R2Ry_y2RR2 _x222 d y f(x,y)dx;(2) dxf f(x+y)dy;-o -oo o(3)9.将下列二重积分变成极坐标形式，并计算共值:|LJln(1 +x2 +y2 )d xd y , D为圆x2+y2=1所围在第一象限中的区域； D| | R2 -x2 -y2 dxd y , D为圆x2 +y2 = Rx所围在第一象限中的区域; Dffarctanydxd y , D 为圆 x2 + y2 =4, x2 + y2 =1 及直线 y =x, y =0 围成的第 D x象限

56、内的区域；sin .x2 +y2 d xd y, D : x2 十 y3 jt2 oD习题123.利用下列给出的积分区域，把 fff f (x, y, z)d xd y d z化为三次积分:V(1)由曲面z=x2 +y2及平面z=1所围成的区域 V ；(2)由曲面z=x2 +2y2及z=2x2所围成的区域 V。-1 _x -1V :y 0),Vy =0所围成的区域；z =1所围成的区域。(2)用d2xd y2dz ,其中,V ：锥面x2 +y2 =z2及平面 V x2 y2 1.利用球面坐标计算下列三重积分：(1)M(x2+y2)dxdydz,其中，V：半球面 z =，A2 一 x2 -y2,

57、z = ,；a2 一 x2 - y2 V(Aa0)及平面z=0所围成的区域；川(x2 +y2 +z2)dxd ydz ,其中，V :球面 x2 + y2 +z2 =1 围成的区域。 V.适当选择坐标计算下列三重积分：m xy d x d y d z ,其中，V :柱面 x2 + y2 =1 及平原 z =1, z = 0, x =0, y = 0 所围 V成的在第一卦限内的区域；i/ 222/、z 口 ：2y。dxd y dz ,其中， V :球面 x2 + y2 +z2 =1所围成的x y z 1区域。习题124.求锥面z=x2 +y2被柱面z2 =2x所截下部分的曲面面积。.求球面x2 +

58、y2+z2=a2为平面z=y,z=y所夹部分的曲面面积。42.计算平面-+? +- =1被三个坐标面所割出部分的面积。 a b c.求直线y=x上，由x=0至x=4的一段线段绕x轴旋转所得的旋转曲面的面积。.求抛物柱面y =Vx, y =2jx及平面z =0, z+x =6所围成的物体(密度为1)的质量。.求由球面x2+y2 +z2 =1围成的，密度为 P = x2 +y2的球面的质量。.求旋转抛物面 z =x2 +y2及平面z =1(x20, y之0)所围成的物体的质量(密度为 P=x +y)。.求由圆锥面z W -&2 +y2与平面z=0所围立体的重心(密度 P=1)。.求由旋转抛物面 z

59、=x2 +y2与平面z=1所围立体的重心(密度 P=1)。.求半径为R ,高为h,密度P=1的均匀圆柱体，绕过中心而平行于母线的轴的转 动惯量。.求半径为R,高为h ,密度P=1的均匀圆柱体，绕过中心而垂直于母线的轴转动 时的转动惯量。. 一个物体是由两个半径各为R和r(0 r 1 R)的同心球面围成的，已知材料的密度与到球心的距离成反比，且在距离等于1处时，密度为r ,求物体的全部质量。.球面x2 +y2 +z2 M2Rz上任一点的密度在数量上等于此点到坐标原点的距离的平方，试求球体的重心。精品文档精品文档精品文档习题125.求f -dL ,其中，L是点A (0, /)到点B (4, 0)的

60、直线段。L x - y.求cxydl ,其中，L是由x=0, y=0,x=4, y=2所围成的矩形路线。-.x = a cost3.求 q (x2 +y2)n dl ,其中，L 为圆周/(0 t 2j!)oL-y =asin t22、，x =a(cost +tsint).求(x2 +y2)dl ,其中，L 为曲线,(0t2n)o，ly =a(sin t -t cost).求qjx+y)dl,其中，L为以O(0,0), A(1,0), B(0,1)为顶点的三角形的边。.求.求.求fLydl ,其中，L为抛物线y2 =2px由点0(0,0)到点A(xo, yo)的一段弧。x =t costJjdl